Identification adaptative dans les tores

2.5.4.1 Tores ´etudi´es

On consid`ere dans cette section des tores dans les grilles carr´ees et royales.

Le tore de dimensions p,q de la grille carr´ee est le graphe, not´e T_p,q, dont les sommets sont{0,. . .,p−1}×^{{0,. . .,q−1}}et tel qu’il y a une arˆete entre (i,j)et (i^′,j^′)si, et seulement si, l’une des deux conditions suivantes est remplie :

(i) i^′ =i+1etj=j^′, (ii) j^′=j+1eti^′ =i,

les indices sur i,i^′ et sur j,j^′ ´etant consid´er´es modulopet modulo q, res-pectivement.

Le tore T_p,q peut aussi ˆetre vu comme le rotagraphe ρ(C_q,p) (ou ρ(C_p,q)), avec C_k le cycle `a k sommets (voir Section 2.3.3), ou encore le produit cart´esienCp_Cq(voir Figure2.22).

Le tore de la grille royale, not´eKT_p,q, est obtenu `a partir du tore de la grille carr´ee T_p,q en y ajoutant toutes les arˆetes crois´ees du type (i,j)(i+

FIGURE2.21 :Le grapheH1est l’arbre `a trois sommets, dont la^≪racine^≫est le sommet de degr´e 2. Pour tout i ≥ ², le graphe H_i est obtenu en pre-nant deux copies de H_i−1. Un sommet est alors ajout´e, qui fera office de

≪racine^≫ deHi. La ^≪racine^≫ deHi est alors reli´ee `a la <sup>≪</sup>racine<sup>≫</sup> d’une des copies de Hi−1, ainsi qu’`a tous les sommets de l’autre copie de Hi−1. Comme l’interrogation de la ^≪racine^≫ d’un arbre H_k s´epare les sommets de Hk en deux sous-ensembles de taille `a peu pr`es ´egale, alors il est fa-cile de construire un code identifiant adaptatif utilisant un nombre maxi-mum de questions logarithmique en le nombre de sommets. Par ailleurs, consid´erons les ^≪feuilles^≫ d’un graphe Hk. Deux telles ^≪feuilles^≫ ayant le mˆeme ^≪p`ere^≫ ne peuvent clairement ˆetre s´epar´ees l’une de l’autre que par elles-mˆemes, donc tout code identifiant doit n´ecessairement contenir au moins une de ces ^≪feuilles^≫. Ainsi, il y approximativement la moiti´e des

≪feuilles^≫ deH_k dans tout code identifiant. Or, celles-ci repr´esentent une fraction lin´eaire du nombre total de sommets deH_k.

FIGURE2.22 :Le tore de dimensions6,6de la grille carr´ee, not´eT_6,6. Celui-ci peut ˆetre vu comme le rotagrapheρ(C₆,6), ou comme le produit cart´esien C6_C6.

1,j+1) ou(i,j)(i+1,j−1), les indices ´etant toujours pris modulop et q, respectivement.

Ce graphe ne peut pas ˆetre vu comme un produit cart´esien, il peut tou-tefois lui aussi ˆetre vu comme un rotagraphe.

2.5.4.2 Bornes g´en´erales dans les graphes r´eguliers

Nous ´etablissons, dans notre premier article avec Yael Ben-Haim, Syl-vain Gravier, et Antoine Lobstein [20], des bornes g´en´erales sur la cardina-lit´e d’un coder-identifiant adaptatif dans les graphes r´eguliers.

Cette borne est bas´ee sur la notion d’empilement. Unempilement(packing en anglais) dans un graphe G = (V,E) est un sous-ensemble de sommets P ⊆ ^V tels que la distance entre deux points distincts quelconques de P est d’au moins trois. La cardinalit´e maximum d’un empilement dansGest not´ec(G).

On a toujours c(G) ≤ γ(G), car tout empilement P montre qu’il faut au moins|P|sommets pour couvrirG, un sommet d’un dominant deGne pouvant couvrir au plus qu’un des sommets deP.

