Identification du modèle flou

Dans tout ce qui précède, le modèle flou exploité pour construire la loi de commande par inversion, est supposé disponible. Si ce n’est pas le cas, il est possible de l’identifier en ligne avec cependant le prérequis qu’au moins la structure du système soit connue. Sous cette con-trainte, l’identification est ramenée à un problème d’estimation de paramètres appréhendable par une approche adaptative.

Suivant la paramétrisation [a] introduite dans le paragraphe VIII.2, le modèle flou inconnu exploité dans l’équation (59) s’exprime sous la forme :

TSK(x,u) = W(x,u) φ, (64)

où φ représente le vecteur de paramètres constitué des conclusions de règles. De la même manière, le système flou adapté s’écrit :

TSK^{^} (x, u) = W(x, u) φ^, (65)

dans la mesure où il ne diffère du précédent que par ses conclusions de règles maintenant adap-tées et regroupées dans le vecteur φ^ . Si l’on note φ∼ l’erreur de paramètres, c’est-à-dire φ∼=φ

-φ^, l’équation (59) devient finalement :

y⁽ⁿ⁾ = TSK(x, u) + ∆ = TSK^{^} (x, u) + W(x, u) φ∼ + ∆. (66) La loi de commande est construite de la même manière que précédemment à la nuance près que c’est maintenant le système flou adapté qui est inversé :

u = TSK^{^}INV(x, v) + u_a / β^{^}_u(x). (67) L’introduction de u dans la relation entrée/sortie du procédé conduit à l’obtention du système bouclé :

y⁽ⁿ⁾ = v + u_a + ∆ + W(x, u)φ∼. (68) Reste maintenant à déterminer une loi d’adaptation du vecteur de paramètres permettant de sa-tisfaire les objectifs fixés en termes de stabilité et de convergence de l’erreur de suivi. Deux ap-proches différentes sont proposées et détaillées dans [Boukezzoula00]. Elles sont reprises succinctement ici.

La première consiste à déterminer la loi d’adaptation de façon à minimiser l’erreur de pour-suite entre la sortie du procédé et la trajectoire désirée. Celle-ci, construite par une synthèse de Lyapunov selon une approche basée sur la théorie de la passivité, s’exprime sous la forme :

φ^

.

= - φ∼

.

= - Λ W(x, u) e^T b, (69)

avec Λ matrice diagonale définie positive et b vecteur ligne à n composantes.

La seconde stratégie repose sur une minimisation conjointe de l’erreur de suivi de trajectoire et de l’erreur de prédiction. Elle reprend la philosophie de base de la méthode composite propo-sée dans [Slotine91] et étendue aux systèmes flous dans [Boukezzoula98]. L’algorithme ini-tial, de type moindres carrés récursifs avec facteur d’oubli, s’avère cependant délicat à exploiter dans la mesure où les conditions de convergence annoncées sont difficilement

fiables. Une version modifiée de la méthode composite est donc proposée dans [Boukezzoula00]. Celle-ci reprend les outils de synthèse évoqués précédemment (Lyapunov, passivité) pour construire une loi d’adaptation s’exprimant sous la forme :

φ

^

.

= - φ∼

.

= - Λ W(x, u) [e^T b - e_p], (70) où e_p représente l’erreur de prédiction associée au modèle flou.

X Conclusion

Ce chapitre nous a permis d’aborder différents aspects numériques liés au développement des contrôleurs flous. A titre de conclusion, il nous paraît maintenant utile de revenir sur quelques points importants avant d’envisager les perspectives que l’on peut associer à ce travail.

La première remarque concerne le choix d’implantation d’un contrôleur flou. Si l’on se can-tonne aux aspects numériques, il est à nos yeux préférable d’utiliser un système de type Sugeno plutôt qu’un système de type Mamdani. Ce choix permet en effet d’éliminer les diffi-cultés liées à l’exploitation de gains de normalisation ou encore de paramètres additionnels nécessaires à l’écriture des règles additives (constantes α et β introduites dans (23)). Nous sommes d’ailleurs confortés dans cette opinion par le fait que nous n’avons trouvé aucun avan-tage à exploiter les opérateurs min/max préconisés par Mamdani, tout au moins dans un con-texte de commande. Au contraire, l’usage de ces derniers entraîne l’apparition de non-linéarités qui s’avèrent incontrôlables et dont l’aspect répétitif sur chaque maille floue nous semble préjudiciable. Enfin, en anticipant quelque peu sur le chapitre à venir, vous verrons que le choix des systèmes de Sugeno à conclusions constantes est également validé dans un cadre linguistique.

