b.iii Calcul de la densité d’états

2 0, |y|>^?₂ II-11

Puisque le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, on peut chercher des solutions sous la forme d’états stationnaires, i.e. pour lesquels les fonctions d’onde peuvent s’écrire :

`(J, /, = `(J,B

Et

`(J, et E sont respectivement les fonctions propres et les valeurs propres de l’équation

de Schrödinger indépendante du temps :

−_{2^ ∆`(J, + (J,`(J, = @`(J,}^{ħ II-13}

Ainsi, en résolvant l’équation II-13, on obtient les énergies propres du puits :

@_h= −e_A+_{2^ S}^{1 ijħ}_{? T} ^II-14 Les énergies propres situées entre –U0 et 0 sont quantifiées tandis qu’il existe un continuum de niveaux d’énergie supérieure à 0. De plus, le confinement des porteurs n’étant réalisé que selon la direction y, chaque niveau d’énergie est dégénéré. Le calcul de la densité d’états permet de déterminer le nombre d’états présents dans chaque niveau d’énergie.

II.1.2.b.iii Calcul de la densité d’états.

Suivant le confinement donné pour une particule (3D, 2D, 1D ou 0D), la densité d’état varie différemment. Dans chaque cas, les expressions des densités d’états ρ(E) sont données dans le tableau suivant : Matériau « bulk » (3D) klm(@, = _2j¹ (2^∗,l/ ħl √@ Puits quantique (2D) k m(@, = _jħ^{^∗} Fils quantique (1D) k m(@, = _j^{1√2^}_ħ ^{∗ 1} √@ Quantum dots (0D) kAm(@, = q r(@ − @ ,

h sA

Tableau II-1 : Expression des densités d’états selon le confinement

Nous pouvons remarquer que dans le cas des puits quantiques, la densité d’états est indépendante du niveau d’énergie. Ainsi, les porteurs sont concentrés sur un seul niveau énergétique ce qui a pour effet de faire participer un maximum de porteurs injectés à l’émission laser par rapport à l’utilisation d’une couche épaisse.

II.1.2.b.iv Quasi-niveaux de Fermi et condition de Bernard-Durrafourg

Le milieu amplificateur de la diode laser étant constitué de fermions (ils ont un spin demi=entier), les porteurs (électrons et trous) obéissent à la statistique de Fermi-Dirac. Le niveau de Fermi, énergie caractéristique décrivant l’énergie du dernier état électronique peuplé (à température nulle), représente le potentiel chimique du système. Son positionnement dans le diagramme de bande dépend donc de la population dans ces mêmes bandes. Intrinsèquement, pour les semi-conducteurs, le niveau de Fermi se trouve environ au centre de la bande interdite qui sépare la bande de conduction de la bande de valence.

La position du niveau de Fermi par rapport à la bande de conduction et de valence ne dépendant que des densités de porteurs ainsi que des densités effectives d’états d’électrons et de trous, ces dernières ne dépendent, elles, que des masses effectives et de la température dans le matériau considéré. Ainsi, lorsque les densités de porteurs sont supérieures aux densités effectives d’états, le niveau de Fermi pénètre à l’intérieur des bandes.

Le fonctionnement de la diode laser se faisant hors équilibre (application d’une tension en direct), cela génère un courant d’alimentation qui modifie les populations d’électrons et de trous. Dans un modèle simple, la densité volumique de porteurs par rapport au courant est donné par :

i =_v.^tu

avec n la densité volumique de porteurs, J la densité de courant, q la charge du porteur, d l’épaisseur de la zone de recombinaison (en l’occurrence le puits quantique) et τ est la constante de temps des processus de recombinaisons (radiatives et non-radiatives).

Cette équation (II-15) montre qu’il suffit d’augmenter le courant injecté pour augmenter la population électronique et donc atteindre l’inversion de population à partir d’un certain point de courant.

Lorsqu’on applique une tension, on « brise » l’énergie de Fermi en deux quasi-niveaux de Fermi distants d’une quantité eV dont leurs positions dépendront du dopage (p ou n). Quand on augmente le courant, les quasi-niveaux de Fermi se rapprochent respectivement de la bande de conduction (Efn) et de la bande de valence (Efp). Leurs positions respectives dans le puits peuvent être données par l’équation (II-16) suivante :

n m E E c c fn 2 ² h

π

π

où Ec et Ev sont les niveaux d’énergie des bandes de valence et de conduction, mc et mv les masses effectives des électrons et des trous dans le matériau considéré, et n et p les densités volumiques de porteurs amenées par le courant.

