1.3 Cas du tore
1.3.3 Hamiltoniens autonomes et graphe de Reeb
Dans ce paragraphe, nous calculons la valeur du quasi-morphisme Cφ sur les temps 1 des flots hamiltoniens associ´es `a des fonctions de Morse sur T2. De mani`ere remarquable, nous obtenons l`a encore une formule qui fait intervenir la combinatoire du graphe de Reeb G associ´e `a F . Le quasi-morphisme φ n’apparaˆıt lui qu’`a travers la valeur φ([a, b]).
Dans le cas du tore, le graphe G a la structure suivante. Il contient un graphe circulaire G0 de sommets s1, . . . , sk et d’arˆetes e1, . . . , ek o`u ei relie si `a si+1 (1 ≤ i ≤ k − 1) et ek
relie sk `a s1; et des arbres T1, . . . , Tk, tels que
G= G0∪∪k i=1Ti
.
Fig. 1.2 – Le graphe de Reeb d’une fonction de Morse sur le tore
Les arbres Ti sont disjoints et l’intersection de Ti avec G0 est ´egale `a si.
Comme au paragraphe 1.2.3, nous noterons F l’espace des fonctions (lisses) H : T2 → R qui commutent avec F , et, pour chaque arˆete e de G, nous fixerons un syst`eme de coordonn´ees (θ, s) sur p−1G (e) ayant les mˆeme propri´et´es que pr´ec´edemment (ω = ds∧ dθ, XF(θ, s) = ϑF(s)∂θ∂ avec ϑF > 0, et XH(θ, s) = ϑH(s)∂θ∂ pour H ∈ F).
Th´eor`eme 4 Si H est dans F, nous avons :
Cφ(ϕ1H) = 2φ([a, b]) k X i=1 Z p−1(Ti) (HG(si)− H)ω.
Si e est une arˆete de G0, notons ce la classe de conjugaison du groupe π1(T2 − {0}) repr´esent´ee par le lacet (γ(u)− x)u∈[0,1] o`u x est un point quelconque du tore en dehors de p−1G (e) et o`u la courbe simple γ fait un tour du cylindre p−1G (e) avec l’orientation prescrite par ∂θ∂. Quitte `a inverser l’ordre cyclique dans la num´erotation des sommets si, nous supposons une fois pour toute que s1= e−1 et s2 = e+1 ; c’est-`a-dire que F croit le long de l’arˆete e1 orient´ee de s1 `a s2.
Lemme 1.3.5 Si H est dans F, nous avons : Pk
i=1(HG(e+i )− HG(e−i ))φ(cei) = 0.
Preuve : nous allons montrer que
(HG(e+i )− HG(e−i ))φ(cei) = (HG(si+1)− HG(si)))φ(ce1),
pour tout 1≤ i ≤ k (en convenant que sk+1 = s1). Le r´esultat sera alors clair, la somme initiale se transformant en la somme
φ(ce1) k X i=1 HG(si+1)− HG(si) ! ,
1.3. CAS DU TORE 39
qui est bien sˆur nulle. Il n’est pas difficile de s’assurer que toutes les classes ce (lorsque e d´ecrit l’ensemble des arˆetes de G0) sont ´egales, `a l’orientation pr`es. Pour conclure la preuve, il suffit de s’assurer que cei = ce1 si et seulement si la fonction F croit lorsque l’arˆete ei est parcourue de si `a si+1 (ce qui ´equivaut `a dire que ei+ = si+1 et e−i = si).
Chaque arˆete e de G0 d´efinit une classe d’homologie [e] : c’est la classe du cercle p−1G (x) (o`u x est un point de e) orient´e par le champ de vecteurs XF. Les classes d’homotopie cei et ce1 sont ´egales si et seulement si les classes d’homologie [ei] et [e1] sont ´egales dans H1(T2, Z). Fixons une classe d’homologie u ∈ H1(T2, Z), qui se projette via pG sur un g´en´erateur du groupe H1(G, Z) dont l’orientation est celle donn´ee par l’ordre cyclique des sommets s1, . . . , sk. Puisque nous savons que les classes [ei] et [e1] sont ´egales ou oppos´ees, nous calculons leur intersection avec la classe u pour les distinguer. Nous avons bien sˆur u· [e1] = 1. Par ailleurs l’intersection u· [ei] est ´egale `a 1 si et seulement F croˆıt de si `a
si+1. C’est bien le r´esultat voulu. 2
Pour prouver le th´eor`eme 4, nous devons calculer les int´egrales Z
p−1(e)×p−1(e0)
e Vϕ1
H(x, y)dxdy
o`u e et e0 parcourent l’ensemble des arˆetes du graphe G. En effet, on peut ´ecrire Cφ(ϕ1 H) = P e,e0 R p−1 G (e)×p−1 G (e0)Veϕ1
H(x, y)dxdy. Nous distinguons pour cela quatre cas : – e et e0 sont contenues dans G0.
