inter-action
Un autre sujet étudié dans cette thèse est la théorie de l’homogénéisation pour les systèmes de particules en interaction, qui correspond aux chapitres5et6et est résumée dans la section
0.4.1. Comme le contexte est un peu différent de celui de l’homogénéisation classique, nous donnons d’abord un bref aperçu de quelques modèles de particules classiques pour rendre nos motivations plus claires.
Dans les modèles précédents, la marche aléatoire dans un environnement aléatoire, qui peut également être considérée comme l’évolution d’une particule, sera proche du mouvement brownien à grande échelle et à long terme. Les systèmes de particules en interaction partagent le même esprit, mais dans ces modèles nous avons une infinité de particules au lieu d’une, et l’environnement aléatoire provient de leur configuration qui est dynamique.
Le modèle le plus étudié est le gaz sur réseau et un modèle de base est le processus d’exclusion symétrique simple (SSEP) : soit η ∶ Zd → {0, 1} représente la configuration des particules, où chaque site permet au plus une particule. Dans l’évolution, chaque particule a un taux 1
2 pour sauter vers un voisin vacant. Ainsi, l’évolution (ηt)t⩾0 suit le générateur Lf(η) = 12 ∑
x∈Zd
∑
avec la notation ηx,y(z) =⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ η(z) z ≠ x, y; η(y) z= x; η(x) z= y. (56)
Ici, la fonction de test dans l’eq. (55) est la fonction locale f ∈ C0 qui ne dépend que du site fini de η. Dans ce modèle, la mesure de Bernoulli produit Ber(α)⊗Zd
avec α ∈ (0, 1) est une mesure stationnaire et nous la désignons par Pα.
Le comportement à long terme et à grande échelle de la SSEP peut être caractérisé par la limite hydrodynamique et la fluctuation d’équilibre. Nous désignons par πN
t la densité empirique de la configuration
πtN ∶= N−d ∑
x∈Zd
ηN2t(x)δx/N, (57)
La limite hydrodynamique nous dit (πN
t )t⩾0ÐÐÐ⇀ (ρN→∞ t)t⩾0, c’est-à-dire que la densité em-pirique converge vers la solution de l’équation de la chaleur
∂tρt= 12∆ρt, (58)
dans la topologie de Skorokhod de la distribution de Schwartz, à condition que la configu-ration initiale πN
0
N→∞
ÐÐÐ⇀ ρ0 ait un profil limite ρ0. Si η0 part de la mesure stationnaire Pα, alors le théorème de fluctuation de l’équilibre dit
YtN ∶= N−d
2 ∑
x∈Zd
(ηN2t(x) − α) δx/N, (59) converge vers le processus fonctionnel d’Ornstein-Uhlenbeck (Yt)t⩾0 résolvant
dYt=12∆Ytdt +√α(1 − α)∇dBt, (60) où Bt est le bruit blanc spatio-temporel.
Dans ces résultats, la matrice de coefficient effectif est l’identité, parce que le flux Wx,x+ei
de x à x + ei dans le SSEP est
Wx,x+ei = 1
2(η(x) − η(x + ei)) , (61)
et elle peut être écrite comme la différence Wx,x+ei= τxh(η) − τx+eih(η) avec h(η) = η(0), où τx est l’opérateur de translation. Cette propriété est la condition de gradient. Elle rend le coefficient effectif trivial dans le modèle et elle n’est valable que dans certains systèmes de particules. Une autre explication plus heuristique est que le SSEP peut être traité comme si le saut était toujours autorisé, car dans l’eq. (55)
∑ x∈Zd ∑ y∼xη(x)(1 − η(y)) (f(ηx,y) − f(η)) = ∑ x∈Zd ∑ y∼x(f(ηx,y) − f(η)).
