CHAPITRE III : UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT A DEUX ECHELLES
2. PROPOSITION D’UNE APPROCHE DE TYPE PLAN CRITIQUE BASEE SUR LE COUPLAGE
2.1. Hypothèses et choix de modélisation:
Le modèle utilisé considère l'évolution du matériau à l'échelle mésoscopique, en particulier la plasticité locale, et est basé sur une approche micromécanique, où la plasticité et le dommage sont définis et couplés à l'échelle des grains [Flacelière 2004; Flacelière, Morel et al. 2007]. Les hypothèses générales ci-après sont adoptées: - Le cadre de mécanique d’endommagement est utilisé pour définir le dommage à chaque instant et pour
tous les points de la structure. Comme indiqué par McDowell [McDowell 1999], au cours de la phase d’initiation, le dommage peut être considéré de manière homogène dans le volume élémentaire représentatif (VER).
- Le choix de travailler à l’échelle macro/méso est justifié par la nature des mécanismes physiques de microfissuration en FGNC. La transition par une loi de localisation (de l’échelle macroscopique à l’échelle mésoscopique) nous permet d’estimer les quantités mécaniques mésoscopiques à partir de leurs homologues macroscopiques. Pour des raisons de simplicité (et d’efficacité), la relation de type Lin – Taylor permettant le passage de l’échelle macroscopique à l’échelle mésoscopique est utilisée. Il est important de noter que cette loi de localisation considère le matériau purement élasto-plastique et en absence de tout dommage, aux échelles mésoscopique et macroscopique. Lors de l’amorçage de la fissure, un seul système de glissement actif est considéré par grain.
L’expression (I.3) permet d’estimer le tenseur de contrainte mésoscopique à partir du tenseur de contrainte macroscopique :
σ = Σ −2µεp
Pour un système de glissement particulier, la loi de localisation de Taylor-Lin devient: ( . . ) [ .( 2 ). ] ( . . ) p p n n T n n n n a n n n n n τ µγ σ σ µγ = − = = Σ − = Σ = Σ (III.1)
- Une fois amorcé, le dommage peut se développer même pour des niveaux de charge inférieurs à la limite de fatigue. L'évolution de dommage est non linéaire et dépend du niveau de contrainte.
- L’orientation du dommage peut jouer un rôle fondamental en particulier lorsqu’on étudie l’effet du mode de chargement sur la résistance en fatigue. Pour cette raison, le modèle d’endommagement choisi est orienté et une variable scalaire est associée à chaque système de glissement possible.
2.1.1. Utilisation de la thermodynamique des processus irréversibles :
Afin de décrire la dégradation du cristal lors de la phase nucléation, le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles avec variables internes est utilisé. Il permet une analyse qualitative et quantitative des mécanismes physiques observés. Le modèle est construit en supposant l'existence d’un potentiel thermodynamique, l’énergie libre qui dépend des variables d’état et qui caractérise le système mécanique, ainsi que l'existence d’un potentiel de dissipation. L’énergie libre est la somme de l’énergie récupérable et de l’énergie stockée par unité de volume. La dissipation est postulée pour chaque mécanisme (plasticité, endommagement) tandis que des lois d'évolution relatives à la plasticité sont gouvernées par des règles associées.
On suppose le couplage d’état entre plasticité et endommagement (III.2) et le découplage de dissipation entre plasticité et endommagement (III.3). Le choix de dissipations non couplées plasticité - dommage permet de distinguer facilement les mécanismes concernés et les critères correspondants. Ce choix conduit à une indépendance de l’évolution de ces deux mécanismes et permet de tenir compte de l’existence de déformations plastiques locales avant l’apparition du dommage.
Energie libre mésoscopique (Gibbs) :
( )
ρψ( )
ω( ) (
γ ω γ)
ω( )
βωn,m = n,m = e e + p p,p,d + d d, (III.2) avec ωeest la densité d’énergie de déformation élastique
p
ω est la densité d’énergie liée à la plasticité
d
ω est la densité d’énergie liée à l’endommagement Processus thermodynamiquement admissible :
( )
, =Φ +Φ ≥0Φn m p d (III.3)
avec Φppotentiel de dissipation de plasticité
d
Φ potentiel de dissipation d’endommagement
Afin d’obtenir un lien dans l’évolution de ces mécanismes et assurer la positivité de la dissipation, un modèle non standard doit être utilisé. L’introduction d'une loi non-associée pour l'évolution du dommage est donc une caractéristique très importante de ce modèle.
2.1.2. Choix des modèles de plasticité et d’endommagement :
Le choix de la loi de comportement du matériau doit représenter de façon fidèle les mécanismes physiques observés avec la plus grande simplicité possible. Une tâche très importante et difficile est le choix de l’ensemble des variables d’état (internes) qui représente au niveau de l’élément de volume de la mécanique des milieux continus, une moyenne de l’influence des mécanismes microscopiques sur le comportement. Ces variables dépendent du matériau, mais aussi des mécanismes qui seront mis en jeu par les sollicitations envisagées.
