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Un modèle d’évaluation des coûts agrégés liés aux assurances pour les professionnels de la santé

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UN MODÈLE D’ÉVALUATION DES

COÛTS AGRÉGÉS LIÉS AUX ASSURANCES

POUR LES PROFESSIONNELS DE LA SANTÉ

Mémoire

Emmanuel Hamel

Maîtrise en actuariat

Maîtres ès sciences (M.Sc.)

Québec, Canada

©Emmanuel Hamel, 2013

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(3)

iii

Résumé

Dans ce mémoire, un processus d’évaluation des coûts agrégés liés aux assurances pour les professionnels de la santé est considéré. Au chapitre 1, nous décrivons les principales caractéristiques de l’assurance pour les professionnels de la santé : l’environnement, les types de couverture d’assurance, la prime, les coûts liés aux réclamations, les types de dépendances stochastiques dans le processus des coûts et dans les taux d’actualisation du processus des coûts. Au chapitre 2, une description des concepts théoriques préalables à l’élaboration et à l’application du modèle mathématique est faite : la dépendance (avec copules), le processus de renouvellement, la force d’intérêt et les méthodes numériques utilisées. Au chapitre 3, le modèle théorique du processus des coûts est établi et les premiers moments de ce processus sont obtenus, par des calculs numériques déterministes et par simulations. Au chapitre 4, plusieurs applications du modèle sont présentées : moments avec force d’intérêt stochastique (Vasicek), incidences de la dépendance sur le modèle, calculs de primes, mesures de risque (VaR et TVaR). Au chapitre 5, nous concluons ce mémoire.

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Abstract

In this master’s degree thesis, an aggregate loss model for health professionals is considered. The introduction describes some characteristics related to the insurance for health professionals: environment, type of insurance coverage, premium, cost of a claim, stochastic dependencies in the claim process and discount rate. In chapter 2, a description of theoretical concepts related to the proposed mathematical model is done: stochastic dependence (by copulas), renewal processes, discount rate (i.e. stochastic differential equations) and numerical methods. In chapter 3, the theoretical model is presented and the first moments are obtained, with deterministic numerical calculations and simulations. In chapter 4, some applications of the model are presented: first moments calculations with stochastic interest rate (Vasicek), impact of dependence on the model, premium calculations, risk measures (VaR and TVaR). In chapter 5, the conclusion follows.

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Avant-propos

À Ghislain Léveillé, mon directeur de recherche, je tiens à le remercier pour l’encadrement et pour le soutien financier qu’il m’a donné lors de l’élaboration et la rédaction de ce mémoire.

À ma famille et à mes amis, je tiens à exprimer une profonde reconnaissance pour le soutien qu’ils m’ont apporté lors de mes études de maîtrise.

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Table des matières

Résumé ... iii

Abstract ... v

Avant-propos ... vii

Chapitre 1 Introduction ... 1

Chapitre 2 Concepts théoriques préalables au modèle ... 14

2.1 Processus de renouvellement ordinaire ... 14

2.1.1 Définitions ... 14

2.1.2 Sommes de renouvellement avec réclamations escomptées ... 17

2.1.2.1 Taux d’actualisation constant ... 18

2.1.2.2 Taux d’actualisation stochastique ... 19

2.2 Dépendance ... 19

2.2.1 Copule ... 20

2.2.2 Copules Archimédiennes ... 21

2.2.3 Mesures de dépendance ... 24

2.2.3.1 Mesure de Spearman Rho multivariée ... 24

2.2.3.2 Mesure de Kendall Tau multivarié ... 26

2.2.3.3 Mesure de « Upper tail dependence » ... 28

2.3 Force d’intérêt ... 29

2.3.1 Force d’intérêt constante... 30

2.3.2 Lemme d’Itô ... 30

2.3.3 Vasicek ... 32

2.4 Méthodes numériques utilisées ... 34

2.4.1 Méthodes de quadrature ... 35

2.4.2 Algorithmes d’intégration numérique ... 36

2.4.2.1 Algorithme de Cuhre ... 37

2.4.2.2 Algorithme Vegas ... 39

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x

Chapitre 3 Processus des coûts ... 44

3.1 Hypothèses ... 44

3.2 Calculs des deux premiers moments ... 47

3.3 Calculs des fonctions d’auto-covariance et d’auto-corrélation ... 57

Chapitre 4 Applications ... 62

4.1 Méthodes de simulation des processus ... 62

4.1.1 Algorithme de simulation ... 62

4.1.2 Simulation de la distribution du processus des coûts ... 64

4.2 Calculs de primes ... 66

4.3 Mesures de risque VaR et TVaR ... 69

4.4 Incidences de la dépendance sur le modèle ... 71

4.4.1 Incidence de la dépendance sur le premier moment ... 71

4.4.2 Incidence de la dépendance sur la variance ... 72

4.4.3 Incidence de la dépendance sur la fonction d’auto-covariance ... 74

4.4.4 Incidence de la dépendance sur la fonction d’auto-corrélation ... 74

4.5 Moments simples et conjoints avec Vasicek ... 75

Chapitre 5 Conclusion ... 81

Bibliographie ... 83

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1

Chapitre 1 Introduction

Les soins de santé sont une préoccupation constante dans notre société et particulièrement pour les organismes qui en défraient les coûts. Les coûts des soins de santé reposent sur un équilibre dynamique entre plusieurs éléments, dont le marché de l’assurance. De fait, le marché de l’assurance pour les professionnels de la santé est un élément qui doit être considéré sérieusement, car il influe considérablement sur les coûts et l’accessibilité aux soins de santé.

Un élément clef qui est relié aux coûts des soins de santé est le processus de réclamation pour négligence ou faute d’un professionnel de la santé. Ce dernier peut être représenté par une suite de décisions temporelles par les agents impliqués. La personne qui nécessite des soins de santé doit déterminer si elle a à rencontrer un professionnel de la santé. Ensuite, le traitement éventuel résultant de cette rencontre peut s’avérer positif ou aboutir à une faute professionnelle. Le patient peut alors décider de poursuive ou non le professionnel de la santé en cas de faute, ce qui peut engager les parties impliquées dans des négociations plus ou moins laborieuses. Si ces négociations achoppent, ces dernières peuvent alors générer un procès1. Dans le cas où un procès a lieu, le résultat final est

déterminé par la cour, processus qui est très variable en tous aspects (p.ex. il est souvent difficile de départager l’aléa de la faute, voir Bhat (2001) et Acerbo-Kozuchowski & Ashton (2007) pour plus de détails).

Figure 1

Pour qu’il y ait négligence ou faute d’un professionnel de la santé, le patient doit avoir subi un préjudice relativement important. Plus précisément, le juge peut émettre un constat défavorable au praticien selon les trois critères suivants: un fait générateur, une

1 Il est à noter qu’une grande proportion des sinistres pour la responsabilité civile médicale est

réglée hors cours. Néanmoins, cela engendre tout de même des frais d’avocats souvent importants.

