2.2.1
Description des groupes de Weyl
Cas des groupes lin´eaires de similitudes. — Le groupe de Weyl de GGLn par
rapport au tore diagonal s’identifie naturellement au groupe des matrices de permutation de GLn, isomorphe au groupe des permutations Sn de l’ensemble {1, . . . , n}.
Cas des groupes de similitudes symplectiques ou orthogonales. — On note Tn= {diag(a1, . . . , an, αa−1n , . . . , αa−11 ), ai ∈ k
∗
, α ∈ k∗} le tore diagonal de GSp2n : c’est un sous-tore du tore diagonal de GL2n. Le groupe de Weyl NGSp2n(Tn)/Tn de GSp2n par
rapport `a Tn se plonge naturellement dans le groupe de Weyl de GL2n par rapport au tore
diagonal de GL2n, et il s’identifie via ce plongement au groupe Wn des permutations de
{1, 2, . . . , n, n′, . . . , 2′, 1′} qui commutent `a l’involution (11′)(22′) . . . (nn′).
Les groupes Sn et Zn2 se plongent naturellement dans Wn : le cycle (a1, . . . , ar) de
Sn a pour image (a1, . . . , ar)(a′1, . . . , a′r) et l’´el´ement (a1, . . . , an) ∈ Zn2 a pour image
(11′)a1. . . (nn′)an. Dans la suite, on identifie S
n et Zn2 `a leurs images dans Wn.
Pour 1 6 i 6 n et σ = (a1, . . . , ar) un cycle de Sn, il existe 1 6 j 6 n tel que
σ(ii′)σ−1 = (jj′) (j = i si i n’est pas dans le support de σ et j est dans le support de σ sinon) donc Zn
2 est un sous-groupe normal de Wn. Comme tout ´el´ement de Wn s’´ecrit
de mani`ere unique comme le produit d’un ´el´ement de Sn et d’un ´el´ement de Zn2, on a
Wn= Zn2 ⋊ Sn. Pour w ∈ Wn, posons φn(w) = (−1)|{i∈{1,...,n},w(i) /∈{1,...,n}}| = (−1)|{w(1),...,w(n)}∩{1 ′,...,n′}| . ´ Ecrivant w = (σ, (α1, . . . , αn)) ∈ Sn⋊Zn2, on a φn(w) = (−1) n P i=1 αi , et φnest un morphisme
de Wn dans {−1, 1}. De plus, en identifiant Wn−1 `a un sous-groupe de Wn, φn est com-
patible `a la restriction `a Wn−1 : pour w ∈ Wn−1, on a φn(w) = φn−1(w). En particulier,
dans la suite, nous noterons d´esormais φ(w) au lieu de φn(w) pour w ∈ Wn.
Le groupe de Weyl de GO2n par rapport au tore diagonal s’identifie naturellement `a
Wn et le groupe de Weyl de GSO2n par rapport au tore diagonal s’identifie naturellement
au noyau de φ, c’est un sous-groupe d’indice 2 de Wn.
Notation. — On note W0
n ⊂ Wnle groupe de Weyl de GSO2npar rapport au tore diagonal.
2.2.2
Classes de conjugaison ou de
F ε-conjugaison des groupes
de Weyl des groupes de similitudes
Cas des groupes lin´eaires de similitudes. — On sait que les classes de conjugaison du groupe sym´etrique Sn sont param´etr´ees par les partitions de n.
Cas des groupes de similitudes symplectiques ou orthogonales. — Rappelons la description des classes de conjugaison 2 de W
n :
D´efinition 2.1. — Si n est un entier strictement positif, on appelle partition sign´ee de n toute suite ((n1, ε1), . . . , (nr, εr)), o`u r, n1, . . . , nr ∈ N∗, n1 >. . . > nr, n = n1+· · ·+nr,
εi ∈ {−1, 1} pour i = 1, . . . , r, et si 1 6 i < j 6 r sont tels que ni = nj, on a εi >εj.
Soit w ∈ Wn. L’´el´ement w s’´ecrit w = w1a1. . . wrar o`u r ∈ N∗, les wi sont des cycles `a
supports deux `a deux disjoints et pour 1 6 i 6 r, ai = (ai,1, . . . , ai,n) est un ´el´ement de
Zn2 tel que {j, ai,j = 1} est inclus dans le support de wi.
Posant alors pour 1 6 i 6 r, αi = (−1)
n
P
j=1
ai,j
, quitte `a permuter l’ordre des wiai,
on peut supposer que ((ℓ1, α1), . . . , (ℓr, αr)) est une partition sign´ee de n. En fait, les
partitions sign´ees permettent de d´ecrire les classes de conjugaison de Wn, grˆace au lemme
classique suivant (voir [2], G-11) :
Lemme 2.4. — Les classes de conjugaison de Wn sont param´etr´ees par les partitions
sign´ees de n.