– e est contenue dans G0 et e0 est contenue dans un arbre Ti. – e est contenue dans un arbre Ti et e0 est contenue dans G0. – e et e0 sont contenues dans la r´eunion des arbres Ti. Pour calculer eVϕ1
H, nous supposerons toujours pG(x) et pG(y) distincts. En effet l’ensemble {(x, y); pG(x) = pG(y)}
est de mesure nulle. Pla¸cons nous dans le premier cas : (x, y)∈ p−1(e)× p−1(e0) (o`u e et e0 sont des arˆetes de G0). Puisque x et y ont des orbites contenues dans des cercles disjoints, on peut ´ecrire le lacet α(ϕn
H, x, y) comme le produit des deux lacets suivants :
γ1,n= αx−y∗ (ϕtH(x)− y)t∈[0,n]∗ αϕn H(x)−y γ2,n= αϕn H(x)−y∗ (ϕn H(x)− ϕt H(y))t∈[0,n]∗ αϕn H(x)−ϕn H(y)
Nous noterons S∗ : π1(T2 − {0}, x∗) → π1(T2 − {0}, x∗) l’automorphisme induit par l’application x7→ −x de T2− {0} dans lui-mˆeme (on peut, au choix, choisir le point base x∗ fixe sous l’application x7→ −x, ou bien consid´erer que l’automorphisme S∗ n’est d´efini qu’`a un automorphisme int´erieur pr`es, ce qui importera peu dans la suite).
Lemme 1.3.6 Il existe des ´el´ements αn, βn, γn, δnde π1(T2−{0}, x∗), born´es ind´ependam-ment de n dans π1(T2− {0}, x∗), tels que :
γ2,n= γn∗S∗(ce0)[nϑH(y)] ∗ δn.
Remarque. Nous avons d´efini pr´ec´edemment ce comme ´etant une classe d’homotopie libre. Dans ce lemme nous supposons fix´e une fois pour toutes un lacet repr´esentant ce
(pour toute arˆete e de G0).
Preuve : notons x = (θ, s), dans les coordonn´ees pr´ec´edemment introduites. ´Ecrivons γ1,ncomme produit des deux lacets suivants :
αx−y∗ ((θ + t, s) − y)t∈[0,[nϑH(x)]]∗ αx−y
αx−y∗ ((θ + t, s) − y)t∈[[nϑH(x)],nϑH(x)]∗ αϕn H(x)−y. Le premier est de la forme αn∗c[nϑH(x)]e α0
n, o`u αnet α0
nsont des ´el´ements de π1(T2−{0}, x∗) born´es ind´ependamment de n. Le second est born´e. La preuve de la seconde ´egalit´e est
bien sˆur identique `a la premi`ere. 2
On d´eduit imm´ediatement de ce lemme la valeur de la fonction eVϕ1 H : e
Vϕ1
H(x, y) = ϑH(x)φ(ce) + ϑH(y)φ(S∗(ce0)). Apr`es int´egration, nous obtenons :
Z p−1(e)×p−1(e0) e Vϕ1 H(x, y) dxdy = (HG(e+)− HG(e−))φ(ce)aire(p−1G (e0)) +(HG(e0+)− HG(e0−))φ(S∗(ce0))aire(p−1G (e)).
En utilisant le lemme 1.3.5 appliqu´e aux quasi-morphismes φ et φ◦ S∗, on constate que la somme des expressions ci-dessus sur les arˆetes de G0 est nulle. La somme des contributions venant du premier cas ci-dessus est donc nulle.