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2

faute ayant causé dommage et l’existence d’un lien de causalité entre ces derniers. De plus, il y a plusieurs types de fautes possibles : acte technique fautif, acte non fautif (aléa), infection nosocomiale, affection iatrogène, accident dû à la prescription ou à la délivrance de produits de santé, etc. Aussi, plusieurs causes peuvent jouer un rôle déterminant en ce qui a trait aux professionnels de la santé impliqués dans une réclamation pour négligence ou faute : l’environnement de travail, l’absence de protocoles, une communication inadéquate entre les professionnels de la santé, importance de la charge de travail, etc.

Aux fins du présent document, le concept de négligence ou faute d’un professionnel de la santé est défini comme suit2 :

« […] afin de pouvoir établir qu’il y a eu négligence de la part d’un médecin, un patient demandeur doit prouver, à la satisfaction de la cour, que le préjudice a été causé parce que le médecin ne s’est pas conformé à une norme de pratique raisonnable et acceptable. Afin de déterminer s’il y a eu négligence ou faute professionnelle, les tribunaux appliquent non pas une norme de pratique visant la perfection, mais plutôt la norme de pratique qu’aurait utilisée un collègue dans des circonstances similaires. »

(Association canadienne de protection médicale)3

En pratique, la plupart des professionnels de la santé (p.ex. infirmière, médecin) peuvent être responsables de négligence. De plus, les actes de négligence peuvent survenir dans différents endroits, par exemple, dans des hôpitaux, des bureaux de médecins, etc. Il est à noter que le concept de négligence ou de faute d’un professionnel de la santé a été introduit dès 1375! En réalité, un besoin de protection contre les aléas de la cour a « toujours » été présent pour les professionnels de la santé et fut comblé pour la première fois en 1417 par l’introduction d’un regroupement d’assurance obligatoire en Angleterre (American college of legal medecine (2007))! Sans grande surprise, des mécanismes de transfert de risque existent toujours sous différentes formes (p. ex. assureurs, mutuelles, système sans égard à la faute). Pour que ces mécanismes de transfert de risque fonctionnent adéquatement, il faut déterminer des méthodes d’établissement des coûts. Cette dernière tâche serait difficilement réalisable sans

2 On considère que la définition est valable pour tout professionnel de la santé même si le terme

médecin est utilisé.

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3 connaissance des caractéristiques principales de l’environnement des professionnels de la santé.

Environnement des professionnels de la santé

L’environnement des professionnels de la santé a beaucoup évolué durant les dernières décennies. De nombreuses crises, qui ont notamment eu lieu aux États-Unis, ont provoqué des changements importants. Comme les crises ont un impact sur le processus des coûts et sur les mécanismes de transfert de risque, par le biais des réformes qu’elles génèrent, beaucoup de tentatives ont été effectuées pour trouver des solutions, néanmoins sans résultats très probants (Gilmour (2006)). En outre, chacune de ces crises a été provoquée par des facteurs différents (p.ex. plus grande facilité des patients à poursuivre, déclin dans la valeur des actifs financiers, voir Dalton et coll. (2008) ).

En général, une crise peut être décrite par une période où les professionnels de la santé se débattent pour obtenir une couverture d’assurance (Dalton et coll. (2008)). Lors de ces périodes de crise, les couvertures sont moins disponibles et les coûts de ces couvertures deviennent exorbitants. Cela est particulièrement vrai pour les spécialités qui sont les plus risquées (p.ex. obstétriciens, neurochirurgiens).

Suite aux crises, plusieurs modifications ont été apportées à l’environnement de l’assurance pour les professionnels de la santé, notamment par la formation de nouveaux mécanismes de transfert de risque et par la modification de certaines dispositions législatives, ceci afin de tenter de contrôler les coûts liés aux poursuites. Les principales modifications à l’environnement législatif ont été l’imposition de limites sur les contrats pour le nombre de poursuites et pour la sévérité des sinistres, la restriction des droits de la victime pour le système judiciaire et pour le système d’assurance (Sloan et Chepke (2008)). Il est à noter que les changements législatifs affectent généralement l’ensemble des contrats et ces derniers peuvent compliquer la tâche des actuaires (Tvergerg (2005)), car ils introduisent une dépendance entre tous les risques d’un portefeuille. Également, les réformes législatives ont de l’impact sur plusieurs agents du marché d’assurance des professionnels de la santé (p.ex. assureurs, avocats). De plus, les modifications législatives altèrent l’expérience des mécanismes de transfert de risque et ajoutent de l’incertitude supplémentaire, car il est difficile de modéliser le moment de réalisation et l’impact de ces dernières. Finalement, les modifications législatives ne règlent pas nécessairement ce qui semble être la vraie nature du problème : la négligence de certains professionnels de la santé.

Un des éléments qui est fortement lié aux crises est le cycle d’assurance qui représente une oscillation des conditions de marché (Baker (2005 a)). De fait, le marché de

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l’assurance pour les professionnels de la santé évolue à travers des périodes « hard » et « soft ». Les périodes « hard » sont caractérisées par une augmentation des primes, une tarification compétitive, une offre de couverture plus restrictive et par le départ d’assureurs du marché. Les périodes « soft » sont caractérisées par une augmentation relativement faible de la prime, une tarification peu compétitive, une offre de couverture « généreuse » et une compétition peu prononcée entre les mécanismes de transfert de risque. De fait, les lignes d’assurance couvrant la responsabilité civile pour les professionnels de la santé sont caractérisées par un cycle d’assurance très volatile. Les causes de cette volatilité semblent être le délai pour régler les réclamations ainsi que leur sévérité (GAO (2003)).

De plus, le délai entre le moment de réception de la prime et le paiement du sinistre est généralement grand. Cela implique que pendant la période intérim, le mécanisme de transfert de risque peut sous-estimer ou surestimer le passif des polices, ce qui peut avoir un impact sur les cycles d’assurance (et les primes).

En résumé, les cycles d’assurance ont un impact sur l’accessibilité des couvertures et conséquemment, sur le processus des coûts.

Couverture d’assurance

En pratique, plusieurs types de couvertures s’offrent aux professionnels de la santé : « claims-made », « claims-paid », « occurrence », « prior acts coverage », « tail coverage », « death, disability and retirement (DDR) » et « hybrid ». De plus, la période de couverture varie d’un contrat à l’autre et d’un mécanisme de transfert à l’autre. Des périodes de couverture typiques sont un et trois ans. Il va sans dire que les clauses d’un contrat affectent directement les coûts qui sont reliés à ce dernier.

