Identification des familles F

A la section 2.3.4 nous avons donné une approximation quadratique de la position des familles F_k au voisinage des points fixes du problème circulaire. Il est possible de calculer leur position à n’importe quel ordre dans le voisinage des équilibres de Lagrange elliptique, c’est ce que nous montrerons en section 2.7. La séparation des échelles de temps exposée en section 2.4.2 va nous permettre d’identifier les famillesF d’un point de vue global à l’aide de méthodes semi-analytiques et numériques.

Commençons par faire l’hypothèse d’invariance adiabatique pour les variables ∆$ et Π, comme exposé en section 2.4.2. Ce faisant, nous pouvons étudier le système à 1 degré de liberté (ζ,Z) sur des temps courts devant 2π/g. En partant du hamiltonien dans les variables du problème réduit (2.24), nous pouvons calculer une estimation en tout point de l’espace des phases du hamiltonien réduit moyenné H_RM (2.25) en effectuant une moyenne numérique sur l’angle rapide Q. On rappelle que les famillesF^ν sont composées d’orbites dont les termes de fréquence ν sont d’amplitude nulle. Sur des temps courts devant 2π/g, nous pouvons considérer qu’il s’agit d’une famille de points fixes. Les F^ν sont donc l’ensemble des points de l’espace des phases pour lesquels nous avons :

∂

∂Z^HRM= ∂

∂ζ^{HRM= 0 . (2.40)}

On se place sur la variété ˙ζ = 0 (Z = 0 quand m₁ = m₂). Sur cette variété, les F^ν se trouvent donc pour ˙Z = _∂ζ^∂ H_RM = 0. Cette dérivée numérique, effectuée en tout point ζ_k d’une discrétisation de l’espace des phases dans la direction ζ est calculée de la manière suivante :

∂

∂ζ^HRM|ζ=ζk = H_RM(Z, ζ_k+1, ∆$, Π) − HRM(Z, ζ_k−1, ∆$, Π)

|ζ_k+1− ζ_k−1| ^{. (2.41)}

On considèrera que la condition (2.40) est remplie au point (ζ_k, ∆$) si on a : ∂

∂ζ^HRM|ζ=ζk × ^∂

∂ζ^HRM|ζ=ζk+1 < 0 . (2.42) Dans les variables utilisées, l’expression de (2.26) H_RM montre de manière évidente que la dérivée _∂ζ^∂H_RM ne dépend pas de ε dans le cas de notre approximation tant que nous nous trouvons sur des variétés à Z constant. Cette méthode permet de trouver des points de l’espace des phases vérifiant l’équation (2.40) pour le problème moyen, mais certains de ces points peuvent être situés dans des zones où les orbites ne sont pas quasi-périodiques dans le problème complet (voir les figures de la section 2.5).

Cette méthode semi-analytique n’est pas utilisable pour les familles F^g en l’état car elle nécessiterait d’effectuer la seconde moyenne sur l’angle semi-lent ζ. Cependant, comme expliqué en sections 2.4 et 2.4.2, l’intégration du problème à trois corps représente cor-rectement la dynamique du problème moyen réduit tant que la masse des coorbitaux est

suffisamment faible. Nous avons également vu dans ces sections que les variations de ∆$ dues à la fréquence ν sont de taille √

ε. Pour les orbites membres des familles F^g_k, les variations de ∆$ sont de taille√

ε sur toute échelle de temps. Nous allons donc utiliser la quantité (max (∆$) − min (∆$)) comme un traceur des orbites membres du voisinage des familles F^g_k. Nous ferons l’hypothèse suivante : on considèrera donc membre du voisinage des familles F^g_ktoute orbite située dans une zone régulière de l’espace des phases (loin des séparatrices et des zones instables) vérifiant la condition suivante :

(max (∆$) − min (∆$)) < _g, (2.43)

avec _g∝^√ε. On pourra comparer les membres de F^g ainsi déterminés avec ceux calculés analytiquement au voisinage des familles de points fixes du problème moyen dans la sec-tion 2.7.

Dans le cadre de ces intégrations du problème à trois corps, une constatation sur l’ensemble des simulations qui seront exposées par la suite nous amène à la détermination d’un traceur équivalent pour les orbites proches des familles F^ν. En effet, la quantité (max (Z) − min (Z)) semble peu affectée par la fréquence g. En complément du critère (2.40), nous ferons l’hypothèse suivante : on considèrera donc membre du voisinage des familles F^ν toute orbite située dans une zone régulière de l’espace des phases (loin des séparatrices et des zones instables) vérifiant la condition suivante :

(max (Z) − min (Z)) < _ν, (2.44)

avec _ν ∝^√ε.