Le second et le troisi`eme cas sont identiques, et d’ailleurs tr`es similaires au premier. Nous ne traiterons donc que le second. On suppose donc que (x, y)∈ p−1(e)× p−1(e0) (o`u e est une arˆete de G0 et e0 une arˆete d’un arbre Ti). Le lacet α(fn, x, y) s’´ecrit, exactement comme dans le cas pr´ec´edent, comme le produit des deux lacets suivants :
αx−y∗ (ϕtH(x)− y)t∈[0,n]∗ αϕn H(x)−y αϕn H(x)−y∗ (ϕn H(x)− ϕt H(y))t∈[0,n]∗ αϕn H(x)−ϕn H(y). Cette fois, puisque la courbe (ϕn
H(x)− ϕt
H(y))t∈[0,n] reste confin´ee dans un disque de T2 − {0}, le second lacet ci-dessus reste dans une partie born´ee du groupe fondamental lorsque n varie. La limite eVϕ1
1.3. CAS DU TORE 41 (ii) p(x) si p(x) p(y) si (iii) p(y) (i) p(x) si p(y) Fig. 1.3 – limp→∞1 pφ([αx−y∗ (ϕtH(x)− y)t∈[0,n]∗ αϕn H(x)−y]).
On constate, comme dans le lemme 1.3.6 que la limite ci-dessus est ´egale `a ϑH(x)φ(ce). Nous avons alors :
Z
p−1(e)×p−1(e0)
e Vϕ1
H(x, y) dxdy = (HG(e+)− HG(e−))φ(ce)aire(p−1G (e0)).
En utilisant une fois encore le lemme 1.3.5, on constate que la somme sur les arˆetes e de
G0 des int´egrales Z
p−1(e)×p−1(e0)
e Vϕ1
H(x, y) dxdy
(lorsque e0 est une arˆete fix´ee de l’un des arbres Ti) est nulle. La somme des contributions venant du second cas ci-dessus est donc nulle. Il en est de mˆeme pour le troisi`eme cas.
Il nous reste `a examiner le quatri`eme cas : (x, y) ∈ p−1G (e)× p−1G (e0), o`u les arˆetes e et e0 sont contenues dans la r´eunion des arbres Ti. Dans ce cas, si les arˆetes e et e0 sont contenues dans des arbres Ti et Tj distincts, les trajectoires de x et y sont contenues dans des composantes connexes de niveaux de F qui bordent des disques Di et Dj disjoints (contenus dans p−1G (Ti) et p−1G (Tj) respectivement). Ceci implique que eVϕ1
H(x, y) = 0. Il nous faut donc ´etablir l’´egalit´e suivante :
Z (p−1(Ti))2 e Vϕ1 H(x, y) dxdy = 2φ([a, b]) Z p−1(Ti) (HG(si)− H) ω.
Notons que les donn´ees de notre probl`eme permettent d’associer de mani`ere naturelle deux orientations `a chaque arˆete de l’arbre Ti. L’une est donn´ee par le gradient de la fonction F , la seconde consiste `a dire qu’une arˆete est orient´ee positivement “lorsqu’elle pointe dans la direction du sommet si” (qui est une feuille de l’arbre Ti, c’est-`a-dire un sommet de valence 1). Ainsi, si e est une arˆete de Ti, nous noterons (e) l’entier ´egal `a 1 si F croˆıt lorsque l’on s’approche de si et ´egal `a−1 si F d´ecroˆıt lorsque l’on s’approche de si.
D’autre part, si u ∈ Ti n’est pas un sommet, nous pouvons lui associer un domaine D(u) de T2 de la mani`ere suivante. On consid`ere la composante connexe de Ti− {u} qui ne contient pas si. L’ouvert D(u) est l’image inverse dans T2de cette composante connexe (c’est, topologiquement, un disque). On note χ(u) = aire(D(u)) et, si e est une arˆete de
Ti d’extr´emit´es e+ et e−,
χ(e+) = limu∈e, u→e+χ(u) χ(e−) = limu∈e, u→e−χ(u).
Le nombre χ(e±) d´epend du sommet e± et de l’arˆete e, pas seulement du sommet. Pour calculer eVϕ1
H(x, y), on distingue trois cas, selon la position relative des points si, p(x) et p(y) dans l’arbre Ti, comme sur la figure 1.3. Dans le premier cas, les composantes connexes des niveaux de F contenant x et y bordent des disques (contenus dans l’arbre Ti) Dx et Dy disjoints. Une fois de plus, nous pouvons ´ecrire le lacet α(ϕn
H, x, y) comme produit des deux lacets suivants :
γ1,n= αx−y∗ (ϕt H(x)− y)t∈[0,n]∗ αϕn H(x)−y γ2,n= αϕn H(x)−y∗ (ϕn H(x)− ϕt H(y))t∈[0,n]∗ αϕn H(x)−ϕn H(y).
Chacun de ces deux lacets reste dans une partie born´ee du groupe fondamental, et l’on obtient donc eVϕ1
H(x, y) = 0.