La couverture d’un contrat dit « claims-made » protège le titulaire de police que si le sinistre est déclaré par ce dernier durant la période de couverture. Ce type de contrat semble être le plus populaire sur le marché. Également, la couverture du type de contrat « claims-paid » n’entre en vigueur que si le sinistre est payé durant la période de couverture (Bates et Winch (2004)). Par ailleurs, la couverture d’un contrat dit « occurrence » n’entre en vigueur que si le sinistre est survenu durant la période de couverture définie dans le contrat.

Pour clarifier, supposons que trois assurés différents ont acheté respectivement un contrat « claims-made », « claims-paid » et un contrat « occurrence » pour l’année 2012. Si un sinistre survient en 2012, mais qu’il est déclaré au mécanisme de transfert de risque en 2013, seul le troisième assuré serait indemnisé, car le sinistre n’a pas été déclaré ni

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5 payé en 2012. Ainsi, la couverture de type « occurrence » couvre un plus grand ensemble d’évènements que les contrats « claims-made » et « claims-paid ». Similairement, le type de contrat « claims-made » couvre un plus grand ensemble d’évènements que le type de contrat « claims-paid ». Historiquement, la couverture de type « claims-made » a été introduite pour diminuer la difficulté de projection des coûts futurs que pose le type de contrat « occurrence (Born & Boyer (2011)). Également, le type de contrat « claims-paid» a été introduit pour diminuer le risque des contrats « claims-made ». Finalement, les commentaires s’appliquant à la relation entre le type de contrat « occurrence » et « claims-made » s’appliquent aussi à la relation entre le type de contrat « claims-made » et « claims-paid ».

En admettant que le délai entre le paiement de la prime et le paiement du sinistre est généralement plus élevé pour les contrats de type « occurrence », une évidence apparaît : les revenus d’investissement sont généralement plus élevés pour les actifs qui sont appariés à ce dernier, ce qui représente des avantages et inconvénients liés à la gestion des actifs.

La couverture d’un contrat dit « prior acts coverage » est un type de couverture complémentaire aux « claims-made » qui est acheté par l’assuré lorsqu’il change de mécanisme de transfert de risque. Cette couverture couvre les sinistres qui sont survenus avant le changement (GAO (2003)). Or, dans certains cas, cela est problématique, car la prime de cette couverture peut être substantielle, ce qui peut représenter une contrainte non négligeable lorsque l’assuré veut changer de mécanisme de transfert de risque.

La couverture d’un contrat dit « tail coverage » est un type de couverture qui est complémentaire aux « claims-made » et qui est acheté pour couvrir les sinistres qui surviennent après l’arrêt d’une couverture de type « claims-made » ( GAO (2003)).

La couverture d’un contrat dit « death, disability and retirement (DDR) » est complémentaire aux « claims-made » (Forray (2010)). Cette couverture donne une protection au professionnel de la santé, en cas de la survenance des trois évènements ci-haut mentionnés, généralement sans prime additionnelle.

Certains types de contrat qu’on dénomme « hybrid » permettent à un professionnel de la santé de rapporter (verbalement) le sinistre avant même que la déclaration (officielle) du sinistre soit faite à l’assureur (Pulis (2010)). Ce type de contrat génère un mixte d’expérience entre le type de contrat « claims-made » et « occurrence ».

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Enfin, pour les contrats d’assurance pour les professionnels de la santé, il n’y a généralement pas de franchise et il y a généralement des limites (Zeiler et coll. (2007)). Ces limites peuvent s’appliquer sur la somme des sinistres et des frais.

Figure 2 Établissement de la prime

Par voie de conséquence, une prime doit être établie à partir d’une couverture donnée. Ainsi, à l’aide des différents types de contrats mentionnés précédemment, une prime peut être calculée. De façon générale, une prime est basée sur la valeur anticipée des coûts futurs des réclamations, les dépenses reliées aux réclamations, les revenus d’investissement, la nécessité de construire un surplus et la nécessité de générer des profits. Tel que mentionné précédemment, les primes peuvent avoir une influence sur le processus des coûts par l’intermédiaire des crises et des cycles d’assurance.

Lors du processus d’établissement de la prime, plusieurs méthodes peuvent être utilisées en assurance de dommage. Une méthode populaire est « l’experience rating ». Néanmoins, cette méthode, pour l’assurance des professionnels de la santé, semble peu utilisée puisque cette dernière ligne d’affaires a une faible fréquence et une sévérité élevée, ce qui implique que certains professionnels de la santé pourraient ne pas pouvoir

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7 obtenir de couverture (coûts)4. De plus, certaines variables de tarification, qui ne sont

pas basées sur l’expérience individuelle des assurés, sont utilisées pour classifier les risques.

Lorsque le mécanisme de transfert de risque évalue les primes, ce dernier doit tenir compte du coût de réassurance. La réassurance est essentielle pour les mécanismes de transfert de risque associés aux professionnels de la santé. Par exemple, étant donné que cette ligne d’affaires est très volatile, la réassurance joue un rôle important pour les petits assureurs ou les assureurs qui n’ont qu’une seule ligne d’affaires, car leur risque d’insolvabilité est peut être élevé.

Au cours des dernières années, les primes chargées aux assurés semblent avoir augmenté pour plusieurs raisons : les revenus d’investissement des assureurs ont diminué, le montant des réclamations et le coût de réassurance ont augmenté (GAO (2003)). Or, c’est l’augmentation des pertes des mécanismes de transfert de risque qui semble être le facteur décisif (GAO (2003)).

En addition, le processus juridique de règlement des sinistres n’apporte en général que de l’information limitée sur les effets qui causent la négligence. Ce manque d’informations peut rendre la tarification des sinistres difficile.

Finalement, au meilleur des connaissances de l’auteur de ce document, il semble que peu d’informations soient disponible quant aux méthodes de calcul de prime pour l’assurance des professionnels de la santé dans la littérature spécialisée.

Les coûts d’une réclamation

Les coûts d’une réclamation pour un mécanisme de transfert de risque peuvent être séparés en deux composantes principales: montant des sinistres et montant des frais. Le montant des sinistres est généralement composé de dommages économiques et non économiques. Nous entendons par dommages économiques, les coûts médicaux associés à la réclamation ainsi que les pertes de revenus, de déplacement, etc. De plus, nous entendons par dommages non économiques les dommages résultants de la souffrance psychologique et physique (p.ex. dommage corporel, dommage moral, etc.). Ces dommages sont très difficiles à quantifier de par leur nature subjective et de par leur grande variabilité qui est liée au jury. Souvent, une échelle de gravité qui permet de déterminer la sévérité des sinistres est utilisée. En général, les paiements sont plus élevés pour le « pain and suffering » que pour les dommages économiques.

