Como j´a foi poss´ıvel perceber, o objetivo de qualquer comunica¸c˜ao ´e sempre o de transmitir informa¸c˜ao desde um transmissor at´e um recetor. Para que a comunica¸c˜ao seja efetivada, a mensagem tem de ser transportada por um qualquer canal de transmiss˜ao, que vai corromper a mesma com ru´ıdo. Apesar de a existˆencia de ru´ıdo ser algo indesej´avel, a verdade ´e que a presen¸ca do mesmo ´e inevit´avel. Para al´em disso, o estudo do ru´ıdo ´e de vital importˆancia para se compreenderem quais as limita¸c˜oes no desempenho de sistemas e para saber o que pode ser feito para que estas limita¸c˜oes possam ser ultrapassadas [18].
Em termos gen´ericos, o ru´ıdo pode ser entendido como um qualquer sinal indesejado, de natureza determin´ıstica ou aleat´oria, que interfira com a transmiss˜ao, o processamento ou a aquisi¸c˜ao de um sinal de informa¸c˜ao. O ru´ıdo pode reduzir a qualidade de uma comunica¸c˜ao de diversas formas. Pensando num sistema de telefonia celular digital, este fator indesej´avel pode surgir como: ru´ıdo ac´ustico de fundo; interferˆencias entre as ondas eletromagn´eticas ou ru´ıdo t´ermico. Sendo o ru´ıdo um fen´omeno de natureza predominantemente aleat´oria, este deve ser caracterizado em termos estat´ısticos, pelo facto de n˜ao ser poss´ıvel prever o seu comportamento ao longo do tempo [19].
No contexto desta disserta¸c˜ao, v˜ao ser estudados os efeitos do ru´ıdo branco gaussiano, cuja sigla inglesa popularmente difundida ´e AWGN (additive white gaussian noise).
Escrutinando esta designa¸c˜ao, importa perceber o conceito de ru´ıdo branco. Antes disso, ´e importante referir que o ru´ıdo pode ser descrito por um processo estoc´astico, que nada mais ´e que um conjunto de vari´aveis aleat´orias indexadas pelo parˆametro tempo. O ru´ıdo branco ´e definido por um processo estoc´astico descorrelacionado, com m´edia nula e variˆancia constante [20].
Estas propriedades s˜ao apresentadas nas express˜oes 2.7 a 2.9, nas quais se representa o ru´ıdo pela vari´avel aleat´oria t. Na express˜ao 2.8, como a m´edia do ru´ıdo branco µ ´e igual a zero, a partir da defini¸c˜ao de variˆancia, prova-se que a potˆencia do sinal de ru´ıdo (igual a E[2t]) ´e igual `a sua variˆancia, assumindo-se que esta assume um valor finito. Na express˜ao
Na express˜ao 2.9, Cov (t, t+s) e ρ(t, t+s) designam, respetivamente, a covariˆancia e o coeficiente de autocorrela¸c˜ao entre duas vari´aveis aleat´orias de ru´ıdo distanciadas de s instantes de tempo, considerando que s ´e um valor inteiro positivo. A express˜ao 2.9 usa a propriedade de que a covariˆancia e o coeficiente de correla¸c˜ao entre duas quaisquer vari´aveis aleat´orias s˜ao diretamente proporcionais [20].
µ = E [t] = 0 (2.7) V ar [t] = E(t− µ)2 = E 2t = σ2 < ∞ (2.8) Cov (t, t+s) = ρ(t, t+s) V ar[t] = 0 (2.9)
A ausˆencia de autocorrela¸c˜ao num qualquer par de vari´aveis aleat´orias, definidas em ins- tantes de tempo diferentes do processo estoc´astico do ru´ıdo branco, tem como consequˆencia que estas n˜ao tenham nenhuma correla¸c˜ao entre si. Isto significa que o valor assumido pelo si- nal de ru´ıdo num dado instante n˜ao ´e influenciado por qualquer um dos valores que o mesmo assumiu em instantes temporais anteriores. Este facto corrobora a tese de ser imposs´ıvel verificar qualquer padr˜ao de repeti¸c˜ao no comportamento do sinal de ru´ıdo [20].
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E tamb´em poss´ıvel afirmar que o ru´ıdo branco ´e caracterizado por apresentar densidade espetral constante. Como a potˆencia do ru´ıdo ´e igual `a sua variˆancia e esta ´e constante, a potˆencia do ru´ıdo tamb´em o ser´a para qualquer frequˆencia [19].
A figura 2.9 apresenta uma ilustra¸c˜ao gr´afica de um sinal de ru´ıdo AWGN, gerado em MATLAB, para uma SNR de 15dB. A figura 2.10 ilustra uma das principais caracter´ısticas do mesmo, que ´e a de apresentar potˆencia constante ao longo de todo o eixo de frequˆencias. No sentido pr´atico, ´e necess´ario impˆor uma largura de banda ao sinal de ru´ıdo branco, porque a ausˆencia desta imposi¸c˜ao faria com que a potˆencia do mesmo fosse infinita.
Figura 2.10: Potˆencia de um sinal de ru´ıdo branco [20]
Falta perceber os motivos pelos quais se diz que o ru´ıdo ´e aditivo e gaussiano.
O termo aditivo indica que o sinal recebido ´e igual ao sinal transmitido mais o ru´ıdo, cabendo ao recetor a tarefa de tentar recuperar, da melhor forma poss´ıvel, a mensagem original. Significa isto que o canal de transmiss˜ao adiciona ru´ıdo ao sinal s, chegando ao recetor o sinal r (express˜ao 2.10). Refira-se ainda que o ru´ıdo ´e estatisticamente independente do sinal transmitido [21].
r = s + (2.10)
As consequˆencias de o ru´ıdo ser gaussiano ´e que este segue uma distribui¸c˜ao de probabili- dade normal (tamb´em conhecida por gaussiana). Seguindo esta distribui¸c˜ao, h´a v´arios factos a assinalar: o ru´ıdo pode assumir valores positivos, negativos ou nulos; a probabilidade de o ru´ıdo assumir valores pr´oximos de zero ´e muito superior `a a probabilidade de ocorrˆencia de valores afastados de zero. O gr´afico da distribui¸c˜ao normal ´e apresentado pela figura 2.11, na qual se pode verificar que a referida distribui¸c˜ao ´e sim´etrica relativamente `a sua m´edia [21].
Figura 2.11: Gr´afico da distribui¸c˜ao normal, com m´edia µ e variˆancia σ2 [22]