Notre borne s’applique aux graphes r´eguliers tels que, pour tout som-met x, la cardinalit´e du voisinage ferm´e de x dansG^rest invariante. Cette quantit´e est not´eev(G^r). On a donc par hypoth`esev(G^r) =|N[x]|pour tout sommetxdeG^r, c’est le volume d’une boule de rayonrdansG.

Par ailleurs, on d´efinitd_r(G)comme ´etant le nombre minimum de ques-tions (adaptatives) n´ecessaires pour traiter une bouleB_r(x), avecxsommet quelconque du graphe, en supposant qu’il n’y a pas de sommet d´efecteux en-dehors de B_r(x) (ainsi, il peut y avoir 0 ou 1 sommet d´efectueux dans B_r(x)).

Notre r´esultat est le suivant :

Th´eor`eme 53 (Bornes g´en´erales dans les graphes r´eguliers). Soit r ≥ ^{1 et} soitGun graphe admettant un coder-identifiant. On suppose, de plus, queGest r´egulier, et que pour tout sommetx, la cardinalit´e du voisinage ferm´e dexdansG^r est une constante, not´eev(G^r). Notons de plusd_r(G)comme ci-dessus. Alors on a

c(G^r) −1+⌈^log₂^{(v(Gr) +1)}⌉ ≤ ^aID(Gr) ≤ ^{γ(Gr) −1+d}r(G). Pour la borne inf´erieure, on montre que, si les r´eponses auxc(G^r) −1 premi`eres questions sont toutes NON, alors il nous reste au moins v(G^r) sommets qui n’ont pas ´et´e couverts par ces c(G^r) −1questions. Ainsi, il y av(G^r) +1possibilit´es : soit l’un de cesv(G^r)sommets est d´efectueux, soit il n’y a pas du tout de sommet d´efectueux dans le graphe. Ces v(G^r) +1 possibilit´es n´ecessitent au moins ⌈^log₂^{(v(Gr) +1)}⌉^questions.

Par ailleurs, siCest un coder-couvrant deG, de cardinalit´eγ(G^r), alors on peut lui associer une strat´egie adaptative comme suit. On interroge les sommets de Cdans un ordre quelconque. D`es lors qu’un de ces sommets x r´epond OUI, on sait qu’il existe un sommet d´efectueux dans B<sub>r</sub>(x), et il nous faut par d´efinition au plusd<sub>r</sub>(x)questions pour trouver celui-ci. Ainsi, si l’un des γ(G<sup>r</sup>) −1 premiers sommets interrog´es r´epond OUI, alors on peut conclure en au plusγ(G<sup>r</sup>) −1+dr(G)questions. Si ceux-ci r´epondent tous NON, alors il nous reste `a consid´erer l’ensemble des sommets non couverts par ces γ(G^r) −1 premi`eres questions, qui est un sous-ensemble deB_r(v), avecvle sommet deCque nous n’avons pas encore interrog´e. Par d´efinition, traiter un sous-ensemble de cette boule Br(v) n´ecessite au plus d_r(v)questions, et nous avons, dans ce cas, utilis´e au plusγ(G^r) −1+d_r(G) questions.

2.5.4.3 R´esultats sur les tores

L’utilit´e du Th´eor`eme53r´eside dans le fait que, lorsquepetqsont tous deux multiples de2r<sup>2</sup>+2r+1, alors la puissance du toreT<sub>p,q</sub><sup>r</sup> admet uncode parfait, c’est-`a-dire un empilementP qui est aussi un dominant [91]. En ce cas on ac(T_p,q^r ) =γ(T_p,q^r ), et des bornes plus pr´ecises sura^ID(T_p,q^r )peuvent ˆetre obtenues en ´etudiantd_r(T_p,q).

Nous obtenons alors les valeurs exactes de a^ID(T_p,q^r ) pour de nom-breuses valeurs dep, etq.