• Les quasi-niveaux de Fermi sont dans la bande interdite : le semi-conducteur est alors absorbant pour toutes les énergies de photons supérieures à l'énergie de la bande interdite. • Les quasi-niveaux de Fermi atteignent les bandes de valence et de conduction : le seuil de

transparence est atteint pour les photons dont l'énergie est égale à l'énergie de bande interdite.

• Les quasi-niveaux de Fermi sont situés dans les bandes de valence et de conduction. Alors, seuls les photons dont l'énergie hν vérifie la condition de Bernard-Durrafourg :

@ < ℎx ≤ @

− @

subissent une amplification optique.

II.1.2.b.v Dégénérescence de la bande de valence

Dans un matériau massif, le calcul des bandes d’énergies montre que la bande de valence est dégénérée au centre de la zone de Brillouin. Cette dégénérescence est traduite par le fait que la bande de valence est caractérisée par deux types de porteurs ayant des masses effectives différentes. Ainsi, on appelle trous lourds (hh), les porteurs de la bande de valence ayant la masse effective la plus grande et trous légers (lh), ceux dont la masse effective est la plus petite.

Cette distinction des porteurs de la bande de valence n’est pas sans conséquence car la recombinaison d’un trou lourd avec un électron de la bande de conduction implique l’émission d’un photon ayant une polarisation spécifique tandis que la recombinaison d’un trou léger avec un électron aura une autre polarisation. On peut résumer la polarisation de la lumière émise selon le type de transition par le tableau suivant :

TM (E//z) TE (E⊥z)

hh -> e 0 1/√2

lh -> e √2/√3 1/√6

Tableau II-2 : Règles de sélection de la polarisation et du type de trous

Néanmoins, l’action d’une contrainte sur un matériau massif permet de lever la dégénérescence de la bande de valence. En effet, en contraignant le matériau, le calcul des bandes s’en trouve perturbé (par cassure de symétrie) et donc, selon la contrainte appliquée, un type de transition sera favorisé (lh-e ou hh-e) et donc une polarisation [2]. Un autre avantage de l’utilisation de puits contraint est l’augmentation du gain différentiel, plus élevé dans ce type de structure, et donc de la bande passante du laser [3]. Enfin, les puits contraints permettent également de réduire la largeur de raie dans le cas de laser DFB [4, 5].

Il existe deux types de contrainte dans un matériau (Figure II.1-12) : la contrainte en tension, favorisant une transition (lh-e), impliquant une émission polarisée TM, et la contrainte en compression, pour une transition (hh-e), donnant une émission polarisée principalement TE.

Figure II.1-12 : Schéma des contraintes d’un matériau sur GaAs

La contrainte sur un matériau dépend de la différence de son paramètre de maille (a(x)) par rapport à celui du substrat sur lequel il est épitaxié (ici, a₀ pour le GaAs).

Figure II.1-13 : Evolution du diagramme de bandes d’un semiconducteur en fonction de la contrainte

En analysant la structure de bande selon la contrainte (Figure II.1-13), nous pouvons observer qu’un matériau contraint en compression favorisera une transition de type hh->e, i.e. une émission de la lumière polarisé TE. A contrario, un matériau contraint en tension favorisera plutôt une transition de type lh->e, soit une émission de lumière polarisée TM. Dans nos structures à 780 nm, le puits quantique est contraint en tension.

De plus, dans un puits quantique, du fait du confinement des porteurs, une première levée de dégénérescence de la bande de valence est effectuée. En effet, si l’on regarde l’équation de Schrödinger pour la bande de valence prenant en compte les fonctions d’onde de chaque type de porteurs, nous obtenons :

}−_.~^. _2^^ħ

(~,.~ + (~,• €^.

(~, = •

€

(~,

}1_.~^. _2^^ħ

_{(~,.~ + (~,• €}^.

(~, = •

€

(~,

II-18

Où (€h (~,, •h ) et (€h (~,, •h ) sont respectivement les fonctions d’onde et énergies propres des trous légers et des trous lourds et V(z) le potentiel du puits quantique.

E

E

E

E

E

E

E

E

Nous pouvons donc remarquer que dans le cas d’un puits quantique, la différence de masse effective entre les trous lourds et les trous légers implique une différence d’énergie propre pour le mode fondamental. Ainsi, la dégénérescence de la bande de valence est levée au centre de la zone de Brillouin.

Généralement, dans le cas des puits quantiques, les deux processus de levée de dégénérescence de la bande de valence participent simultanément. L’ordre de grandeur de chaque phénomène dépendant des paramètres intrinsèques de la structure (force du confinement électronique et désaccord de maille), il faut étudier les deux phénomènes pour savoir quel type de transition sera actif. De plus, ces critères sont surtout valables au centre de la zone de Brillouin et ne prennent pas en compte les recombinaisons qui se situent plus près des bords de zone.