Remarque. En utilisant les domaines D(u) introduits plus haut, le couple de points (x, y) est dans le second cas de la figure si et seulement si x ∈ D(pG(y)) ; dans le troisi`eme cas si et seulement si y∈ D(pG(x)).
Consid´erons maintenant le second cas de la figure. Nous allons voir que la quantit´e e
Vϕ1
H(x, y) est alors proprotionnelle `a la vitesse de rotation du point y, et ne d´epend pas de celle de x : le point y “tourne autour de x”. ´Ecrivons encore α(ϕnH, x, y) = γ1,n∗ γ2,n, o`u γ1,net γ2,nont la mˆeme expression que ci-dessus. Le lacet γ1,nreste dans une partie born´ee du groupe fondamental. Utilisons les coordonn´ees pr´ec´edemment introduite sur p−1G (e0) et notons y = (θ, s). On peut alors consid´erer le lacet : γ(u) = (θ + u, s)u∈[0,1].
Observation. la classe de (γ(u)− x) dans π1(T2− {0}, x∗) est ´egale `a [a, b](e0). En notant que les classes S∗([a, b]) et [a, b] sont conjugu´ees, on en d´eduit que :
e Vϕ1
H(x, y) = limn→∞1
nφ(γ2,n) = (e0)φ(S∗([a, b]))ϑH(y) = (e0)φ([a, b])ϑH(y).
Puis : Z y∈p−1 G (e0),x∈D(pG(y)) e Vϕ1
H(x, y)dxdy = (e0)φ([a, b]) Z
p−1 G (e0)
1.3. CAS DU TORE 43
Puisque ∂
∂saireD(pG(y = (θ, s))) = (e0), une int´egration par partie nous donne que l’ex-pression ci-dessus est ´egale `a :
(e0)φ([a, b]) [H(s)aireD(pG(θ, s)]s + e0 s− e0 − (e0)Rs+ e0 s− e0 H(s)ds = (e0)φ([a, b]) (HG(e0+)χ(e0+)− HG(e0−)χ(e0−))− φ([a, b])Rs
+ e0 s−
e0
H(s)ds.
En sommant ces termes sur les arˆetes de Ti, nous obtenons une expression de la forme :
−φ([a, b]) Z p−1 G (Ti) Hω + φ([a, b]) X v C(v)HG(v) ! ,
o`u la seconde somme porte sur les sommets de Ti. On v´erifie ais´ement que toutes les constantes C(v) s’annulent `a l’exception de C(si) qui est ´egale `a l’aire du domaine p−1G (Ti). Finalement : X e0 Z y∈p−1 G (e0), x∈D(pG(y)) e Vϕ1 H(x, y)dxdy = φ([a, b]) Z p−1 G (Ti) (HG(si)− H) ω.
Par sym´etrie, la somme des contributions correspondant au trosi`eme cas de la figure vaut ´egalement φ([a, b])R
p−1
G (Ti)(HG(si)− H) ω. Nous obtenons bien : Z (p−1(Ti))2 e Vϕ1 H(x, y) dxdy = 2φ([a, b]) Z p−1(Ti) (HG(si)− H) ω, et donc Cφ(ϕ1 H) = 2φ([a, b])Pk i=1 R p−1
G (Ti)(HG(si) − H)ω, ce qui ach`eve la preuve du th´eor`eme 4.
Chapitre 2
Un quasi-morphisme pour les
vari´et´es symplectiques monotones
Dans ce chapitre, nous allons construire un quasi-morphisme homog`ene S: fGV → R
d´efini sur le revˆetement universel du groupe GV des diff´eomorphismes hamiltoniens d’une vari´et´e symplectique ferm´ee V qui est monotone. Nous commen¸cons par rappeler la d´efini-tion de cette nod´efini-tion.
Consid´erons l’espace J des structures presque-complexes sur V compatibles avec ω. Un ´el´ement de J est un champ (lisse)
{Jx : TxV → TxV}x∈V
d’endomorphismes du fibr´e tangent de V v´erifiant les conditions suivantes : J2 = −1l, J pr´eserve ω, ω(u, J(u)) > 0 pour tout vecteur u tangent `a V et non-nul. L’espace Jx
des structures presque-complexes sur l’espace tangent TxV en un point x de V , qui sont compatibles avec ωx, est un espace contractile (voir [86]) : c’est naturellement une vari´et´e riemannienne simplement connexe `a courbure n´egative ou nulle. Ceci assure que l’espace J est non-vide et lui-mˆeme contractile. Ainsi, la premi`ere classe de Chern du fibr´e vectoriel complexe (T V, J) ne d´epend pas de la structure presque complexe J ∈ J . C’est la premi`ere classe de Chern de la vari´et´e symplectique (V, ω), not´ee c1(V, ω) (nous la noterons parfois simplement c1(V )).
