c Histogramme des nombres de photons mesurés par la pre-

Le résultat d’une mesure peut être évalué par l’expression hni =

7

X

n=0

PN(n)n .

Les séquences expérimentales présentées sur la figure 4.9, obtenues lors de deux séquences de mesure d’un champ cohérent initial préparé de manière identique, donnent respective-ment hni = 5, 00 et hni = 7, 00. Un champ cohérent de valeur moyenne environ 4 a une probabilité non nulle de tous les nombres de photons entre 0 et 7 ; le nombre de photons déterminé par la première mesure peut donc en principe prendre toute valeur entière entre 0 et 7. Nous avons analysé la première fenêtre de N = 110 détections de chacune des 2000 séquences de mesure enregistrées. Nous avons effectivement trouvé des résultats différents suivant les séquences. L’histogramme des valeurs hni obtenues, échantillonnées avec un pas de 0,2, est représenté sur la figure 4.12 (a).

Les mesures sont réparties sur toute la gamme des nombres de photons allant de 0 à 7. Les séquences ont le plus souvent donné un résultat entier : l’histogramme est constitué de pics situés aux valeurs entières, se détachant très nettement sur un fond de comptes situés à des valeurs intermédiaires. Comme nous avons vu qu’une mesure a presque tou-jours convergé au bout de 110 atomes, nous pouvons considérer que les pics aux valeurs hni entières correspondent à des mesures d’états de Fock du champ. Les valeurs intermé-diaires peuvent correspondre à des séquences ayant mal convergé, ou pour lesquelles la convergence a été interrompue par un saut du nombre de photons. La hauteur des pics convergés présente un maximum pour n = 3 puis décroît lorsqu’on s’éloigne de ce nombre de photons. C’est qualitativement ce qu’on attend pour une forme de champ cohérent. Plus quantitativement, le postulat de la mesure prévoit que la probabilité du résultat d’une mesure correspond à la probabilité de l’état de Fock dans le champ initial. La statistique des résultats obtenus devrait donc obéir à celle d’un champ cohérent. Sur le graphe, les cercles bleus représentent l’ajustement de la hauteur des pics à hni entier par une loi pois-sonnienne normalisée à la somme des probabilités des pics ajustés, soit 0,77. On trouve

une loi poissonnienne de valeur moyenne ncoh = 3, 46 ± 0, 04. La courbe obtenue décrit

très bien les pics de l’histogramme expérimental. Le pic de l’état |0i fait cependant un peu exception à ce bon accord : il est presque deux fois plus élevé que la valeur de l’ajustement. On peut cependant facilement comprendre cet excès. En effet, notre mesure attribue la valeur 0 à la mesure d’un état de Fock n = 8. Or pour un champ cohérent de nombre

moyen de photons ncoh = 3, 46, la probabilité de l’état 8 vaut pcoh(8) = 1, 6 % : bien que

faible, elle n’est pas négligeable devant la probabilité de 0, pcoh(0) = 3, 1 %. La possibilité

de l’état 8 augmente donc théoriquement le nombre de comptes dans l’échantillon n = 0

de 0, 77pcoh(8) = 0, 012 ± 0, 001, ce qui est compatible avec l’excès 0, 019 ± 0, 006 observé

sur le pic hni = 0 expérimental par rapport à l’ajustement.

Notons que pendant la durée moyenne Tm = tcav/5 d’une mesure, le champ n’est

pas complètement stationnaire. Le champ moyen vu par les atomes pendant le temps de

mesure est en bonne approximation le champ à Tm/2. On peut déduire de cette remarque le

0,0 0,1 0,2 0,3 p r o b a b ilité (a) 6,2 dB 0,0 0,1 0,2 0,3 9,2 dB (b) p r o b a b ilité 0 1 2 3 4 5 6 7 0,0 0,1 0,2 0,3 11,2 dB (c) p r o b a b ilité nombre de photons <n>

Fig.4.12 – Histogrammes des nombres de photons hni estimés par la première fenêtre de

mesure lors de 2000 séquences de mesure d’un champ cohérent initial identique (barres rouges), échantillonnés avec un pas de 0,2. La somme des comptes a été normalisée à 1. Les cercles bleus correspondent à un ajustement poissonnien des pics situés aux valeurs entières de hni. Pour la clarté de lecture, on leur a superposé la courbe poissonienne continue correspondante. Les trois histogrammes présentés correspondent à trois ampli-tudes différentes du champ initialement injecté dans la cavité. Les nombres moyens de

photons donnés par les ajustements sont respectivement : (a) ncoh = 3, 46 ± 0, 04, (b)

en accord la valeur n ∼ 4 attendue.

Nous avons également enregistré 2000 séquences de mesure pour deux autres amplitudes du champ cohérent initialement injecté dans la cavité, correspondant à des valeurs d’atté-nuation de la source micro-onde différentes. L’histogramme présenté en (a) correspondait à un réglage de l’atténuateur calibré à 6,2 dB. Nous avons choisi deux autres valeurs d’atténuation, 9,2 dB et 11,2 dB. Les histogrammes obtenus sont représentés respective-ment sur les figures 4.12 (b) et (c). Les pics aux valeurs entières de ces histogrammes, représentant respectivement 80 et 83 % des séquences, sont également bien ajustés par des probabilités poissonniennes. La valeur moyenne trouvée pour l’histogramme (b) est

ncoh = 1, 71 ± 0, 03, et pour l’histogramme (c) ncoh = 1, 07 ± 0, 03. Les trois valeurs

moyennes obtenues pour les différents réglages sont représentées sur la figure 4.13 en fonction de la puissance d’injection du champ, que l’on peut évaluer à un facteur mul-tiplicatif près à partir des différences d’atténuation de la source micro-onde. Comme on l’attend de la valeur moyenne du champ cohérent en fonction de la puissance d’injection, les trois points sont alignés, sur une droite qui passe par l’origine. Un ajustement linéaire donne une ordonnée à l’origine de −0, 04 ± 0, 04, compatible avec 0.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

puissance d'injection (u.a.) n

Fig.4.13 – Nombre de photons moyen n_cohdu champ cohérent ajusté sur les histogrammes

initiaux, en fonction de la puissance d’injection du champ (points rouges). La ligne bleue est un ajustement linéaire.

Le résultat obtenu par notre méthode d’analyse des détections se comporte donc, en terme de probabilités de résultats, de manière complètement conforme à ce que l’on attend d’une mesure quantique : la statistique des résultats correspond à celle du champ cohérent mesuré.