Hypothèses

Motivé par les travaux de Léveillé & Garrido (2001a, 2001b), Léveillé & Adékambi (2011), Maréchal et coll. (2006)7, Pettere (2006) et les observations empiriques présentées

au chapitre 1, le processus agrégé des réclamations escomptées suivant est considéré pour des contrats de type « claims-made »:

( )

₁

( )

₂

( )

( ) ₁

(

)

( ) ₂

(

)

1 1 N t N t k k k k k k k k

Z t

Z t

Z t

D T

τ

X

D T

τ

Y

= =

=

+

=∑

+

_

+

∑

+

_

où,

•

Z t_{( )}

est le montant agrégé actualisé des coûts de l’assurance pour faute ou négligence pour un professionnel de la santé.

• Z t₁( ) et Z t₂( ) sont respectivement la valeur actualisée du processus du paiement des sinistres et la valeur actualisée du processus des frais alloués.

•

T

_k est le moment où la kième réclamation est reçue par l’assureur, et

{ , }τ

_k

k∈_

forme une suite de variables aléatoires continues positives indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) tel que

1 k i k i

T

τ

=

=∑

.

•

τ

_k est le délai pris pour régler la

_k

ième _{réclamation (à partir du moment où elle}

est reçue par l’assureur), les { , }

τ

k k∈ formant une suite de variables aléatoires

continues positives i.i.d. et indépendantes de la suite des { , }T k ∈k  .

7 _{Dans Maréchal et coll. (2006), une approche fréquence sévérité est proposée pour modéliser le}

45 • X_k est le montant de la

_k

ième _{réclamation (sans inflation), les { , }}

k

X k ∈

formant une suite de variables aléatoires positives i.i.d., indépendantes de la suite { , }T k ∈k  .

• _Yk est le montant des frais alloués encourus par l’assureur (enquêtes, avocats, …) en rapport avec la

_k

ième _{réclamation (sans inflation), indépendantes de la suite} { , }T k ∈k  .

• Les variables aléatoires Xk, Yk et

τ

k sont dépendantes (en probabilité).

• {N t t ≥

( )

, 0} forme un processus de renouvellement ordinaire.

•

( )

( )

0

exp t

i i

D t = _−

δ

u du_



∫

 est le facteur d’escompte à

t =0

correspondant

à Z ti( ) où

δ

i

( )

t est la force d’intérêt, net d’inflation, qui peut être déterministe

(en particulier constante) ou stochastique, pour

i =1,2

. De plus, nous supposerons (dans le cas stochastique) que {

δ

₁

( )

t t, ≥0} et {

δ

₂

( )

t t, ≥0} sont des processus généralement dépendants (p.ex. conjoncture économique, inflation).

Aux fins de calculs, nous supposerons que chacun des

δ

_i

( )

t obéit à une équation différentielle stochastique de Vasicek et qu’ils sont distribués conjointement suivant une loi normale bivariée (avec corrélation non nulle positive). Autrement dit, nous supposerons que le couple des taux d’actualisation stochastique suivra un Vasicek bivarié, processus qui sera défini dans ce document.

De plus, le modèle de Vasicek peut générer des forces continues négatives, ce qui, dans certains cas, n’est pas réaliste. Or dans le cas qui nous intéresse, il est possible que le taux d’inflation, dans les montants des réclamations et des frais, dépasse le taux d’intérêt, générant ainsi à l’occasion une force d’intérêt net négative. De plus, le modèle de Vasicek incorpore un élément de retour à la moyenne que nous considérons comme une propriété désirable, car cela est en lien avec les cycles économiques et les cycles d’assurance. Ainsi, le modèle de Vasicek, pour notre application, est un modèle qui tend à s’approcher de la réalité. À noter que d’autres fonctions d’actualisation stochastiques pourraient être considérées, ce qui ne sera pas le cas dans cet ouvrage.

46

En mots,

Z t( )

représente la valeur actualisée des montants des réclamations ainsi que des frais alloués dans le cas d’un type de contrat « claims-made », ce qui est une structure (simplifiée) des coûts encourus par un mécanisme de transfert de risque. De plus, ce modèle est une généralisation des modèles classiques de fréquence-sévérité avec introduction d’un facteur d’actualisation stochastique, ce qui permet une meilleure approximation de la réalité. Il va sans dire que l’approche fréquence-sévérité est réaliste : un mécanisme de transfert de risque va débourser des montants pour un nombre de sinistres auxquels un coût sera associé à chacun de ces derniers.

De surcroît, le modèle considéré a une structure mathématique générale et souple : nous n’avons émis aucune hypothèse forte sur les distributions de probabilité et proposons d’étudier la dépendance dans le triplet

(X Y, ,τ)

à l’aide de copules. Cela augmente les chances de succès d’application de ce modèle sur des données réelles (même pour d’autres lignes d’affaires avec des caractéristiques similaires). Finalement, au chapitre 4, nous allons utiliser ce modèle pour calculer des primes et évaluer des mesures de risque, quantités qui sont d’intérêt pour les actuaires. Cela démontre que le modèle est applicable et calculable, sous des hypothèses raisonnables.

Les hypothèses qui seront utilisées pour effectuer les calculs dans ce chapitre sont présentées ci-après. Premièrement, une des hypothèses importantes utilisées sera de supposer que les paiements des réclamations et les frais alloués suivent tous deux des lois de Pareto

(β θ

,

)

(la distribution du montant des réclamations et des frais alloués ont des queues lourdes, ce qui est une hypothèse réaliste) dont la fonction de répartition est donnée par :

( )

1

F x

x

θ

β

β





= − 

₊







,

x >0

,

β

>0

,

θ

>2

.

Nous posons la condition

θ

>2

pour permettre l’existence du deuxième moment de la distribution des coûts agrégés.

Pour les calculs numériques, nous supposerons que

.

X Pareto~

(β

₁

=3,θ

₁

=3)

,

Y Pareto~

(β

₂

=4,θ

₂

=5)

.

τ

~Erlang( )2, 2

,

τ~Erlang( )1,5

.

Les paramètres pour les lois de Pareto sont des choix arbitraires, mais pourraient représenter les coûts en milliers ou millions de dollars. De plus, les hypothèses

47 concernant les temps d’attente sont arbitraires. Néanmoins, considérer que le temps entre les déclarations de sinistres suit une

Erlang( )2, 2

au lieu d’une

Erlang( )1, 2

permet d’enrichir l’analyse qui sera effectuée (effets mathématiques). Aussi, cela démontre que notre modèle est calculable pour des cas de distribution du temps entre les réclamations plus complexes qu’une exponentielle8. De plus, pour une loi

( )2, 2

Erlang

, nous avons

( )

exp 4

( )

1

4 4

t

m t = − − +t

⇒

m t′( )= −1 exp 4( )−

t

.

Nous considérerons aussi les valeurs suivantes pour les taux d’actualisation, soient

1 0,05

δ

= et

δ

₂ =0,03, qui sont aussi des choix arbitraires, mais réalistes. Finalement, le paramètre de la copule de Joe est posé comme étant

θ

=2

. Ce choix de paramètre est également arbitraire, mais permet d’introduire une dépendance positive significative dans la queue des distributions tel que démontré au chapitre précédent, ce qui est conforme aux observations faites dans les études empiriques présentées au chapitre 1.

Dans le document Un modèle d’évaluation des coûts agrégés liés aux assurances pour les professionnels de la santé (Page 54-57)