D´efinition 93.— Soit C une classe presque pleine de groupes finis. Un pro-C-groupeF est dit pro-C-libre s’il poss`ede un syst`eme de g´en´erateurs convergeant vers1 ayant la propri´et´e suivante : si, pour une applicationϕ0:X7→GdeX dans un pro-C-groupe G, l’ensemble ϕ0(X) converge vers 1, alors il existe un homomorphisme continu
ϕ:F−→G
qui ´etendϕ0 (i.e. ϕ|X =ϕ0). Dans ces conditions, l’ensembleX est appel´e ”base deF”.
On remarque, pour des raisons ´evidentes, que si ϕ existe, il est alors unique.
Par ailleurs, si F etGsont deux groupes pro-C-libres de mˆeme rang, alors ils sont isomorphes. C’est pour cela que nous parlerons dans la suite du groupe pro-C-libre de rangαpour d´esigner un repr´esentant, not´eFbα(C), dans la classe de ces groupes.
LorsqueCd´esigne la classe de tous les groupes finis, on parlera plus simplement de groupes prolibres que l’on notera Fbα s’ils sont de cardinalα.
Th´eor`eme 94.—Pour tout classeCpresque pleine de groupes finis et tout cardinal α, il existe un groupe pro-C-libre de rangα.
Preuve : On consid`ere le groupe libreF sur un ensemble de lettres X0 ={x0i/ i∈I}
de cardinal α. NotonsN, l’ensemble des sous-groupes distingu´esN deF tels que
• F/N∈ C
• N contienne presque tous les ´el´ements deX0
L’ensembleN satisfait les propri´et´es qui permettent de d´efinir une pro-C-com-pl´etion deF que nous noterons
Fb= lim
←−F/N (c’est un pro-C-groupe). On consid`ere
θ:F −→Fb le morphisme canonique et pour touti∈I, on pose
xi=θ(x0i) etX ={xi/ i∈I}
Il est clair queXest un syst`eme de g´en´erateurs deFbconvergeant vers 1 puisque d’apr`es la proposition ???, tout sous-groupe distingu´e ouvert de Fb est de la forme Nb avecN ∈ N.
Consid´erons maintenant un pro-C-groupeGet une application ϕ0:X −→G
telle que ϕ0(X) converge vers 1 dans G. Pour touti∈I, posons yi=ϕ0(xi)
Si M est un sous-groupe ouvert distingu´e de G, alors l’application x0i 7→yiM s’´entend un un homomorphisme
ϕM :F −→G/M
G/M, on en d´eduit queF/N∈ C et par suite queN ∈ N. Notons maintenantϕM le morphisme compos´e
Fb−→F/N −→G/M
Il satisfaitϕM(xi) =yi, et par suite, comme la collection desϕM fait commuter les diagrammes, elle d´efinit un morphisme
ϕ:Fb−→G
tel queϕ(xi) =yipour touti. Ainsi le groupewidehatF est bien pro-C-libre. Reste
`
a voir que son rang est bienα.
Pour montrer cela, il suffit de montrer que xi 6= xj pour i 6=j. Prenons un
´
el´ement C ∈ C non trivial, i 6= j et ci 6= cj dans C. L’argument du paragraphe pr´ec´edent montre que l’application
x0i 7−→ ci
x0j 7−→ cj s’´etend un morphisme
ϕ:Fb−→C qui v´erifieϕ(xi) =ci 6=cj=ϕ(xj).
——–
Exemples.—•SiCest la classe desp-groupes finis, alorsFb1(C) =Zp. Si maintenant, C d´esigne la classe de tous les groupes finis alors Fb1(C) =Zb.
• Si Gd´esigne un pro-C-groupe de rangα, alorsGest un quotient de Fbβ(C) pour tout cardinalβ≥α.
•Siα≤βsont deux cardinaux, alorsFbα(C) peut-ˆetre vu comme quotient et comme sous-groupe ferm´e deFbβ(C).
Chapitre 5
Th´ eorie de Galois
5.1 Groupe de Galois
5.1.1 Clˆ oture s´ eparable
Lemme 95.— Soit K un corps et K sa clˆoture alg´ebrique. L’ensemble E des
´
el´ements de K s´eparables surK est un sous-corps de K.