4 Ce résultat est évident si des mathématiques bayesiennes, qui tiennent compte de l’expérience

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8

En outre, le montant des sinistres peut être payé en un montant forfaitaire ou sous la forme d’une rente5. Le même constat peut être fait pour les frais liés aux réclamations. Il

y a certains avantages et désavantages aux deux types de paiements. Par exemple, si un assureur effectue des paiements périodiques aux victimes, il s’expose au risque de longévité (mortalité). Une alternative, qui semble prometteuse, serait de mettre sur le marché des contrats d’assurance qui procure les services aux victimes à l’instar de paiements monétaires (voir Sloan & Chepke (2008) ). Plusieurs facteurs peuvent avoir un impact sur la distribution des sinistres, par exemple, la spécialité des professionnels de la santé ainsi que leur location géographique (Danzon (1986), Jena et coll. (2011)). Cela s’explique par le fait que la spécialité du professionnel de la santé entraîne des services différents et par le fait que la législation et le contexte social varient d’une région à une autre. Qui plus est, le montant des sinistres pour cette ligne d’affaires est très variable (Black et coll. (2007)). Également, plusieurs sinistres sont réglés sans paiements, cela découle du fait qu’une grande partie des professionnels de la santé impliqués lors de négligence sont poursuivis (Baker (2005 b)). Un autre élément qui affecte le processus des coûts est l’effet « haircut » (Hyman et coll. (2007)). En effet, les poursuites dans certaines zones géographiques ne dépassent généralement pas le montant de la couverture de la police d’un professionnel de la santé, car les victimes n’apprécient pas obtenir du « blood money » (actifs personnels d’un professionnel de la santé). De plus, les avocats ont tendance à concentrer leurs efforts sur les grosses réclamations, ce qui implique que les petites réclamations obtiennent moins d’attention et cela peut avoir un impact sur le processus des coûts (Schroeder (2005)). La plupart des sinistres sont réglés avant d’atteindre la cour. Or, cela n’implique pas que les frais d’avocats sont éliminés pour autant. De surcroît, quand il y a des limites sur les dommages dans certaines régions, les médecins représentant des mauvais risques vont généralement dans ces dernières pour éviter de perdre leurs licences (Schroeder 2005), créant un effet d’anti-sélection. Finalement, les mécanismes de transfert de risque peuvent utiliser une stratégie d’attente pour diminuer les coûts et décourager les victimes.

Le montant des frais alloués est généralement composé de frais d’avocat, de frais d’experts en sinistres médicaux, de copies de rapports médicaux et des frais de la cour. Généralement, les frais d’avocats constituent l’élément dominant du montant des frais alloués. De plus, le montant des frais alloués et des sinistres peut varier significativement d’un mécanisme de transfert à un autre étant donné l’expertise présente dans ces derniers (Lei & Schmit (2010)).

5 L’assureur procure directement une rente ou en achète une avec un montant forfaitaire. Une

rente peut, dans certains cas, procurer un meilleur appariement entre l’actif et les passifs d’un mécanisme de transfert de risque.

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9 Le montant des frais non alloués, quant à lui, est généralement composé des salaires des employés, des frais de loyer, des frais du système informatique, des frais de poste et des frais de téléphone.

Figure 3 Dépendance dans le processus des coûts

Nous définissons généralement la fréquence comme le nombre de réclamations par professionnel de la santé. Plusieurs facteurs peuvent avoir un impact sur la fréquence des réclamations, par exemple, la spécialité des professionnels de la santé (p.ex. anesthésie, chirurgie plastique, chirurgie esthétique, obstétricien, sages-femmes, chirurgien-dentiste, pharmaciens, kinésithérapeute, etc.) ainsi que leur location géographique (p.ex. régions, états, pays). Un effet que le mécanisme de transfert de risque ne devrait pas négliger, mais qui est très difficile à modéliser, est qu’il peut y avoir un lien entre la fréquence et la sévérité lors de modifications législatives. Par exemple, s’il y a une réforme législative (notion de sinistre catastrophique) et qu’une limite est imposée aux dommages non économiques, il est fort probable que moins de victimes vont intenter des poursuites. De plus, l’inflation a de l’impact sur la sévérité des sinistres ainsi que sur les frais.

De plus, plusieurs études (Staudt (2010), Black et coll. (2007)) semblent corroborer l’hypothèse qu’il existe une dépendance positive entre : le délai séparant la déclaration

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du paiement des sinistres, le montant effectivement payé à l’assuré et le montant des frais encourus. Ces observations ont du sens sous considération de l’interprétation qui suit. Plus une réclamation implique des montants élevés, plus la réclamation devrait prendre du temps à se régler. Si une réclamation prend plus de temps à se régler, elle devrait impliquer un montant plus élevé de frais alloués. Il va sans dire qu’ignorer cette dernière structure de dépendance pourrait résulter en une sous-estimation du risque du processus des coûts.

Figure 4 Taux d’actualisation

Pour tenir compte des coûts agrégés, il faut tenir compte du taux d’actualisation. Or, le taux d’actualisation pour les sinistres et les frais n’est pas nécessairement le même. En effet, il est possible que le salaire des avocats n’ait pas le même taux d’inflation que le montant des paiements alloués aux sinistres. De plus, il n’est pas nécessairement garanti que les deux taux d’actualisation sous considération soient indépendants (conjoncture économique).

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11

Éléments de tendance dans la sinistralité

En ce qui a trait à la sinistralité, les éléments de tendance prospectifs semblent être difficiles à déterminer étant donnée la complexité du processus des coûts de cette ligne d’affaires. Par exemple, dans certaines régions, la fréquence des sinistres semble stable dans le temps. Néanmoins, cela peut cacher des effets de double tendance : une diminution du nombre de sinistres grâce à l’amélioration des techniques médicales, mais une augmentation du nombre de sinistres qui est liée à l’augmentation de la propension des victimes de faute ou négligence de professionnel de la santé à effectuer des poursuites (voir Bras et coll. (2007)). Aussi, il a été observé que les montants des réclamations sont très variables d’une année à l’autre et d’une base de données à l’autre, ce qui rend difficile l’identification claire d’éléments de tendance. Néanmoins, certaines hypothèses seront émises lors du traitement mathématique.

Figure 5 Objectifs du mémoire

En résumé, le processus des coûts, en ce qui a trait aux professionnels de la santé, est un processus complexe et présente un faible volume de données qui sont très variables (base de mutualisation réduite). Malgré tout, certaines caractéristiques intrinsèques aux lignes d’affaires d’assurance pour responsabilité civile des professionnels de la santé semblent constantes à travers le temps (p. ex. processus de réclamation), ce qui permet

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12

de croire en la validité de l’hypothèse suivante : le processus de réclamation possède assez de symétrie pour être décrit adéquatement par un modèle mathématique, hypothèse qui semble être corroborée par Maréchal et coll. (2006).