Pour rendre ce modèle moins spécifique, le processus d’exclusion symétrique généralisé (GSEP) est proposé, où chaque site dans Zd peut placer au plus κ particules (κ ⩾ 2), c’est-à-dire ̃η ∶ Zd→ {0, 1, ⋯, κ} et le générateur est
Lf(̃η) = 12 ∑
x∈Zd
∑
avec la notation ̃ηx,y(z) =⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ ̃η(z) z≠ x, y; ̃η(x) − 1 z= x; ̃η(y) + 1 z= y. (63)
Dans ce modèle, la mesure stationnaire est Pα= ν⊗Zd
α avec
∀n ∈ {0, 1, ⋯, κ}, να(n) = αn ∑κ
j=0αj. Ce modèle ne satisfait pas la condition de gradient, car
Wx,x+ei= 12(1{̃η(x)>0,̃η(x+ei)<κ}− 1{̃η(x+ei)>0,̃η(x)<κ}) , (64) ne peut pas être écrite comme la différence Wx,x+ei = τxh(̃η) − τx+eih(̃η) pour une certaine fonction locale h ∈ C0. Dans son résultat de limite hydrodynamique et théorème de fluctua-tion,
∂tρt= ∇ ⋅ D(ρt)∇ρt, dYt= ∇ ⋅ D(α)∇Ytdt +√¯a(α)∇dWt, (65) nous verrons une quantité appelée le coefficient de diffusion globale (ou le coefficient d’auto-diffusion) D(α) définie par
D(α) ∶= ¯a(α)
2χ(α), (66)
où χ est la quantité appelée la compressibilité
χ(α) ∶= Varα[̃η(0)], (67)
et la quantité ¯a a une description variationnelle. Nous désignons par Γf(̃η) ∶= ∑x∈Zdτxf(̃η), qui peut être infinie, mais pour toute fonction locale f ∈ C0, on peut dire que
∇0,eiΓf(̃η) ∶= Γf(̃η0,ei) − Γf(̃η), (68) est bien défini car le saut ne change que la valeur des termes finis dans ∑x∈Zdτxf(̃η). Alors ¯a est défini par
p⋅ ¯a(α)p = inf
f∈C0
d
∑
i=1Eα[1{̃η(0)>0,̃η(ei)<κ}(pi+ ∇0,eiΓf(̃η))2] . (69) Dans la définition de la matrice de diffusion, la quantité ¯a ressemble beaucoup au coef-ficient effectif dans l’homogénéisation stochastique, où la formule l’eq. (68) est utilisée pour construire un champ de gradient stationnaire. Il est donc très naturel de penser que nous pouvons utiliser une approximation de volume fini dans l’eq. (19) et obtenir son taux de convergence pour D(α). Cela peut nous fournir des résultats quantitatifs dans les systèmes de particules. Cependant, nous devons remarquer que l’eq. (68) est défini pour l’espace de configuration, donc la fonction ∇0,eiΓf(̃η) peut avoir un nombre arbitraire de coordonnées. C’est l’un des principaux défis et nous en discuterons en détail dans la section 0.4.1.
Nous donnons également un bref aperçu des références des résultats mentionnés ci-dessus. Il existe deux approches classiques pour l’identification de la limite hydrodynamique. La
première, appelée la méthode d’entropie, a été introduite dans [136], et étendue à certains modèles non-gradients dans [221,204]. La deuxième, appelée la méthode d’entropie relative, a été introduite dans [224], et a été étendue à un modèle non-gradient dans [111].
La description asymptotique des fluctuations des systèmes de particules en interaction à l’équilibre a été obtenue dans [66, 214, 91, 69, 71], où l’outil principal est le théorème de Holley-Strook [140]. L’extension de ce résultat aux modèles non-gradients a été obtenue dans [174,70,110]. Nous n’avons pas connaissance de résultats concernant les fluctuations de non-équilibre d’un modèle non-gradient. Pour les modèles à gradient (ou leurs petites perturbations), nous nous référons en particulier à [202,90,106,71,144].
