5.3 Le th´ eor` eme de Waterhouse
5.3.1 La m´ ethode de Noether
Th´eor`eme.—(Noether)SoitGun groupe fini. Il existe une extension galoisienne L/K telle que Gal(L/K) =G.
Preuve: Soitn=]G. On consid`ere un plongement de Gdans le groupe des per-mutationsSn. Le groupeSnagit comme groupe de permutation surF(X1,· · ·, Xn) (o`u F est un corps commutatif quelconque) par permutation des variables. Ex-plicitement, siR∈F(X1,· · ·, Xn) etσ∈Sn alors:
σ(R(X1,· · ·, Xn)) =R(Xσ(1),· · ·, Xσ(n))
Donc G agit comme groupe d’automorphisme de F(X1,· · ·, Xn). Le th´eor`eme d’Artin affirme alors queF(X1,· · ·, Xn)/F(X1,· · ·, Xn)G est une extension galoisi-enne de groupe G.
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Remarque: La m´ethode de Noether permet d’arriver `a un r´esultat plus pr´ecis : pour tout groupe finiG, il existe une extension galoisienne de corps de nombreL/K tel que Gal(L/K). Cela utilise la propri´et´e suivante (cons´equence d’un th´eor`eme de Hilbert) : siL/Q(X1,· · ·, Xn)est une extension galoisienne de groupe G, alors il existe une extension galoisienne L/e Qde groupe de Galois G.
Le m´ethode Noether appliqu´ee au groupeG=Sn montre que F(X1,· · ·, Xn)/F(X1,· · ·, Xn)Sn
est galoisienne de groupe Sn. Maintenant,
F(X1,· · ·, Xn)Sn=F(σ1,· · ·, σn)
o`u lesσisont les fonctions sym´etriques ´el´ementaires. Il est c´el`ebres que ces derni`ere sont alg´ebriquement ind´ependantes, donc F(X1,· · ·, Xn) ' F(σ1,· · ·, σn) et par suite, il existe une extensionL/F(X1,· · ·, Xn) de groupe de GaloisSn. En prenant F =Q et en appliquant Hilbert on en d´eduit que Sn est groupe de Galois d’une extension M/Q. En plongeant maintenant un groupe Gd’ordre n dans Sn et en prenant le corps des invariants deM parG, on en d´eduit ce que nous anoncions.
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Nous savons que les groupes de Galois d’extensions galoisiennes sont des groupes profinis. R´eciproquement :
Th´eor`eme.—(Waterhouse, 1974)SoitGun groupe profini. Il existe une extension galoisienne L/K telle que Gal(L/K) =G.
La construction de L/K est une g´en´eralisation de la m´ethode de Noether au cas infini. Pour montrer ce th´eor`eme commen¸cons par ´etablir une g´en´eralisation du th´eor`eme d’Artin :
Proposition.— SoitG un groupe profini d’automorphismes d’un corps F tel que pour tout x∈L,
S(x) ={σ∈G/ σ(x) =x}
soit un sous-groupe ouvert deG. Alors l’extensionF/FGest galoisienne etGal(F/FG) = G.
Preuve: PosonsK=FG et consid´eronsx1,· · ·, xn∈L. Le groupe H=S(x1)∩ · · · ∩S(xn)
est un sous-groupe ouvert deG. SoitN l’intersection des conjugu´es deH. C’est un sous-groupe ferm´e deG
Soit n = [G : H], G agˆıt sur G/H par multiplication et induit donc un ho-momorphisme de G sur Sn dont le noyau est N. Donc G/N est isomorphe `a un sous-groupe deSn, donc [G:N]≤n! etN est donc d’indice fini dansGet par suite N est un sous-groupe ouvert deG.
Le groupe G/N est fini et agit comme groupe d’automorphismes sur le corps L=K(Gx1,· · ·, Gxn). Le corps des invariants est alors ´egal `a K donc, d’apr`es le th´eor`eme d’Artin,L/K est galoisienne finie de groupeG/N.
Le corpsF est la r´eunion des extensionsL/K, donc est galoisien. L’intersection desN vaut bien 1, donc
Gal(F/K) = lim
←−Gal(L/K) = lim
←−G/N =G
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Consid´erons un groupe profiniGetN l’ensemble des sous-groupes ouverts dis-tingu´es deG. Soit Ω G
N∈N
G/N etL=F(Xω)ω∈Ωle corps des fractions rationnelles en les variablesXω.
Soitω ∈Ω etσ∈G. Il existeN ∈ N etτ ∈Gtel queω soit la classe deτ N dansG/N. D´efinissons alors
σ(Xω) =Xσ(ω)
avec σ(ω) la classe de στ N dans G/N. On v´erifie alors que G est un groupe d’automorphismes deL(exercice).
Le stabilisateurS(Xω) deXωpourωclasse deτ N estNdonc est un sous-groupe ouvert de G. Si R(Xω1,· · ·, Xωn)∈L, alors S(R) contient S(Xω1)∩ · · · ∩S(Xωn) qui est ouvert, donc est ouvert. En appliquant alors la proposition pr´ec´edente, on en d´eduit le th´eor`eme de Waterhouse.
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Quelques exemples de groupes de Galois
6.1 Le groupe des Galois absolu d’un corps fini
On consid`ere dans ce paragraphe un nombre premierl etqune puissance enti`ere de l. On note Fq le corps `a q´el´ement. On ´etudie ici le groupe de Galois absolu deFq
(qui est ´egal, puisqueFqest un corps parfait, `aGal(Fq/Fq)) et aux correspondances galoisiennes d´ecoulant de cette ´etude.