Preuve:Soitx, y∈Kdes ´el´ements s´eparables. L’extensionK(x, y)/Kest s´eparable, doncx−y etxy−1 sont des ´el´ements s´eparables.
——–
D´efinition 96.— L’ensemble des ´el´ements s´eparable sur K s’appelle la clˆoture s´eparable deK et se note Ksep.
Proposition L’extension Ksep/K est galoisienne, c’est la plus grande extension galoisienne deK.
Preuve:Par hypoth`ese,Ksep/Kest s´eparable. Reste `a montrer qu’elle est normale.
Soitx∈Ksep, les conjugu´es dexsont aussi s´eparbale, donc vivent dansKsep. Soit L/K galoisienne,L/K est en particulier s´eparable doncL⊂Ksep.
——–
Exemple:•Si K est de caract´eristique 0, alorsKsep =K.
• SiK est fini, alorsKsep=K.
• Soit K un corps de caract´eristique p. Consid´erons dans K(X)[T] le polynˆome P(T) = Tp −X. P est irr´eductible (Eisenstein) et P0 = 0, donc P n’est pas s´eparable et par suiteK(X)sep6=K(X).
D´efinition 97.—Un corpsK est dit parfait si Ksep =K.
PropositionSoitK un corps de caract´eristiquep. Les propositions suivantes sont
´
equivalentes:
i)K est parfait,
ii) l’endomorphisme x7→xp est surjectif.
Preuve: i)⇒ii) : Soita∈K. Consid´erons le polynˆomeP(X) =xp−a etL son corps de d´ecomposition sur K. Comme K est parfait, L/K est s´eparable et par suite galoisienne. Soit b ∈ L une racine deP. Comme P(b) = 0, son polynˆome minimal divise donc P(X) = (X−b)p et commeb est s´eparable, ce polynˆome est X−b ce qui prouve queb∈K.
45
ii) ⇒ i) : Soit P ∈ K[X] un polynˆome irr´eductible et ins´eparable. On a alors P(X) =Pn
i=0aiXip. Soitbi∈K tel queai=bpi, on a donc:
P(X) =
n
X
i=0
(biXi)p=
n
X
i=0
biXi
!p
ce qui est contraire `a l’irr´eductibilit´e deP.
——–
D´efinition 98.— Le groupe de Galois de l’extension Ksep/K s’appelle le groupe de Galois absolu deK et se note G(K) ouGK.
5.1.2 Topologie de Krull
SoitL/K une extension galoisienne. On consid`ere un ensembleE d’extensions ga-loisiennes finies Li/K tel que L =S
iLi (il existe de tels ensembles, par exemple celui constitu´e de toute les extensions galoisiennes finies). On ordonneE par inclu-sion, c’est alors un ordre filtrant `a droite. En effet, si Li et Lj sont dans E alors Li.Lj/K est galoisienne et par suite il existe α∈ L tel que Li.Lj = K(α). Mais par hypoth`ese, il existeLk∈ E tel queα∈Lk. On a alorsLi⊂Lk etLj⊂Lk.
Pour toutLi⊂Lj si on appelleεij :Li→Lj l’injection canonique, alors, on a:
L= lim
−→Li
CommeLi/Kest galoisienne, le groupeGi=Gal(L/Li) est un sous-groupe normal deGal(L/K). Consid´erons l’ensemble V={Gi}.
Lemme 99.—V est une base de filtre.
Preuve: SoitGi et Gj dansV. Le sous-groupeGi∩Gj est visiblement normale dansGal(L/K). Maintenant consid´erons le compositumLi.Lj. C’est une extension galoisienne deK de degr´e fini. Il est clair queGi∩Gj=Gal(L/Li.Lj). Soitα∈L un ´el´ement primitif deLi.Lj/L. Par hypoth`ese, il existe k tel queα∈ Lk. On a alorsGk⊂Gal(L/Li.Lj) =Gi∩Gj.
——–
Maintenant, il est clair que
• ∀U ∈ V, ∃V ∈ V, V.V ⊂U (prendreV =U).