Le travail [166] donne une preuve que les approximations en volume fini de la matrice d’auto-diffusion convergent vers la limite correcte. Cependant, aucun taux de convergence n’a pu y être obtenu. Le résultat qualitatif de [166] a été étendu au processus d’exclusion simple à moyenne nulle, et au processus d’exclusion simple asymétrique en dimension d ⩾ 3, dans [143]. Enfin, nous nous référons également aux livres [215,152,157] pour des expositions beaucoup plus approfondies sur ces sujets, et des revues de la littérature.
0.4.1 Résumé des chapitres 5 et 6
Dans les chapitres 5 et 6, nous visons à développer une théorie d’homogénéisation quanti-tative pour les systèmes de particules en interaction de type non-gradient. Nos principales contributions sont une décroissance de type gaussien de t−d
2 pour le semigroupe, voir le théorème0.4.1, et un taux de convergence pour l’approximation en volume fini du coefficient de masse, voir le théorème 0.4.2. Notre modèle est construit dans l’espace de configuration du continuum, mais les résultats et les preuves peuvent être adaptés dans le modèle classique de gaz sur réseau de type non-gradient, par exemple le GSEP.
Nous présentons d’abord notre système de particules. Soit Mδ(Rd) l’ensemble des mesures σ-finies qui sont des sommes de masses de Dirac sur Rd, que nous considérons comme l’espace des configurations de particules. Nous désignons par Pρ la loi sur Mδ(Rd) du processus ponctuel de Poisson de densité ρ ∈ (0, ∞), avec Eρ, Varρ l’espérance et la variance associées. On désigne par FU le tribu générée par les applications V ↦ µ(V ), pour tous les ensembles boréliens V ⊆ U, complétés par tous les ensembles négligeables, et on fixe F ∶= FRd. Nous nous donnons une fonction a○∶ Mδ(Rd) → Rdsym, où R×d d×d
sym est l’ensemble des matrices symétriques d× d. Nous supposons que cette correspondance satisfait aux propriétés suivantes :
• l’ellipticité uniforme : il existe Λ < ∞ tel que pour chaque µ ∈ Mδ(Rd),
∀ξ ∈ Rd, ∣ξ∣2⩽ ξ ⋅ a○(µ)ξ ⩽ Λ∣ξ∣2; (70) • une dépendance de portée finie : en désignant par B1 la boule euclidienne de rayon 1
centrée à l’origine, on suppose que a○ est FB1- mesurable.
Nous désignons par τ−xµla translation de la mesure µ par le vecteur −x ∈ Rd; explicitement, pour tout ensemble borélien U, nous avons (τ−xµ)(U) = µ(x + U). Nous étendons a○ par stationnarité en posant, pour tout µ ∈ Mδ(Rd) et x ∈ Rd,
a(µ, x) ∶= a○(τ−xµ).
En désignant par µt∶= ∑∞i=1δxi,t la configuration au temps t ⩾ 0, notre modèle peut être décrit de manière informelle comme un système infiniment dimensionnel avec interaction locale tel que chaque particule xi,tévolue comme une diffusion associée à l’opérateur de forme
divergente −∇ ⋅ a(µt, xi,t)∇. Plus précisément, c’est un processus de Markov (Ω, (Ft)t⩾0, Pρ) défini par la forme de Dirichlet
Ea(f, f) ∶= Eρ[∫ Rd
∇f(µ, x) ⋅ a(µ, x)∇f(µ, x) dµ(x)] , (71) où la dérivée directionnelle
ek⋅ ∇f(µ, x) = lim
h→0
f(µ − δx+ δx+hek) − f(µ)
h , (72)
est défini pour une famille de fonctions appropriées et x ∈ supp(µ). La construction de processus de diffusion similaires peut être trouvée dans les travaux précédents d’Albeverio, Kondratiev et Röckner dans [2,3,4,5] ; voir aussi l’étude [206].