Dans ce mémoire, un modèle qui permet le calcul des coûts agrégés, pour un mécanisme de transfert de risque qui assure protection à des professionnels de la santé pour un type de contrats « claims – made », est présenté. Des conditions pour obtenir un modèle adéquat pour le processus des coûts agrégés pour les professionnels de la santé ont été suggérées dans la littérature et sont mentionnées ci-dessous :

« Pour appréhender convenablement le phénomène, il convient, selon les chercheurs, de se concentrer sur les frais historiques des sinistres médicaux et sur l’évolution historique des sinistres. Dans ce cadre, un sinistre doit être décrit selon quatre critères : (1) le moment où se produit le fait provoquant des dommages, (2) le moment où les dommages se manifestent, (3) le moment de la plainte et (4) le moment où la plainte peut être considérée comme réglée. »

(MARSH & IMA (2004))

Dans ce document, nous considérons une simplification de ces dernières conditions, c’est-à-dire que les trois premiers critères numérotés seront regroupés en un seul. De plus, ne nous attardons pas à savoir si un système sans égard à la faute est considéré. Néanmoins, un système sans égard à la faute peut générer une expérience différente, car les processus de règlement des sinistres ne sont pas nécessairement semblables, ce qui peut affecter le processus des coûts résultant.

Précisément, le modèle présenté dans ce mémoire tient compte de l’interaction entre les différents éléments suivants : montants payés (c.-à-d. montant payé pour la réclamation et les frais alloués) ainsi que les taux d’actualisation qui sont liés, le délai entre la déclaration et le paiement des sinistres, la fréquence de déclaration des réclamations agrégées et la période de temps sur laquelle les couvertures sont offertes. À l’aide des différentes interactions décrites précédemment, le modèle considère la valeur actualisée agrégée des sinistres payés et des frais qui leur sont alloués, pour chaque sinistre déclaré dans un intervalle de temps donné. Il est à noter que le modèle présenté dans ce mémoire pourrait possiblement s’appliquer à d’autres lignes d’affaires en responsabilité civile.

Au chapitre 2, les concepts théoriques préalables au modèle sont présentés : processus de renouvellement, copules, force d’intérêt et méthodes de calculs. Au chapitre 3, la

(23)

13 section processus des coûts traite des hypothèses du modèle mathématique proposé pour le calcul des coûts agrégés et en calcule les premiers moments. Au chapitre 4, de multiples applications du modèle sont exhibées : moments avec force d’intérêt stochastique, effets de la dépendance, calculs de prime et estimation de mesures de risque. Finalement, le chapitre 5 résume les résultats obtenus et présente de futures directions de recherche.

(24)

14

Chapitre 2 Concepts théoriques préalables au modèle

Dans ce chapitre, les concepts théoriques préalables à l’élaboration du modèle d’assurance proposé dans ce mémoire sont présentés. Nous définissons d’abord le processus de renouvellement ordinaire et établissons ses principales propriétés, nous examinons ensuite la notion de dépendance à travers les copules, nous fixons nos modèles pour les forces d’actualisation stochastique et nous présentons les principales méthodes numériques et les principales méthodes de simulation utilisées pour évaluer les quantités reliées à notre modèle.

2.1 Processus de renouvellement ordinaire

Dans cette section, nous présentons le processus de dénombrement qui sera utilisé lors de l’élaboration du modèle mathématique proposé dans ce mémoire, soit le processus de renouvellement ordinaire. Relié à ce processus de dénombrement, nous revoyons aussi les principaux résultats établis par Léveillé & Garrido (2001) et Léveillé & Adékambi (2011) pour les moments des sommes de renouvellement avec réclamations escomptées.

2.1.1 Définitions

Nous définissons d’abord les variables aléatoires qui généreront le processus de dénombrement considéré dans ce mémoire. Nous examinons ensuite les principales quantités qui nous seront utiles, dont la fonction de renouvellement.

Ainsi soient les variables aléatoires suivantes :

.

τ

k : est le délai entre le ( 1)k − ième et le kième événement,

k ∈ =

{

1,2,...

}

.

{

τ

k,k∈ 

}

est une suite de variables aléatoires positives i.i.d.

. T : k τk =TkTk1,T0 =τ0 =0, est le moment où se produit le kième événement.

Alors le processus de dénombrement N ={ ( ),N t t≥0}, défini par

( ) sup{ , k }

N t = k∈Tt ,

(25)

15 Les définitions précédentes nous permettent de faire le lien entre le nombre d’évènements sur un intervalle de temps donné et la variable aléatoire qui définie les moments où les réclamations sont effectuées. Ainsi, nous avons

( )

(

)

(

k

)

Tk

( )

P N tk =P T t≤ =F t .

De cette dernière identité, nous définissons la fonction de renouvellement

m t

( )

c.-à.-d. l’espérance mathématique du processus de dénombrement. Ainsi, nous avons

( )

(

)

( )

( )

1 1 1 ( ) [ ( )] k k T k k k m t E N t P N t k F t Fτ t ∞ ∞ ∞ ∗ = = = = =

≥ =

=

, où

F t

*k

( )

F t

1*k

( )

τ

=

τ .

Notons que cette fonction satisfait une équation dite de type renouvellement. Ainsi en conditionnant sur le premier évènement réalisé au temps

τ

1

=

x

, nous obtenons que

( )

1

(

)

1

,

|

0

,

E N t x

x t

E N t

x

x t

τ

=

=

 +

 

>



En utilisant la dernière expression, la fonction de renouvellement sera solution de l’équation de renouvellement suivante

[

]

1

0 0 0

( )

t

[ ( ) |

]

( )

t

1

(

)

( )

( )

t

(

)

( ).

m t

=

E N t

τ

=

x dF x

τ

=

+

m t x dF x

τ

=

F t

τ

+

m t x dF x

τ

En répétant itérativement ce dernier argument, nous obtenons facilement l’identité précédente, c.-à-d.

( )

* 1

( )

k k

m t

F t

τ ∞ =

=

.

La fonction de renouvellement n’est généralement pas simple à obtenir, si nous utilisons l’identité précédente. Un des outils privilégiés pour identifier

m t

( )

sera la transformée de Laplace, que nous définissons comme suit dans le cas des distributions :

( )

( )

0

ˆ

s

e

ts

f

τ

d

F

τ

t

∞ −

=

.

La transformée de Laplace de la fonction de renouvellement, quant à elle, sera notée

0

ˆ ( )

st

( )

m s

=

e m t dt

(26)

16

En utilisant l’équation de renouvellement et les propriétés de la transformée de Laplace, nous obtenons la transformée de Laplace de m t

( )

en fonction de celle de ˆfτ, soit :

( )

ˆ ( ) ˆ ˆ 1 ( ) f s m s f s

s

τ τ = −

.

Cette dernière expression est très utile, car elle permet d’obtenir dans certains cas des expressions analytiques pour les fonctions de renouvellement. La fonction de renouvellement liée aux processus Erlang sera considérée dans ce mémoire. Dans ce cas, si nous utilisons directement l’expression de la transformée de Laplace pour la fonction de renouvellement nous obtenons, pour le cas où

τ

Erlang

(

2,

λ

)

:

( )

2

(

2

)

(

)

2 2 ˆ 2 1

1

1

2

4

2

4 2

s m s s

s s

s

s

s

λ λ λ λ

λ

λ

λ

λ

+ = − +

=

=

− +

+

+

( )

exp( 2 ) 1

4

4 2

t

t

m t

λ

λ

=

− +

.