De fac¸on g´en´erale, on montre que l’on a [20] :

Th´eor`eme 54 (Tores de la grille carr´ee). Soit T_p,q le tore de la grille carr´ee de dimensionsp,q, et soitr≥1. Alors on a :

a^ID(T_p,q^r ) = pq

2r²+2r+1+Θ(p+q).

En particulier, la densit´e d’un code adaptatif dans la grille carr´ee infinie est ´egal `a <sub>2r2+2r+1</sub><sup>1</sup> , ce qui est meilleur que la densit´e d’un code identifiant (non-adaptatif). En effet, on sait par exemple pour r = 1 que la densit´e optimale d’un code (non-adaptatif) est0,35[22], `a comparer `a0,2pour un code adaptatif. De mˆeme, pourr > 1, on sait que la densit´e d’un code (non-adaptatif) est sup´erieure `a _8r+4³ [44].

Le cas du tore dans la grille royale est analogue. En effet, lorsquepetq sont tous deux multiples de2r+1, alors la puissance du toreKT_p,q^r admet un code parfait. Ceci nous permet d’obtenir des bornes g´en´erales plus fines que celles du Th´eor`eme53dans le cas du tore de la grille royale.

Par ailleurs, le probl`eme est apparent´e `a un jeu de R´enyi ´etudi´e par Mikl ´os Ruszink ´o [160]. Le jeu ´etudi´e par Ruszink ´o est le suivant. Le joueur Carole choisit un sommet myst`ere dans le rectangle

R_a,b ={(x,y)|1≤^x ≤^a,1≤^y≤^b}⊂^R2. Le joueur Paul ne peut poser que des questions du type

≪le sommet myst`ere est-il dans le rectangleR<sub>r,s</sub>?<sup>≫</sup> avecretsparam`etres entiers de son choix.

Ce jeu s’apparente `a notre probl`eme d’identification adaptative dans le sens o `u, lorsque a = b = 2r+1, le rectangleR<sub>a,b</sub> n’est autre que la boule de rayon rcentr´ee en (r,r). Les questions autoris´ees `a Paul forment alors un sous-ensemble des questions l´egales pour le probl`eme d’identification adaptative dans la grille royale. Les r´esultats de Ruszink ´o sur ce jeu nous permettent d’obtenir des bornes tr`es fines surd_r(KT_p,q).

Pour un grand nombre de valeurs de p et q, nous obtenons la valeur exacte dea^ID(KT_p,q^r ).

De fac¸on g´en´erale, nous montrons que l’on a [21] :

Th´eor`eme 55(Tores de la grille royale). SoitKT_p,q le tore de la grille royale de dimensionsp,q, et soitr≥1. Alors on a :

a^ID(KT_p,q^r ) = pq

(2r+1)² +Θ(p+q).

Par cons´equent, la densit´e d’un code adaptatif dans la grille carr´ee infi-nie est ´egal `a <sub>(2r+1)</sub><sup>1</sup> 2, `a comparer `a <sup>2</sup><sub>9</sub> pour le cas d’un code identifiant non adaptatif avecr=1[48], et `a _4r¹ dans le casr > 1[45].

Ville Junnila ´etend ces r´esultats dans un manuscrit soumis `aDiscrete Ma-thematics and Theoretical Computer Science[117], o `u il ´etudie l’identification de sous-ensembles de sommets, c’est-`a-dire les codes (r,≤ ℓ)-identifiants adaptatifs.

Si l’on notea^ID_ℓ l’identification adaptative de sous-ensembles d’au plus ℓsommets, alors Ville Junnila montre :

Th´eor`eme 56(Tores pourℓ > 1). SoitT_p,q(resp.KT_p,q) le tore de la grille carr´ee (resp. royale) de dimensionsp,q, et soitr≥1. Alors on a :

a^ID₂ (KT_p,q^r ) = pq

(2r+1)² +Θ(lnr).

Sipetqsont tous deux multiples de 5, on a :

Dans le cas ℓ ≥ 3, l’identification adaptative est impossible dans les tores de la grille royale. De mˆeme, le casℓ ≥ ⁴est trivial pour les tores de la grille carr´ee.