Tous les phénomènes de plasticité et d’endommagement ont une influence directe sur les propriétés élastiques du cristal. En effet, l’endommagement est considéré comme une conséquence d’un processus de décohésion au sein du cristal et diminue les propriétés élastiques de ce dernier. Dans un premier temps, par souci de simplicité, la variable scalaire d’endommagement d a été choisie de manière à ne pas prendre en
compte des effets du dommage sur le comportement élastique. Ce choix entraîne une surestimation de l’énergie élastique du matériau.
En FGNC, la nucléation des fissures de fatigue de métaux peut être considérée comme la conséquence de l’accumulation de la plasticité dans certaines bandes de cisaillement favorablement orientées. La mésodéformation plastique cumulée y est considérée comme la cause principale du dommage accumulé. Pour représenter le glissement plastique qui s’accumule puis le dommage qui progresse (mode II) dans une direction particulière, le comportement plastique est décrit par une loi de type Schmid. La surface de seuil d’écoulement à l’échelle mésoscopique s’écrit:
(
τ,b,τ~) (
= τ−b)(
.τ−b) (
−τ~+τ~0)
≤0f (III.4)
où τ est le cisaillement résolu mésoscopique agissant sur le système de glissement considéré,
0
~
τ est la limite d'élasticité initiale de cisaillement,
b et τ~ sont les variables d’écrouissage cinématique et isotrope définies par : - Ecrouissage cinématique linéaire :
p
c
b= γ (III.5)
où c est le module d’écrouissage cinématique,
p
γ est le glissement plastique associé au système de glissement considéré, b donne la position du centre de la surface seuil d’écoulement.
- Ecrouissage isotrope non linéaire qui représente la modification de la taille du domaine d’élasticité:
(
e−gp)
e−sd ∞ − =~ 1 ~ τ τ (III.6)où : p est la déformation plastique cumulée (p& = γ γ& &p. p ),
∞
τ~ désigne la valeur à saturation de la force motrice τ~,
g est le paramètre d’écrouissage isotrope (paramètre de durcissement), s est un paramètre de sensibilité au dommage.
Cette formulation est choisie pour prendre en compte un couplage particulier entre plasticité et endommagement. Elle fait apparaître une limite d’écoulement à saturation,τ~∞, atteinte après une phase de durcissement liée par une forme exponentielle à la déformation plastique cumulée p. Le dommage diminue la valeur de τ~, grâce également à une forme exponentielle décroissante. Le choix de cette forme pour la force thermodynamique, établissant une compétition entre ces deux phénomènes, a été principalement retenu pour sa stabilité numérique. En effet, la valeur de τ~ est bornée par [
0
~
τ ,τ~∞], et présente, grâce aux fonctions exponentielles, des évolutions continues suivant l’évolution des variables p et d. L’utilisation d’un modèle non-associé représentant l’endommagement en fatigue polycyclique est nécessaire afin de prendre en compte des effets des contraintes d’ouverture sur l’amorçage mais aussi sur la propagation de la mésofissuration. Deux variables d’endommagement distinctes (d et β) sont introduites pour refléter à la fois l’effet de dommage sur l’écrouissage et l’évolution de l'endommagement. Le formalisme du modèle est proche des travaux de [Marquis 1989] et de celui proposé par Murakami [Murakami et Kamiya 1996; Hayakawa, Murakami et al. 1998]. Il permet de rendre compte de certains phénomènes dissipatifs, mais également de prendre en compte d’autres phénomènes stockant de l’énergie. La première variable d est une variable d’effet du dommage qui règle l’effet du dommage sur les propriétés du matériau, en particulier sur l’écrouissage isotrope. Elle conduit à une dissipation d’énergie et traduit les mécanismes de décohésion pouvant subvenir dans les bandes de glissement. La deuxième variable β conduit elle à un stockage d’énergie (par exemple par frottement des lèvres de la fissure) et joue le rôle de mesure scalaire de dommage cumulé, par analogie avec la déformation plastique accumulée p. La force conjuguée à cette variable est notée k, et joue le rôle de seuil pour la surface d’endommagement. La forme retenue pour la surface seuil d’endommagement est :
(
F ,k;)
=F(
1+a)
−(
k+k0)
≤0h d σn d σn (III.7)
où a est le coefficient de sensibilité à la contrainte normale mésoscopique σn sur l’amorçage, k0 est le seuil initial d’endommagement,
k est la force gouvernant l’évolution du seuil d’endommagement,
Fd est la force conjuguée correspondant à la variable d’effet du dommage d.
Le modèle développé ici essaie de refléter la phase d’amorçage (et au maximum, la première étape de la propagation des microfissures) en modélisant le comportement moyen d'un grain. Il est fondé sur une totale indépendance entre les directions de glissement activées.L’endommagement est supposé apparaître quand la déformation plastique accumulée atteint un seuil qui est identique sur tous les systèmes dans cette version isotrope du modèle. Au-delà de ce seuil, la plasticité et l’endommagement agissent simultanément. Cela entraîne une diminution des propriétés mécaniques du cristal, en particulier en terme de limite d’écoulement plastique. Dans ce modèle, il est supposé que le premier glissement plastique n'implique pas nécessairement une initiation de fissure et par conséquent la rupture.