Un autre résultat important, relié au processus de renouvellement, nous servira à effectuer d’importantes simplifications lors des calculs mathématiques des moments de notre processus de risque. Ainsi, dans le théorème suivant, la distribution marginale des temps où se produisent les réclamations conditionnelle au nombre de ces réclamations est présentée (voir Léveillé & Adékambi (2011) pour la preuve).

Théorème 2.1

Considérez le processus de renouvellement tel que défini précédemment. Alors, nous avons (1) pour

0 x t

< ≤

et

1 k n

≤ ≤

: ( )

( )

( )

(

(

)

)

( )

(

)

k k T T N t

f x P N t x

n k

f

x n

P N t

n

= −

=

=

e.q. (1) (2) pour

0 x y t

< < ≤

et

1 k j n

≤ < ≤

:

(

)

(

)

( )

( ) ( )

| ( ) , ( ) , | ( ) k T T t j j k T T Nk P N t y n j f x f x y n P N t y f n − − = − = = e.q.(2)

(27)

17

2.1.2 Sommes de renouvellement avec réclamations escomptées

Dans cette section, nous présentons des résultats sur les moments des sommes de renouvellement avec réclamations escomptées, obtenus par Léveillé & Garrido (2001a,b) et Léveillé & Adékambi (2011). Le processus des réclamations escomptées étudié par les auteurs précédents se décrit comme suit :

( )

( )

( )

1 N t k k k

Z t

D T X

=

=

Z t

( )

est le montant agrégé actualisé des coûts.

T est le moment où la k

k

ième réclamation est déclarée à l’assureur, et

{

,

}

k k

τ

∈  forme une suite de variables aléatoires continues positives i.i.d. telle que

1 k k k i T

τ

= =

.

X est le montant de la k

k

ième réclamation (sans inflation), les

{

X k ∈k,

}

formant une suite de variable aléatoire positives i.i.d., indépendantes de la suite

{

T k ∈k,

}

.

{

N t t ≥

( )

, 0

}

forme un processus de renouvellement ordinaire.

( )

( )

0

exp u

D u = 

δ

t dt

 est un facteur d’actualisation déterministe ou

stochastique, où

δ

( )

t est une force d’intérêt net (d’inflation).

Nous sommes maintenant en mesure de présenter des théorèmes sur les moments du processus précédent, quand la force d’intérêt net est constante ou stochastique.

(28)

18

2.1.2.1 Taux d’actualisation constant

Dans cette section, nous présentons des résultats sur les moments (récursifs) simples et conjoints qui ont été obtenus dans le cas d’une force d’intérêt net constante pour le processus des réclamations escomptées précédent.

Théorème 2.2

Pour le processus de coût présenté à la section précédente, et pour une force constante d’intérêt net, nous avons pour

n m∈

,

( )

1

(

)

( )

0 0 t n n n k n v k k

n

E Z t

E X

e

E Z t v dm v

k

δ − − − =

 

=

 

 

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

(

)

( )

(

)

( )

min , 1 0 k n n m n m k k i k m t n m v n i m k i

n

m

E Z t Z t

E X

i k i

e

δ

E Z

t v Z

t h v dm v

+ + = = − − + − − −

 

=

 

 

×

+ −

Preuve : Voir Léveillé & Adékambi (2011).

Corollaire 2.1

Du théorème précédent, nous obtenons les deux premiers moments simples et le moment conjoint suivants :

( )

[ ]

( )

0 t v E Z t =E X e dm v−δ  

( )

2 2 2

( )

[ ]

2 [2 ]

( ) ( )

0 0 0

2

t t t v v u v

E Z t

=

E X

e dm v

−δ

+

E X

e

−δ +

dm u dm v

∫ ∫

( ) (

)

( )

2

[ ]

2 [2 ]

( ) ( )

0 t t h v v u t v

E Z t Z t h

E Z t

E X

+ −

e

−δ +

dm u dm v

+

=

+

∫ ∫

(29)

19

2.1.2.2 Taux d’actualisation stochastique

Dans cette section, nous présentons des résultats qui ont été obtenus par Léveillé & Adékambi (2011) dans le cas où la force d’intérêt est stochastique. Ces derniers résultats seront utilisés pour démontrer les identités théoriques pour le processus des coûts proposé dans ce mémoire.

Théorème 2.3

Pour le processus des coûts considéré à la section précédente, et pour une force d’intérêt net stochastique, nous avons

( )

[ ]

( )

( )

0 t

E Z t

=

E X E D v dm v

( )

2 2 2

[ ] ( )

[ ]

2

( ) (

)

( ) ( )

0 0 0

2

t t t v

E Z t

=

E X

D v dm v

+

E X

∫ ∫

E D v D u v dm u dm v

+

( ) (

)

( )

2

[ ]

2

( ) (

)

( ) ( )

0 t t h v t v

E Z t Z t h

E Z t

E X

+ −

E D v D u v dm u dm v

+

=

+

+

∫ ∫

Preuve Voir Léveillé & Adékambi (2011).

2.2 Dépendance

Tel que discuté précédemment, plusieurs caractéristiques essentielles du processus des coûts des assurances pour les professionnels de la santé semblent être dépendants en probabilité. Nous pourrions considérer une dépendance fonctionnelle entre les variables aléatoires, mais celle-ci serait peut-être un peu forte. Nous pourrions aussi utiliser les modèles avec chocs, mais la nature des variables (délais et coûts) ne s’y prête pas bien. Une troisième façon, plus commode, de tenir compte de cette dépendance est d’utiliser les copules, outil qui permet d’introduire de la dépendance entre plusieurs variables aléatoires en permettant de faire un lien entre les fonctions de répartition marginales et la fonction de répartition conjointe des variables aléatoires sous considération. Il est à noter que l’utilisation des copules n’est pas absolument nécessaire pour étudier le processus de coût considéré dans ce mémoire. Néanmoins, les copules présentent plusieurs avantages pratiques et c’est pourquoi ces dernières seront considérées.

(30)

20

2.2.1 Copule

À noter que la sous-section 2.2.1 et la première partie de la sous-section 2.2.2 sont calquées sur Leblanc (2000).

Une copule est une fonction de répartition conjointe multivariée pour des vecteurs de nombres uniformes u1,...,u dans [0,1]n n. Autrement dit, pour toutes copules

C

nous avons

(

1,..., n

)

(

1 1,..., n n

)

C u u =P Uu Uu

ui

[ ]

0,1 , 1,..., .i= n Une propriété importante des copules est qu’elles permettent d’engendrer des lois multivariées avec fonctions de répartitions arbitraires ,F ii =1,...,n en posant

(

1,..., n

)

(

1

( )

1 ,..., n

( )

n

)

F x x =C F x F x .

