Identification des propriétés de la fibre de bois normal et de la fibre à paroi

Nous proposons de modéliser l'éprouvette comme un empilement en série de plages de fibres de bois normal, de plages de fibres de bois de tension (fibres comprenant une paroi gélatineuse) et de plages vides (lumens des fibres et des vaisseaux). Nous supposons un parfait débit de l'éprouvette suivant le sens les fibres.

L'éprouvette peut alors être schématisée comme sur la figure59.

Fibres de bois de tension (BT) Fibres de bois normal (BN)

Lumen (Lu) Direction longitudinale

Si l'on applique une force Fmacro (suivant la direction longitudinale) sur la surface Smacro de l'échantillon, la contrainte est donnée par σmacro = Fmacro / Smacro

La contrainte suivant la direction longitudinale n'est pas homogène sur toute la surface RT de l'échantillon de sorte que la contrainte totale (macro) est égale à la somme des contraintes des constituants. La déformation totale de l'échantillon est supposée homogène, ainsi les déformations des constituants sont égales à la déformation macroscopique.

σmacro = σBT + σBN + σLu (30) et εBT = εBN = εLu= εmacro (31)

σ désigne le tenseur des contraintes et ε le tenseur des déformations.

La loi de comportement élastique est donnée par σ = C . ε avec C le tenseur des rigidités.

Ainsi, σmacro = σBT + σBN + σLu = CBT. εBT + CBN. εBN+ CLu. εLu avec CLu = 0. (32) Fmacro = σmacrox Smacro = FBT + FBN = σBTx SBT + σBNx SBN (33)

σmacro = σBT . SBT / Smacro + σBN . SBN/ Smacro (34)

σmacro = σBT . xBT + σBN . xBN (35) avec xi la fraction surfacique (ou volumique) de i

σmacro = CBT. εBT . xBT + CBN. εBN . xBN (36)

σmacro = (CBT. xBT + CBN. xBN) εmacro (37)

Cmacro = CBT. xBT + CBN. xBN (38)

On peut donc écrire pour le module d'Young dans la direction longitudinale :

E_Lmacro = x_BT . E_LBT + x_BN . E_LBN (39)

Pour estimer le retrait longitudinal des fibres à couche G et celui des fibres de bois normal (que l'on considèrera constant dans les éprouvettes contenant des fibres à couche gélatineuse), le même type de raisonnement est utilisé en cherchant la contrainte qu'il faudrait appliquer pour contrecarrer la déformation induite par le retrait. Cette contrainte peut s'écrire comme le produit du module par le retrait :

E_Lmacro . αLmacro= x_BT . E_LBT . αΒΤ ^{+ x}BN . E_LBN . αΒΝ ⁽⁴⁰⁾

IV.3.1. Module

Nous cherchons à ajuster une valeur de ELBT et une valeur de ELBN telles que pour chaque éprouvette soit retrouvée la valeur macroscopique mesurée expérimentalement en fonction des proportions de BN et BT. Pour cela nous ajustons ELBT et ELBN tels que la somme des carrés des différences ELmacro^Théorique- ELmacro^{Expérimental} soit minimisée.

Σ ( ELmacro^Théorique- ELmacro^{Expérimental})² = min. (41)

Ayant vu que le bois normal pouvait avoir des comportements assez différents suivant sa DRLM, nous ne considérons que les éprouvettes où existe le mélange BN BT.

A l'état saturé on obtient :

ELBN = 14520 MPa et ELBT = 21590 MPa A l'état sec on obtient :

On retrouve le grand écart de rigidité entre les états saturé et sec pour les cellules à couche G qu'on ne trouve pas dans les cellules sans couche G. Ceci confirmerait l'hypothèse d'une rigidification de la couche gélatineuse pendant le séchage.

IV.3.2. Retrait

Nous cherchons à ajuster une valeur de αLBT et une valeur de αLBN telles que pour chaque éprouvette soit retrouvée la valeur macroscopique mesurée expérimentalement en fonction des proportions de BN et BT. De même que pour les modules, nous cherchons à minimiser la somme des carrés des différences entre valeurs expérimentale et théorique.

Si l'on utilise les modules à l'état saturé on obtient : αΒΝ = 0,34 % et αΒΤ= 0,71 %

Et si l'on utilise les modules à l'état sec on obtient : αΒΝ = 0,29 % et αΒΤ= 0,69 %

L'écart des retraits entre les fibres sans et avec couche G est faible. Peut-être peut-on argumenter que les fibres sans couche G situées dans les éprouvettes en comprenant ont des caractéristiques anatomiques quelque peu différentes (couche S1 plus développée et couche S2

avec un angle des microfibrilles plus incliné). Ceci expliquerait le retrait axial fort (0,3 %) des fibres sans couche G. Pour le retrait axial des fibres à couche G, on observe qu'il est plus de deux fois plus fort (0,7 %), il faudra donc chercher dans les propriétés de cette couche gélatineuse les raisons de ce fort retrait (chap. 3).

IV.3.3. Point de Saturation des Fibres

Nous cherchons d'après les valeurs des PSF macroscopiques (PSF_macro) en fonction de la quantité de fibres à couche G dans l'éprouvette, le point de saturation des fibres d'une plage de fibres de bois normal (PSFBN) et d'une plage de fibres à couche gélatineuse (PSFBT) :

PSFBN = MeauBN / M0 BN

avec MeauBN : masse d'eau dans le BN et M0 BN : masse anhydre de BN.

PSFBT = MeauBT / M0 BT

avec MeauBT : masse d'eau dans le BT et M0 BT : masse anhydre de BT.

Les proportions xi des constituants sont données telles que xBN + xBT + xlumen = 1 Ainsi en supposant la densité de la matière ligneuse identique dans BN et BT : xBN = M0 BN / M0 macro et xBT = M0 BT / M0 macro

M_{eau macro} = M_{eau BN} + M_{eau BT} PSFmacro = Meau macro / M0 macro

= (PSFBN . M0 BN + PSFBT . M0 BT) / M0 macro

PSFmacro = (PSFBN . x BN + PSFBT . x BT) / xBN + xBT

PSFBN et PSFBT sont ajustés pour que dans chaque éprouvette soit retrouvée la valeur macroscopique mesurée expérimentalement en fonction des proportions de BN et BT. Pour cela nous ajustons PSF et PSF tels que la somme des carrés des différences :

PSFmacro^Théorique- PSFmacro^{Expérim ental} soit minimisée.

Nous obtenons dans la direction longitudinale : PSFBN = 26,69%

PSFBT = 38,29%

Et dans la direction tangentielle : PSFBN = 37,34%

PSFBT = 36,08%

Alors que le PSF reste du même ordre dans la direction tangentielle entre fibres avec et sans couche G, dans la direction axiale, on remarque que le PSF est beaucoup plus fort dans les cellules à fibre G que dans les cellules sans fibre G.

Cette remarque va dans le même sens que les hypothèses formulées aux § IV.1.2 et IV.2.2