Nous avons besoin de quelques explications supplémentaires pour la fonction de test de la forme de Dirichlet dans l’eq. (71). Pour tout ensemble ouvert U ⊆ Rd, nous désignons par l’espace C∞
c (U) les fonctions qui sont FK-mesurables pour un ensemble compact K ⊆ U, et lisses par rapport à toute particule. Par conséquent, l’espace de fonctions Cc∞(U) joue le même rôle que la fonction locale dans le modèle de gaz sur réseau. Ensuite, nous définissons la norme H1(U), une analogie de l’espace de Sobolev classique H1 en dimension infinie
∥f∥H1(U)= (Eρ[f2(µ)] + Eρ[∫U∣∇f(µ, x)∣2dµ(x)])
1 2
. (73)
Nous définissons également l’espace H1
0 (U) comme la fermeture dans H1(U) des fonctions f ∈ Cc∞(U) telles que ∥f∥H1(U) est fini et c’est l’espace de fonctions pour l’eq. (71).
Le théorème principal du chapitre 5est une estimation de la décroissance de la variance pour notre système de particules (µt)t⩾0. Nous désignons par Lp l’espace Lp dans (Ω, F, Pρ) pour p ⩾ 1. Soit u ∶ Mδ(Rd) → R une fonction FQlu mesurable avec Qlu ∶= (−lu
2,lu
2)d, et soit ut(µ0) ∶= Eρ[u(µt)∣µ0].
Théorème 0.4.1 (Le théorème principal dans le chapitre5). Il existe deux constantes posi-tives finies γ∶= γ(ρ, d, Λ), C ∶= C(ρ, d, Λ) telles que pour tout u ∈ Cc∞(Rd)∩L∞qui estFQlu -mesurable, alors nous avons
Varρ[ut] ⩽ C(1 + ∣ log t∣)γ(1 + lu √ t ) d ∥u∥2 L∞. (74)
Remark. Dans les travaux [2,3,4,5] d’Albeverio, Kondratiev et Röckner, la forme de Dirichlet Ea est définie sur l’espace de fonctions
FCc∞(Rd) = {G(µ(g1), ⋯µ(gn)) ∶ n ∈ N, G ∈ Cb∞(Rnd), gi∈ Cc∞(Rd)} . (75) C’est un sous-espace concret de Cc∞(Rd) et on peut prouver que Cc∞(Rd) et FCc∞(Rd) génèrent le même H1
0 (Rd).
La preuve du théorème0.4.1s’inspire d’un travail important [142] de Janvresse, Landim, Quastel et Yau, où la décroissance de la variance est prouvée dans le modèle de zéro-range. Nous étendons cette preuve au modèle non-gradient dans l’espace de configuration du contin-uum, et une difficulté technique dans cette généralisation est une estimation de localisation clé : nous désignons par QK= [−K
2,K2]d
le cube fermé et rappelons que FQ
l’information de µ dans celui-ci. Nous définissons AKut ∶= Eρ[ut∣FQ
K], alors pour chaque t⩾ max {(lu)2,16Λ2} et K ⩾√tnous avons
Eρ[(ut− AKut)2] ⩽ C(Λ) exp (−√K
t) Eρ[u2] . (76) Il s’agit d’une estimation clé apparaissant dans [142, la proposition 3.1], et elle est également naturelle puisque √t est l’échelle typique de la diffusion, donc lorsque K ≫ √t on obtient une très bonne approximation dans la l’eq. (76). L’idée principale de sa preuve est de définir une fonctionnelle multi-échelle
Sk,K,β(f) ∶= αkEρ[(Akf)2 ] + ∫kKαsdEρ[(Asf)2] + αKEρ[(f − AKf)2] = αKEρ[f2] − ∫kKα′ sEρ[(Asf)2] ds, avec αs = exp (s β) , α′ s = d
dsαs, β > 0, puis étudie l’évolution de d
dtSk,K,β(ut). Dans cette procédure, on peut affirmer que
d
dtEρ[(Asf)2] = 2Ea(ut, Asut), mais Asut n’est pas dans la fonction de test H1
0 (Rd) à cause de la perturbation à ∂Qs. Plus précisément, cela signifie la discontinuité de Asut lorsqu’une particule entre ou sort de Qs. Dans le modèle discret, il existe également une telle perturbation à la frontière, mais Asut peut toujours être utilisé comme fonction locale grâce à la différence discrète. Pour résoudre ce problème, nous utilisons une version de régularisation de As.