Ce dernier résultat est connu dans la littérature sous le théorème de Sklar. De plus, supposons que

1,..., n

X X

F soit une fonction de répartition avec marginales , 1Fi ≤ ≤i n, alors il est possible de démontrer qu’il existe une copule

C

(unique lorsque FX1,...,Xn est continue) telle que :

(

1

,...,

n

)

(

1 1

,...,

n n

)

(

1

( )

1

,...,

n

( )

n

)

F x

x

=

P X

x

X

x

=

C F x

F x

pour tous x1,...,x ∈  Enfin, les copules doivent satisfaire les propriétés suivantes : n . 1. C u

(

1,...,ui−1,0,ui+1,...,un

)

=0, quels que soient i

{

1,...,n

}

et u1,...,u ; n 2. C u

(

1,...,un

)

est croissante pour chacune des variables ,u ii =1,...,n ; 3. C

(

1,...,1, ,1,...,1ui

)

=ui, pour tout u ∈i

[ ]

0,1 et

i

=

1,...,

n

;

4.

(

1

,...,

) (

, ,...,

1

)

[ ]

0,1

n

n n

a

a

b

b

avec aib ii, =1,...,n, nous avons

( )

1

(

)

1 1 2 2 1 1 1

...

1

n

, ,

0,

n n i i n i i i i

C u

u

+ + = =

∑ ∑

1j j u =a et 2j , 1,..., . j

u =b ∀ =j n La quatrième propriété garantit que la somme imbriquée est non-négative, propriété nécessaire étant donné que cette dernière permet d’évaluer des probabilités.

(31)

21 Plusieurs familles de copules pourraient être utilisées pour introduire de la dépendance dans le processus de coût considéré dans ce mémoire. Nous nous restreignons à une copule de la famille Archimédienne qui permettra d’introduire de la dépendance positive.

2.2.2 Copules Archimédiennes

Avant de définir la classe des copules Archimédiennes, nous devons introduire la notion de générateur d’une copule. Une fonction

ϕ

est un générateur d’une copule si

(

] [

)

: 0,1 0,

ϕ

→ ∞ telle que

ϕ

( )

1 0= et dont les n premières dérivées existent et alternent en signe, c’est-à-dire

( )

1 i di

( )

it 0, 1 i n.

dt

ϕ

− ≥ ≤ ≤

Alors, nous avons que la fonction C:[0,1]n [0,1] définie par

(

)

1

( )

1 1

, ,

n n i i

C u

u

ϕ

ϕ

u

=

=

est une copule de la classe Archimédienne. Une faiblesse de ces copules est qu’elles introduisent une dépendance qui est symétrique, par exemple, pour tous couples

, , i j

u u ij, ce qui n’est pas nécessairement réaliste pour des copules de plus de deux dimensions. Néanmoins, avant d’avoir fait une étude sérieuse sur des données pour le processus des coûts considéré dans ce mémoire, il est difficile de dire quelles caractéristiques précises devraient posséder une copule appropriée pour bien représenter nos données, mise à part la dépendance positive (observations empiriques présentées au chapitre 1). Les copules Archimédiennes jouissent de propriétés mathématiques intéressantes cependant et c’est pourquoi cette famille est considérée dans ce mémoire.

2.2.2.1 Copule de Joe

Nous considérons la copule de Joe pour introduire de la dépendance dans le processus des coûts pour les professionnels de la santé. Pour plus de détails sur cette copule, voir Nelsen (2006) et Joe (1993). Précisément, nous nous attendons à ce que les réclamations élevées soient particulièrement liées aux montants des frais élevés ainsi qu’aux délais de règlement élevés. Ce dernier triplet sera modélisé à l’aide d’une copule et c’est pourquoi nous examinons les propriétés de cette dernière en deux et trois dimensions. À noter

(32)

22

que plusieurs copules pourraient être utilisées dans ce contexte pourvu que ces dernières permettent d’introduire une forte dépendance positive (spécifiquement dans la queue des distributions (Staudt (2010)). Il va sans dire que la copule de Joe semble particulièrement intéressante pour ce problème, car cette dernière remplit les conditions susmentionnées comme il sera démontré.

La copule de Joe se définit donc comme suit

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

[

)

1 1 1 1 0

, ,

1 1

1 1

1

1

( 1)

1 1

, 1,

n n i i n k k i i k

C u

u

u

u

k

θ θ θ θ

θ

θ

= ∞ = =

= − −

− −

 

 

 

− −

∈ ∞

 

=

 

Cette copule est une copule Archimédienne. Le générateur de cette copule est donné par l’expression suivante :

( )

t

ln 1 1

(

(

t

)

θ

)

θ

ϕ

= −

− −

.

De plus, nous avons l’identité suivante, qui sera nécessaire à l’algorithme de simulation de la copule, soit

( )

(

)

(

)

1 (1)

1

1 1

t

t

t

θ θ θ

θ

ϕ

=

− −

.

La fonction inverse du générateur est donnée par l’expression suivante :

( )

(

)

1

1

t

1 1

e

t θ

θ

ϕ

= − −

, ce qui entraîne que

( )

( )

(

)

1 1 1 1 t 1 e t θ e t θ

ϕ

θ

− − − − = − − et ( )

( )

(

)

(

)

1 1 1 2 2 1 2

t

1

e

t θ

e

t

1 1

1

e

t θ

e

t θ

ϕ

θ

θ

θ

− − − − − − −

=

.

(33)

23 Ces dernières identités seront aussi utilisées dans l’algorithme de simulation de la copule. De plus, la densité de cette copule peut être exprimée comme suit :

(

)

(

)

1

(

(

)

)

1 1 1 0 1 , , n ( 1)k n n n 1 i 1 1 i k i k c u u k u u k θ θ θ

θ

θ

− = =     … = −   − − − −    

.

Cette dernière expression nous sera particulièrement utile d’un point de vue numérique, pour évaluer des mesures de dépendance qui sont en lien avec la copule de Joe. De plus, pour les cas particuliers où

n =

2,3

, nous pouvons aussi écrire

(

)

(

(

)

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

(

)

)

1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 , 1 1 1 (1 ) 1 1 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i c u u u u u u u θ θ θ θ θ θ θ θ

θ

θ

− − = = − − = =   = − − − −     + − − − − − − −  

et

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

2

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

1 1 3 3 1 2 1 2 3 1 1 1 2 3 3 1 1 1 1 3 3 3 2 1 1 1 , , 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 . i i i i i i i i i i i i i i c u u u u u u u u u u u θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ

θ θ

θ

θ

− − = = − − = = − − = =   = − − − −     + − − − − − − −     + − + − − − − − −  

Ces dernières identités sont utilisées dans les calculs numériques d’intégration pour évaluer différentes quantités qui sont en lien avec le modèle proposé dans cet ouvrage. L’élément important qu’il faut noter de cette copule est que plus le paramètre

θ

augmente, plus la copule induit une dépendance positive prononcée entre les variables aléatoires, particulièrement dans la queue de la distribution. Pour corroborer ce dernier fait, nous introduirons trois mesures principales de dépendance dans la prochaine section. De plus, afin d’illustrer l’impact du paramètre

θ

sur la dépendance introduite par la copule, des graphiques obtenues par simulation ainsi que des courbes de niveau sont présentés à l’annexe pour plusieurs valeurs du paramètre

θ

de la copule de Joe.