Identification des familles F^ν dans le cas de deux masses égales

Nous savons déjà que la familleF^ν_k se trouve sur la variété Z = 0 dans le cas de masses égales. Les figures 2.4 montrent l’ensemble des points de la variété (Z = 0, Π = 0) pour lesquels la condition (2.42) est vérifiée. Ces cartes sont tracées grâce à une estimation de H_RM sur une grille de conditions initiales (ζ, Z = 0, ∆$, Π = 0) avec ζ et ∆$ sur des intervalles de taille 360^◦ et un pas de 0.5^◦.

Nous savons que la variété de collision passe par le point (0, 0), mais nous ne connaissons pas son expression en dehors de ce point. Cependant, des courbes issues de (0, 0) et vérifiant la condition (2.42) semblent correspondre à la position de la variété de collision dans les intégrations numériques du problème à trois corps complet (voir les figures de la section 2.5). Une explication possible est que _∂ζ^∂ H_RM tend vers +∞ en se rapprochant d’un côté de la collision et −∞ de l’autre, ce qui expliquerait pourquoi la collision vérifie la condition (2.42). A partir de maintenant on fera cette hypothèse et on identifiera ainsi la position de la variété de collision.

Pour des excentricités faibles (≤ 0.1) nous sommes au voisinage de la variété circulaire et la direction ∆$ influe peu sur la position des familles F^ν. Nous avons F^ν₄ en ζ = 60^◦, F^ν₃ en ζ = 180^◦ et F^ν₅ en ζ = 300^◦, ce qui correspond à l’approximation quadratique effectuée en section 2.3.4. Pour e₁ = e₂ = 0.1, on observe une courbe supplémentaire sur laquelle la condition (2.42) est vérifiée en ζ ≈ 0^◦ qui n’est pas la collision (cette courbe est confondue avec l’axe ζ = 0 sur la figure 2.4 (a)). Comme on le verra par la suite, cette variété coupe le domaine des quasi-satellites. Nous l’appellerons donc F^ν_QS.

Une augmentation de l’excentricité entraîne une dépendance croissante de la position des F^ν en fonction de ∆$. Jusqu’à e_j = 0.6, l’excentricité n’a pour effet que de tordre les

-150 -100 -50 0 50 100 (a) 150 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆ $ ζ -150 -100 -50 0 50 100 150 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆ $ ζ (b) -150 -100 -50 0 50 100 150 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆ $ ζ (c) -150 -100 -50 0 50 100 150 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆ $ ζ (d) -150 -100 -50 0 50 100 150 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆ $ ζ (e) -150 -100 -50 0 50 100 150 0 50 100 150 200 250 300 350 ∆ $ ζ (f)

Figure 2.4 – Trace de F^{ν sur la variété représentative a}1 = a₂ et e₁ = e₂. Les familles F^ν sont tracées en violet et les courbes dues à la variété de collision sont représentées en rouge. (a) e_j = 0.1 ; (b) e_j = 0.4 ; (c) e_j = 0.6 ; (d) e_j = 0.605 ; (e) e_j = 0.65 et (f) e_j = 0.7.

F^ν existantes. On vérifiera analytiquement la position de ces famille en section 2.7. Ce-pendant, entre e_j = 0.6 et e_j = 0.605, survient un changement de topologie important : les F^ν se reconnectent de manière à former une seule famille continue passant par l’ensemble des L_k et des AL_k pour k ∈ {3, 4, 5}. Comme nous le verrons dans les sections suivantes, cette reconnexion semble entraîner une modification globale de l’espace des phases de la

résonance coorbitale excentrique.

Remarque 5. Dans ce plan, la variété de collision représentée en rouge sur les figures 2.4 se rapproche des équilibres de Lagrange et anti-Lagrange excentriques L₄ et L₅ quand e_j augmente. Cela diminue la taille possible du domaine de stabilité dans cette direction pour les régions troyennes et augmente la taille du domaine des quasi-satellites. Dans ce plan, la variété de collision semble se rapprocher plus rapidement de L₄ (resp. L₅) que de AL₄ (resp. AL₅). Ce qui est cohérent avec l’observation de Giuppone et al. (2010) selon laquelle la taille de la région stable au voisinage de L₄ diminue plus vite que celle au voisinage de AL₄ à mesure que l’excentricité des coorbitaux augmente.

Remarque 6. Robutel et Pousse (2013) conjecturent que les familles L₃, AL₄ et AL₅ se confondent quand l’excentricité des deux corps tend vers 1. Cette reconnexion est consis-tante avec cette conjecture.

Remarque 7. On rappelle que la méthode semi-analytique utilisée ici est effectuée dans le cadre du problème moyen. La vérification de la condition (2.40) est donc une condition nécessaire pour que l’orbite associée du problème à trois corps excentrique plan (donc à 4 degrés de liberté) soit une orbite quasi-périodique à 3 fréquences. Il reste cependant à vérifier que cette orbite est effectivement quasi-périodique (et non chaotique/instable).

2.5 Étude des coorbitaux excentriques à deux masses égales