As,εf ∶=1 ε ∫
ε
0 As+rfdr, (77)
pour rendre l’espérance conditionnelle plus lisse. De plus, la dérivée de As,εut près de la frontière est étroitement liée à l’isométrie L2 de la martingale (Asut)s⩾0.
Enfin, remarquons que [142] obtient également la limite à long terme Varρ[ut] = Ct−d
2 + o(t−d
2). Cependant, le modèle de zéro-range a la condition de gradient, donc la constante C est plus facile à calculer. Dans notre modèle, nous devons d’abord identifier le coefficient effectif, ce qui nous motive également pour le travail dans le chapitre6.
Dans le chapitre 6, nous étudions l’approximation par volumes finis du coefficient de diffusion. Pour tout ensemble ouvert borné U ⊆ Rd, nous définissons la matrice ¯a(U) ∈ Rd×d sym comme étant telle que, pour tout p ∈ Rd,
1 2p⋅ ¯a(U)p ∶=φ∈Hinf1 0(U)Eρ[ 1 ρ∣U∣ ∫U 1 2(p + ∇φ(µ, x)) ⋅ a(µ, x)(p + ∇φ(µ, x)) dµ(x)] . (78) Pour chaque m ∈ N, nous désignons par
◻
m = Q3m le cube de longueur de côté 3m. Nous définissons la matrice de coefficient effectif comme ¯a ∶= limm→∞¯a(◻
m), et le théorème prin-cipal consiste à prouver son taux de convergence.Théorème 0.4.2 (Le théorème principal dans le chapitre 6). La limite ¯a est bien définie. De plus, il existe un exposant α(d, Λ, ρ) > 0 et une constante C(d, Λ, ρ) < ∞ tels que pour tout m∈ N,
La preuve du théorème 0.4.2 suit l’approche de renormalisation initiée par Armstrong et Smart dans [31], qui est également revue dans la section 0.1. Cependant, remarquons que l’espace des fonctions H1
0 (U) dans l’eq. (78) est très différent du cas euclidien : la fonction est définie dans la configuration µ = ∑∞i=1δxi au lieu de Rd, donc son nombre de coordonnées peut être arbitrairement grand. Dans les paragraphes suivants, nous soulignons quelques nouvelles idées lorsque nous mettons en œuvre l’approche de renormalisation dans les systèmes de particules.
1. L’espace de fonctions pour les quantités sous-additives : nous désignons par ν(U, p) =1
2p⋅ ¯a(U)p et nous pouvons vérifier qu’elle est sous-additive. Nous espérons également
constru-ire une quantité duale sous-additive ν∗(U, q), et nous proposons la formule (voir la discussion dans l’eq. (20))
ν∗(U, q) ∶= sup
u∈H1(U)Eρ[ 1
ρ∣U∣ ∫U(−12∇u ⋅ a∇u + q ⋅ ∇u) dµ] . (80) Cependant, remarquons que nous n’avons pas défini l’espace de fonctions H1(U), bien que la norme soit définie dans l’eq. (73). Une bonne définition devrait être la plus grande classe de fonctions mesurables F avec une norme finie H1(U). De manière informelle, ces fonctions sont différentiables par rapport aux particules dans U, mais la dépendance des particules en dehors de U est juste mesurable. En particulier, contrairement à l’espace de fonctions H1
0 (U), nous n’avons pas besoin de la condition FU-measurable pour H1(U). Pour voir que cette définition est bonne, on peut vérifier :
(a) Pour tout V ⊆ U, on a H1
0 (V ) ⊆ H1
0 (U) et H1(U) ⊆ H1(V ). C’est la propriété permettant de prouver la sous-additivité de ν et ν∗.