(34)

24

2.2.3 Mesures de dépendance

Dans la littérature, il y a plusieurs notions de dépendance (p.ex. corrélation, concordance, dépendance dans la queue des distributions). Dans ce document, nous n’examinerons surtout les mesures de concordance et des mesures de « tail dependence ». Trois mesures sont présentées : la Spearman Rho multivariée, la Kendall Tau multivariée et une mesure de « upper tail dependence ». Ces trois dernières mesures sont examinées pour le cas bidimensionnel et tridimensionnel pour différentes valeurs du paramètre de la copule. Cela nous aidera à saisir le comportement de la dépendance introduite par la copule en fonction de son paramètre.

2.2.3.1 Mesure de Spearman Rho multivariée

Dans cette section, nous présentons la mesure de concordance Spearman Rho multivariée. Cette mesure est simple à interpréter : plus sa valeur augmente, plus la dépendance (positive) introduite entre les variables aléatoires sera forte. La mesure de Spearman Rho multivariée est définie comme suit :

( )

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 , 1 1 0 1 2 , , min , , , , 1 , 2 ( 1) n n n i n i n n i n i n n c n n C u u u du du u u u du du C u u du du n n θ θ

ρ

θ

= =   −        =      + = − +  

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

        

θ

est un vecteur de paramètres. Cette mesure de dépendance peut être interprétée comme une mesure d’écart standardisée entre la copule d’intérêt et la copule indépendante (Schmid & Schmidt (2007) et Wolff (1980)). De cette définition, nous avons

(

)

( )

1 , 1 1 1 1 1 1 ! 2n 1 2n n c n n

ρ

θ

−    − − ≤ ≤  +   +     , car

(

)

1 1 1 1 0 0

1

max

1,0

1 !

n i n i

u n

du

du

n

=

− +

=

+

∫ ∫

et

(

)

1 1 1 1 0 0

1

min , ,

1

n n

u

u du

du

n

=

+

∫ ∫

,

(35)

25 ce qui implique que

( )

2,

1

ρ

c

θ

1

− ≤ ≤ et

− ≤

2

3

ρ θ

3,c

( )

1

.

Notons qu’il y a une perte de symétrie lorsque le nombre de dimensions augmente, ce qui n’est pas le fruit du hasard, mais élaborer sur ce point dépasserait le cadre de ce mémoire. À noter que

ρ

2,c

( )

θ

correspond à la définition du Spearman’s Rho bidimensionnel donné dans Nelsen (2006). De plus, lorsque le nombre de dimensions tend vers l’infini, la borne inférieure du Spearman’s Rho multivarié est

0

.

Pour la copule de Joe, nous avons

(

)

( )

1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 , , 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 . n k j k n n k j n k k k C u u du du j j k k k k θ

θ

θ

θ

θ

θ

∞ = = − ∞ =       … … … = −     +         +       −         = −

Ainsi, nous obtenons pour n >1 :

( )

, 0

1

1

1

2

1

( 1)

1 .

2 (

1)

n n k n c n k

k

n

n

k

k

θ

ρ

θ

θ

θ

− ∞ =

 

+

+

 

=

 

− +

 

 

Cette fonction est rapide à évaluer numériquement. Elle nous permet aussi d’avoir une relation entre le nombre de dimensions et la valeur du Spearman’s rho multivarié. Si nous faisons varier le paramètre de la copule, nous obtenons le tableau ci-dessous.

Tableau 2,1 :

ρ

2,c

( )

θ

,

ρ

3,c

( )

θ

.

θ

1

1,5

2

2,5

3

5

( )

2,c

ρ

θ

0

0,320

0,504

0,621

0,700

0,854

( )

3,c

ρ

θ

0

0,268

0,440

0,557

0,640

0,814

Nous remarquons que plus le paramètre de la copule augmente, plus la mesure de concordance indique que la dépendance introduite par la copule est forte. De plus, nous remarquons que la dépendance diminue quand le nombre de dimensions de la copule

(36)

26

augmente. Finalement, les résultats présentés dans le tableau 2,1 ont été corroborés par la méthode de Cuhre, méthode numérique qui sera présentée à la section 2.4.

2.2.3.2 Mesure de Kendall Tau multivariée

Dans cette section, nous présentons la mesure de concordance Kendall Tau multivariée. Cette mesure est simple à interpréter : plus sa valeur augmente, plus la dépendance (positive) introduite entre les variables aléatoires sera forte. Avant de donner son expression analytique, nous devons introduire une notion nécessaire à sa construction.

Définition 2.1

Une distribution multivariée est positive d’ordre deux si et seulement si pour tout x1, , xn et

1, , n

yy dans

n nous avons

(

1

,..,

n

) (

1

,..,

n

)

(

max ,

(

1 1

)

,..,max

(

n

,

n

)

)

(

min ,

(

1 1

)

,..,min

(

n

,

n

)

)

F x

x F y

y

F

x y

x y F

x y

x y

.

Nous ne discutons pas les propriétés des distributions multivariées positives d’ordre deux, car à nouveau cela dépasse le cadre de ce mémoire. La définition précédente est à la base de la mesure de Kendall Tau multivariée que nous définissons comme suit pour

1 n > :

( )

(

(

)

(

)

)

(

(

)

(

)

)

(

) (

)

}

1 1 , 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

1

max , , ,max

,

min , , ,min

,

2

1

, ,

, ,

n c n n n n n n n n n

c

s t

s t c

s t

s t

c s

s c t

t dt

dt ds

ds

θ θ θ θ

τ

θ

=

− 

∫ ∫

(

)

(

)

1 1 1 1 1 0 0 1 2 , , , , 1 2n− 1 n C uθ u dC ud θ ud   = … … … − − 

∫ ∫

θ

est un vecteur de paramètres. Le Kendall Tau multivarié est une mesure positive d’ordre deux. Pour plus de détails sur cette mesure, veuillez consulter Gaisser (2010) et Nelsen (1996). De plus, nous pouvons démontrer que

( )

, 1

1

1

2

n

1

τ

n c

θ

.

Dans le cas bidimensionnel et tridimensionnel, nous obtenons respectivement que

( )

2, 1

τ

c

θ

1 − ≤ ≤ ,

1

3,

( )

1

3

τ

c

θ

− ≤

.

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