Nous dirons que (V, ω) est monotone, si la classe [ω] est proportionnelle `a la classe c1(V, ω) :
∃ t ∈ R∗, [ω] = tc1(V, ω).
Notons que ceci force la classe c1(V, ω) a ˆetre non-nulle. La d´efinition usuelle de vari´et´e sym-plectique monotone demande g´en´eralement que t soit positif, mais nous n’aurons pas besoin de faire cette hypoth`ese. Notons ´egalement que certains auteurs demandent que l’´egalit´e [ω] = tc1(V ) ait lieu uniquement sur l’image de l’application naturelle π2(V )→ H2(V, R). Nous ´ecrirons plutˆot la relation entre [ω] et c1(V, ω) sous la forme
ς[ω] = 2c1(V, ω)
(nous avons bien sˆur ς = 2t) ; en effet pour construire l’invariant S, nous allons faire usage du fibr´e en cercles au-dessus de V dont la classe d’Euler est 2c1(V ).
Des exemples de vari´et´es symplectiques monotones sont fournis par les espaces projectifs complexes, munis de leur forme symplectique standard (de Fubini-Study). En effet, leur classe de Chern est non-nulle ; le groupe H2(CPn, R) ´etant de dimension 1, la classe de cohomologie de la forme de Fubini-Study est n´ecessairement proportionnelle `a c1(CPn). Une autre famille d’exemples est fournie par les surfaces compactes (orient´ees) de genre sup´erieur ou ´egal `a 2 : si Σ est une telle surface, munie d’une forme d’aire ω, les deux classes [ω] et c1(Σ, ω) sont non-nulles. Puisque l’espace vectoriel H2(Σ, R) est de dimension 1, elles sont l`a encore proportionnelles. La surface Σ, munie de la forme ω est donc une vari´et´e symplectique monotone. Notons que dans ce cas la constante ς est n´egative. On pourra consulter [35] pour la construction d’un quasi-morphisme sur le groupe fGV pour les vari´et´es de premi`ere classe de Chern nulle.
2.1. NOMBRE DE ROTATION SYMPLECTIQUE 47
La premi`ere partie de ce chapitre est consacr´ee `a des rappels de constructions classiques. Dans la seconde partie, nous construisons le quasi-morphisme S. Pour des isotopies ha-miltoniennes engendr´ees par des fonctions `a support compact, contenu dans une boule, nous relions la valeur de S `a des invariants d´ej`a connus. Dans la troisi`eme partie, nous montrons, d’apr`es une suggestion de Polterovich, que la restriction de S au groupe fon-damental du groupe des diff´eomorphismes hamiltoniens π1(GV) ⊂ fGV co¨ıncide avec un homomorphisme I : π1(GV) → R, introduit par Polterovich dans [100]. Nous d´ecrivons ensuite un exemple de vari´et´e symplectique, tir´e de [100], pour laquelle l’homomorphisme I n’est pas trivial. Enfin, dans la derni`ere partie, nous nous pla¸cons dans le cas o`u V est la sph`ere S2, munie d’une forme d’aire. Dans ce cas, le groupe π1(GS2) est ´egal `a Z/2Z, d’apr`es un th´eor`eme de Smale [111]. Le morphisme S descend donc en un quasi-morphisme d´efini sur le groupe GS2, que nous d´esignons toujours par S. Nous calculons sa valeur sur les temps 1 des flots hamiltoniens engendr´es par des fonctions de Morse sur la sph`ere (ou, plus g´en´eralement, par des fonctions qui commutent avec une fonction de Morse). Nous obtenons, encore une fois, une formule faisant intervenir la combinatoire du graphe de Reeb associ´e `a la fonction de Morse.
2.1 Nombre de rotation symplectique
Dans ce paragraphe, nous exposons la construction, maintenant tr`es classique, d’un quasi-morphisme homog`ene d´efini sur le revˆetement universel fSp(E, ω) du groupe sym-plectique Sp(E, ω) d’un espace vectoriel symsym-plectique (E, ω) (voir [10, 33, 66] pour plus de d´etails). Puis, nous rappelons la construction par Barge et Ghys [10], d’un quasi-morphisme d´efini sur le groupe des diff´eomorphismes symplectiques (`a support compact) d’une boule de R2n.