• ∀U ∈ V, ∃V ∈ V, V−1⊂U (prendreV =U).
• ∀U ∈ V, ∀a∈Gal(L/K), ∃V ∈ V, V ⊂aU a−a (prendreV =U). On en d´eduit donc qu’il existe une unique topologie surGal(L/K) compatible avec la structure de groupe topologique pour laquelleV est une base de filtre de voisinages de l’´el´ement neutre.
Proposition-D´efinition 100.—La topologie ainsi d´ecrite surGal(L/K)est ind´ e-pendante du choix deE. On l’appelle topologie de Krull.
Preuve: Soit V et V0 les bases de voisinages de l’´el´ement neutre de Gal(L/K) associ´ee aux deux familles E et E0 d”extensions galoisiennes finies engendrants L.
Soit G=Gal(L/Li) ∈ V et α un ´el´ement primitif de Li/K. Il existeL0i ∈ E0 tel que α∈L0i, on a alors G0 ⊂GavecG0 =Gal(L/L0i)∈ V0. Les topologies d´efinies sont donc les mˆemes.
——–
Exemple:SoitL/K une extension galoisienne finie. Consid´erons pourEl’ensemble {L}. On a doncV={1 =Gal(L/L)}et par suite, 1 est un ouvert, donc la topologie surGal(L/K) est la topologie discr`ete.
On consid`ere un ensembleE d’extensions galoisiennes finiesLi/K tel queL= S
iLi. Pour tout i, on noteπi :Gal(L/K)→Gal(Li/K) la surjection canonique.
L’applicationπest visiblement un homomorphisme de groupe. Cet homomorphisme est continu si l’on consid`ere sur Gal(L/K) la topologie de Krull et surGal(Li/K) la topologie discr`ete. Pour montrer ce fait, il suffit de montrer que π−1({σ}) est ouvert dans Gal(L/K) pour tout σ ∈ Gal(Li/K) (puisque ce dernier ensemble est discrˆet et fini), ce qui ´equivaut `a montrer que π−1({Id}) est ouvert puisque l’application ψσ : µ → σ.µ est un hom´eomorphisme de Gal(Li/K). Maintenant, π−1({Id}) =Gal(L/Li) =Gi qui est ouvert par d´efinition.
Pour tout i, on note Gi = Gal(Li/K). Si Li ⊂ Lj, on note ϕji : Gj → Gi
la surjection canonique. Il est imm´ediat que le syst`eme (Gi, ϕji) est un syst`eme projectif de groupes finis. Si l’on muni les Gi de la topologie discr`ete, alors ϕji est continue. On consid`ere le groupe profini lim
←−Gi muni de sa structure de groupe toplogique naturelle. On a alors:
Th´eor`eme 101.—Il existe un isomorphisme de groupe topologique entreGal(L/K) (muni de la topologie de Krull) et lim
←−Gi.
Preuve: SoitGun groupe topologique et pour touti,ϕi :G→Gi un homomor-phisme continu de groupe tel que pour tout i≤j,ϕi=ϕji◦ϕj. Pour toutσ∈G, d´esignons parθ(σ) :L→L l’application d´efinie, pourx∈L, par:
θ(σ)(x) =ϕi(σ)(x)lorsque x∈Li
L’applicationθ(σ) est bien d´efinie car six∈Lj et si Li.Lj ⊂Lk, alors ϕi(σ)(x) = ϕki◦ϕk(σ)(x)
= ϕk(σ)(x)
= ϕkj◦ϕk(σ)(x)
= ϕj(σ)(x)
L’applicationθ(σ) est visiblement unK-automorphisme deLetθ:G→Gal(L/K) v´erifie bien que c’est la seule application `a v´erifierϕi =πi◦θ. L’applicationθ est homomorphisme de groupe. Elle est bien continue carθ−1(Gi) =ϕ−1i ({Id}). D’o`u l’isomorphisme de groupe topologique.
——–
Le groupe de Galois d’une extension galoisienne est donc un groupe profini. En particulier, muni de la topologie de Krull (qui est compatible avec la topologie de groupe profini), ce groupe est compact et totalement discontinu.