Le second point sur lequel il nous paraît essentiel d’insister est que, sous l’hypothèse d’un par-titionnement triangulaire strict des univers de discours d’entrée, un système flou de Sugeno à conclusions constantes n’est autre qu’un système multi-linéaire par morceaux. Ce résultat, pro-bablement connu par les spécialistes du domaine, n’est que très rarement énoncé de façon explicite. Il est pourtant fondamental et se décline sous différents points de vue, ainsi qu’illus-tré par les deux paragraphes qui suivent.

En posant des contraintes sur les conclusions des règles, il est aisé d’obtenir une implan-tation purement linéaire d’un système de Sugeno. Cette façon de faire permet notamment d’aboutir à la réalisation exacte de PID flous ou encore de contrôleurs linéaires par retour d’état flous. Cet état de fait devrait clore la première génération de travaux liés à l’implantation floue de PI, PD, PID ou de tout autre loi de commande linéaire. Dès à pré-sent, on voit d’ailleurs apparaître une seconde génération de PID flous, dans lesquels sont introduites des non-linéarités maîtrisées ([Hu99], [Mudi99], [Tao00]).

Toute fonction non linéaire peut être approximée par un système multi-linéaire par mor-ceaux. La qualité de l’approximation dépend alors du nombre de morceaux considérés c’est-à-dire, dans un contexte flou, du nombre de règles. Il est donc possible de cons-truire un modèle flou approximatif de tout système non linéaire. Ce dernier est exprima-ble sous une forme analytique, qui plus est, s’avère linéaire en les paramètres que représentent les conclusions de règles. Ces caractéristiques permettent d’imaginer l’inté-gration de modèles flous dans bon nombre de structures de commande conventionnelles. C’est ainsi que nous avons, par exemple, pu développer une structure de commande floue robuste adaptative par linéarisation entrées/sortie.

immédia-tes de développement. En effet, au même titre que les réseaux de neurones se sont “fuzzifiés”, il est tout à fait probable de voir apparaître dans un futur proche le qualificatif “flou” en asso-ciation de divers types de commande. D’ailleurs, bien que cela n’ait pas été présenté ici, nous avons déjà entrepris des démarches en ce sens, notamment dans le cadre de la commande à mo-dèle interne ([Boukezzoula02]). Si cette approche par “fuzzification” des architectures de com-mande conventionnelles n’a rien de révolutionnaire, elle présente cependant l’avantage de pouvoir aborder des problèmes non linéaires de façon relativement simple. Il n’en demeure pas moins que l’erreur d’approximation qu’elle peut induire rend essentielle la phase de synthèse d’une composante de “robustification”. Reste enfin à souligner que l’approximation, résultant de l’usage d’un système flou de Sugeno à conclusions constantes, différencie la statégie évo-quée ici de celle mise en oeuvre dans une implantation de type PDC (Parallel Distributed Con-trollers) où le modèle flou global est généralement supposé exact.

Pour une vision à plus long terme, il est sans doute important de réfléchir à la signification du qualitatif flou lorsqu’il est attribué à une commande ou à un modèle. Actuellement, il indique simplement que, d’un point de vue interne, certain transferts entrées/sortie sont exprimés sous forme de règles. D’un point de vue externe, il est impossible de différencier un module flou d’un quelconque mécanisme de calcul. Cette remarque révèle que l’aspect imprécis ou incer-tain n’est aucunement pris en compte dans les travaux actuels. A nos yeux, d’importants efforts sont encore à fournir pour analyser l’apport potentiel du flou dans le cadre de la commande des systèmes incertains. Dans ce contexte, il est nécessaire d’entamer une réflexion de fond sur dif-férents points, parmi lesquels on peut citer :

- l’utilisation et la manipulation des équations différentielles floues, - leur lien avec les systèmes à base de règles,

- l’exploitation possible de l’imprécis pour la synthèse d’un contrôleur, - la remise en question de l’étape de défuzzification.

Enfin, il est clair qu’un développement conséquent des travaux nécessite également de se posi-tionner par rapport aux avancées actuelles de la commande des systèmes incertains et notam-ment de situer l’outil flou par rapport aux approches probabilistes ou par intervalles.