Th´eor`eme 118.—Le groupe de Galois absolu deFq est isomorphe au groupeZb. Preuve : Consid´erons surN∗l’ordre≤d´efini parn≤msi et seulement sin|m. On sait queG=Gal(Fq/Fq) est isomorphe `a la limite projective desGal(L/Fq) o`uLest une extension galoisienne finie deFq. Par ailleurs, on a ´etabli que toute extension finie deFq est galoisienne et que ces extensions correspondent exactement aux corps Fqn pour n ∈N∗. On sait aussi que l’on a l’extensionFqm/Fqn si et seulement si n|m, on en d´eduit donc que le groupeGmuni de la topologie de Krull est isomorphe
`
a la limite projective du syst`eme
(Gal(Fqn/Fq), resmn)n∈N∗
o`uresmn:Gal(Fqm/Fq)−→Gal(Fqn/Fq), qui d´esigne l’application de restriction, est d´efinie pourn|m.
On consid`ere maintenant l’´el´ementσ∈Gal(Fq/Fq d´efini, pourx∈Fq, par σ(x) =xq
On sait que la restriction deσ`aFqn d´efinit un g´en´erateur deGal(Fqn/Fq) que nous noteronsσn et donc, par cons´equent, il existe un unique isomorphisme
εn:Gal(Fqn/Fq)−→Z/nZ
v´erifiantεn(σn) = 1. Soit maintenantnetmdeux entiers tels quen|m. Il est clair
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que l’on a resmn(σm) =σn, il s’ensuit que le diagramme suivant
Gal(Fqm/Fq) −−−−−→εm Z/mZ
y
resmn
y
πmn
Gal(Fqn/Fq) −−−−−→εn Z/nZ
(o`u πmn d´esigne le morphisme naturel) est commutatif. Ainsi la proposition ???
nous permet de d´eduire que les groupes lim
←−Z/nZet lim
←−Gal(Fqn/Fq) sont isomor-phes. Le premier n’est rien d’autre que bZet le deuxi`eme, comme il a ´et´e rappel´e, est isomorphe `a Gal(Fq/Fq). D’o`u le r´esultat.
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L’isomorphisme que l’on vient d’introduire dans cette preuve montre que l’application σ est un g´en´erateur topologique du groupe Gal(Fq/Fq). L’ab´elianit´e de bZassure que tout les sous-groupes (donc tous les sous-groupes ferm´es) de Gal(Fq/Fq) sont distingu´es et par suite que toute extension alg´ebrique de Fq est galoisienne. Ce fait pouvait ˆetre obtenu directement en remarquant que si L/Fq est une extension alg´ebrique alorsLest le compositum de toutes ses sous-extensions finies et comme une extension galoisienne finie deFq est galoisienne et que le compitum d’extensions galoisiennes est galoisienne, on retrouve bien le fait que L/Fq est galoisienne.
On veut maintenant regarder `a quoi correspond, en termes galoisiens dans cette situation, un isomorphisme entre Zb et Y
p
Zp. Pour cela on introduit, pour un nombre premier pdonn´e le corps
Lp= [
n∈N∗
Fqpn
Il s’agit bien d’une extension puisque la suiteFqpn est une suite de corps emboit´es.
L’extensionLp/Fq est galoisienne et comme dans la preuve du th´eor`eme pr´ec´edent, en regardant l’isomorphismeεpn:Gal(Fqpn/Fq)−→Z/pnZ, on d´eduit que
Gal(Lp/Fq)'Zp
Maintenant, siaetbsont deux entiers premiers entres eux, on aFqa∩Fqb=Fq car si K=Fqa∩Fqb alors il existectel queK=Fqc mais commeFqa/FqcetFqb/Fqcsont des extensions, on doit avoirc|aetc|bce qui montre bien quec= 1. Les extensions Fqa et Fqb´etant galoisiennes, elles sont, par cons´equent, lin´eairement disjointe. On en d´eduit donc que le compositunFqa•Fqb est de degr´eabsurFq, c’est-`a-dire que
Fqa•Fqb=Fqab
On en d´eduit donc, par r´eccurence, que simest un entier et si m=pn11· · ·pnkk
est sa d´ecomposition en facteurs premiers, alors
•iF
qpnii =Fqm
ce qui permet alors d’affirmer que
•pLp=Fq
Pourppremier, notons
Lep=•q6=pLq
La remarque pr´ec´edente montre queFqm ⊂Lep si et seulement sip6 |m. Ainsi, on peut en d´eduire que
Lep∩Lp=Fq
La proposition ??? permets alors d’affirmer qu’il y a un isomorphisme entreGal(Fq/Fq) et Y
p
Gal(Lp/Fq) ce qui donne un isomorphisme entre bZ et Q
pZp. Si l’on veut d´etailler l’isomorphisme en terme de g´en´erateurs canonique, alors l’isomorphisme
θ:Gal(Fq/Fq)−→Y
p
Gal(Lp/Fq)
est l’application topologiquement d´efinie par l’envoie deσau produit des restriction deσauxLp.
Venons en maintenant `a la description des extensions interm´ediaires de l’extension Fq/Fq. SoitL/Fq une extension interm´ediaire et pour tout premier p, notons
Np(L) =
n∈N, Fqpn ⊂L
Pour des raisons ´evidentes, sim∈Np(L) alors pour toutn≤mon a n∈Np(L).
On a alors
Corollaire 119.— SoitG un sous-groupe ferm´e de Y
p
Zp. Il existe un ensemble P de nombres premiers et pour chaquepun entiernp tels que
G= Y
p∈P
pnpZp
En d’autre termes, les sous-groupes ferm´es deY
p
Zp sont les produits des sous-groupes des Zp.
Preuve :
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