(b) Soit B1(U) le voisinage contenant U avec une distance de 1. Alors Eρ[u∣FB1(U)] est un candidat meilleur que u dans la fonctionnelle de ν∗(U, q). Ceci nous permet de retrouver la condition de mélange du maximiseur de ν∗(U, q).
2. L’inégalité de Caccioppoli modifiée : un autre ingrédient important est l’inégalité de Caccioppoli, car les optimiseurs de ν et ν∗ sont des fonctions a-harmoniques. Nous rappelons l’inégalité classique de Caccioppoli : pour chaque ̃u tel que ∆̃u = 0 dans Q3r,
∫Q r ∣∇̃u∣2⩽ C r2∫Q 3r ∣̃u∣2. (81)
Sa preuve consiste à utiliser une fonction de coupure ψ ∈ Cc∞(Q3r) telle que ψ2̃u ∈ H1 0(Q3r) et à tester ensuite ψ2̃u contre ∆̃u. Dans notre système de particules, la fonction a-harmonique est
A(U) ∶= {u ∈ H1(U) ∶ ∀ϕ ∈ H1
0 (U), Eρ[∫U∇u ⋅ a∇ϕ dµ] = 0} ,
et nous espérons prouver un résultat similaire à l’eq. (81). Il n’existe pas d’ analogie de la fonction de troncature ψ, mais en s’inspirant de l’eq. (77), pour tout u ∈ A(Q3r), nous pouvons utiliser Ar,εu ∈ H1
0 (Qr) comme fonction de test. Cependant, malgré de nombreux efforts, le meilleur que nous puissions prouver est une inégalité de Cac-cioppoli modifiée dans la proposition 6.3.6 : il existe θ(d, Λ) ∈ (0, 1), C(d, Λ) < ∞, et
R0(d, Λ) < ∞ tels que pour chaque r ⩾ R0 et u ∈ A(Q3r), nous avons Eρ[ 1 ρ∣Qr∣ ∫Qr ∇(Ar+2u) ⋅ a∇(Ar+2u) dµ] ⩽ C r2ρ∣Q3r∣Eρ[u2] + θEρ[ 1 ρ∣Q3r∣ ∫Q3r ∇u ⋅ a∇u dµ] . (82) L’inégalité dans l’eq. (82) contrôle la norme du gradient d’une fonction a-harmonique dans le petit cube Qrpar une somme de termes impliquant la norme du gradient dans le grand cube Q3r. À première vue, cela ne semble pas utile. Cependant, le point essentiel est que le facteur multiplicatif θ est inférieur à un. Cela implique donc également une meilleure régularité à l’intérieur, et l’eq. (82) peut enfin être intégré dans le cadre de l’approche de renormalisation.
3. L’inégalité de Poincaré dimension-libre : l’inégalité de Poincaré est un outil nécessaire pour l’analyse, et nous l’établissons également dans H1(U) et H1
0 (U). Pour l’espace de fonctions H1(U), sa preuve repose sur l’inégalité d’Efron-Stein, et nous l’améliorons également en l’inégalité de Poincar’e multi-échelle. Pour l’espace de fonctions H1
0 (U), notre preuve fait implicitement appel au calcul de Malliavin sur l’espace de Poisson. Voir la section6.3.1pour plus de détails.
Introduction
1.1 An overview of homogenization theory . . . . 42 1.1.1 Periodic homogenization . . . 42
1.1.2 Stochastic homogenization . . . 44
1.2 Homogenization and numerical algorithms . . . . 47