Idée de la démonstration

Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I), on poseM:=S+I,on définitµ1:M⊗M→M, en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I), les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I, et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI), alorsµ1=µ⁰₁◦Φ. On définit égalementη:I→S+I parqI. Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne, etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

Idée de la démonstration

Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I),on poseM:=S+I, on définitµ1:M⊗M→M,en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I), les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I, et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI), alorsµ1=µ⁰₁◦Φ. On définit égalementη:I→S+I parqI. Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne, etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

Idée de la démonstration

Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I), on poseM:=S+I,on définitµ1:M⊗M→M, en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I),les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I, et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI), alorsµ1=µ⁰₁◦Φ. On définit égalementη:I→S+I parqI. Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne, etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

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Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I), on poseM:=S+I, on définitµ1:M⊗M→M,en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I), les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I,et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI), alorsµ1=µ⁰₁◦Φ. On définit égalementη:I→S+I parqI. Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne, etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

Idée de la démonstration

Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I), on poseM:=S+I, on définitµ1:M⊗M→M, en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I),les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I, et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI), alorsµ1=µ⁰₁◦Φ. On définit égalementη:I→S+I parqI. Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne, etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

Idée de la démonstration

Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I), on poseM:=S+I, on définitµ1:M⊗M→M, en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I), les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I,et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI),alorsµ1=µ⁰₁◦Φ. On définit égalementη:I→S+I parqI. Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne, etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

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Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I), on poseM:=S+I, on définitµ1:M⊗M→M, en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I), les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I, et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI), alorsµ1=µ⁰₁◦Φ.On définit égalementη:I→S+I parqI. Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne, etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

Idée de la démonstration

Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I), on poseM:=S+I, on définitµ1:M⊗M→M, en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I), les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I, et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI),alorsµ1=µ⁰₁◦Φ. On définit égalementη:I→S+I parqI.Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne, etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

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Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I), on poseM:=S+I, on définitµ1:M⊗M→M, en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I), les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I, et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI), alorsµ1=µ⁰₁◦Φ.On définit égalementη:I→S+I parqI. Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne,etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

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Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I), on poseM:=S+I, on définitµ1:M⊗M→M, en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I), les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I, et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI), alorsµ1=µ⁰₁◦Φ. On définit égalementη:I→S+I parqI.Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne, etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

Idée de la démonstration

Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I), on poseM:=S+I, on définitµ1:M⊗M→M, en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I), les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I, et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI), alorsµ1=µ⁰₁◦Φ. On définit égalementη:I→S+I parqI. Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne,etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

Idée de la démonstration

Partant d’un semi-groupe interne(S, µ)dans la catégorie monoïdale(C,⊗,I), on poseM:=S+I, on définitµ1:M⊗M→M, en utilisant l’isomorphisme

Φ :M⊗M∼= (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I), les flêchesqS◦µ:S⊗S→S+I, qS◦ρS:S⊗I→S+I,qS◦λS:I⊗S→S+I, etqI◦λI:I⊗I→S+I, et le coproduit+: soitµ⁰₁: (S⊗S+S⊗I) + (I⊗S+I⊗I)→S+Iavec

µ⁰₁= (qS◦(µ, ρS), λS+λI), alorsµ1=µ⁰₁◦Φ. On définit égalementη:I→S+I parqI. Alors après quelques (longues...) vérifications, on montre que(M, µ1, η)est un monoïde interne, etA:S7→Mest un foncteur vérifiant la propriété universelle du théorème.

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe,et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe,et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire,etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre.On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire,etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre.On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Exemples

Clairement si∗ 6∈S, alorsS∪ {∗}est une somme disjointe, et on retrouve la notion usuelle d’adjonction d’une unité à un semigroupe ;

2 SoitRun anneau commutatif unitaire, etAuneR-algèbre. On définit

µ⁰₁: (A⊗RA)⊕(A⊗RR)⊕(R⊗RA)⊕(R⊗RR)→A⊕Rparµ⁰₁(x⊗y) =xy,

Dans le document CIP LaurentPoinsot Adjonctiond’unité,aspectcatégorique (Page 122-160)