Dans la suite, nous aurons besoin du comportement des classes de conjugaison de Wn contenues dans Wn0 lorsque l’on restreint l’action par conjugaison `a Wn0. Pour cela,
commen¸cons par d´ecrire le centralisateur d’un ´el´ement de Sn :
Lemme 2.5. — Soit w ∈ Sn. Le centralisateur de w dans Wn est l’ensemble des ´el´ements
de la forme σα, o`u σ ∈ Sn commute `a w et α = (α1, . . . , αn) ∈ Zn2, tels que si 1 6 i, j 6 n
sont dans la mˆeme orbite pour w, on a αi = αj.
D´emonstration. — Soient σ ∈ Sn et α ∈ Zn2. On a
(σα)w(σα)−1 = σαwασ−1 = (σwσ−1)(σw−1αwσ−1σασ−1), avec σwσ−1 ∈ S
n et σw−1αwσ−1σασ−1 ∈ Zn2, d’o`u si σα commute `a w, on a wσ = σw et
αw = wα d’o`u le r´esultat.
On en d´eduit la proposition suivante :
Proposition 2.1. — Soit C une classe de conjugaison de Wn contenue dans Wn0. Si la
partition sign´ee associ´ee `a C contient une orbite de longueur impaire ou un signe n´egatif, alors C est aussi une classe de conjugaison de W0
n, et sinon C est la r´eunion disjointe
de deux classes de conjugaison de W0 n.
D´emonstration. — Puisque W0
n est d’indice 2 dans Wn, dire que C est une classe de
conjugaison de W0
n signifie que pour w ∈ C, le centralisateur de w dans Wn contient
strictement le centralisateur de w dans W0
n et sinon C est la r´eunion disjointe de deux
classes de conjugaison de W0 n.
Soit w ∈ C. ´Ecrivons w = w1a1. . . wrar o`u les wi sont des cycles `a supports deux
`a deux disjoints et o`u en notant ℓi la longueur du cycle wi, ai = (ai,1, . . . , ai,ℓi) est un
´el´ement de Zℓi
2 associ´e `a ce cycle. S’il existe 1 6 i 6 r tel que αi = −1, o`u αi = (−1)
ℓi
P
j=1
ai,j
, alors wiai est dans le centralisateur de w et wiai ∈ Wn\ Wn0. Sinon, quitte `a conjuguer w
dans Wn, on peut supposer que w ∈ Sn et le lemme pr´ec´edent permet de conclure.
D’autre part, l’application d´efinie ci-dessous va nous permettre d’identifier les classes de conjugaison de Wn\ Wn0 et les classes de F ε-conjugaison de Wn0 :
D´efinition 2.2. — Soit λn : Wn → Wn0 l’application telle que pour w ∈ Wn, on a
λn(w) = w si w ∈ Wn0, et λn(w) = wσn sinon, o`u l’´el´ement σn d´efini pr´ec´edemment est
vu comme l’´el´ement du groupe de Weyl Wn correspondant `a l’involution (nn′).
Dans la suite, on notera λ pour λn.
Lemme 2.6. — Soient w1, w2 ∈ Wn\ Wn0.
(i) Le (F ε)-centralisateur de λ(w1) dans Wn (resp. Wn0) est ´egal au centralisateur de
w1 dans Wn (resp. Wn0).
(ii) Les conditions suivantes sont ´equivalentes : 1) λ(w1) et λ(w2) sont (F ε)-conjugu´es (dans Wn0)
2) w1 et w2 sont conjugu´es dans Wn0
3) w1 et w2 sont conjugu´es dans Wn.
D´emonstration. — Le point (i) et l’´equivalence entre 1) et 2) pour le point (ii) r´esultent simplement du fait que pour w ∈ Wn, w−1λ(w1)F εw = w−1w1wσn. De plus, comme pour
w ∈ Wn\ Wn0, la classe de conjugaison de w sous Wn est ´egale `a la classe de conjugaison
de w sous W0
n, on en d´eduit le r´esultat.
On peut traduire le r´esultat ci-dessus en termes de normalisateurs de tores de GSO2n.
Pr´ecis´ement, si w ∈ Wn, on d´esignera par Tλ(w) un tore de (GSO2n, F φ(w)) de type λ(w)
par rapport au tore diagonal. Le r´esultat suivant permet de comparer NGSOF φ(w)
2n (Tλ(w)) et
NGOF φ(w)
2n (Tλ(w)) :
Proposition 2.2. — Les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) NGSOF φ(w)
2n (Tλ(w)) est d’indice 2 dans NGO F φ(w)
2n (Tλ(w)),
(ii) CW0
n,F(w) est d’indice 2 dans CWn,F(w),
(iii) ou bien φ(w) = 1 et ClWn,F(w) = ClWn0,F(w), ou bien φ(w) = −1, auquel cas on
a aussi ClWn,F(w) = ClWn0,F(w).
D´emonstration. — D’apr`es le lemme 1.2, la condition du point (i) ci-dessus est ´equivalente `a dire que le (F φ(w))-centralisateur de λ(w) dans W0
n est d’indice 2 dans le (F φ(w))-
centralisateur de λ(w) dans Wn, donc si φ(w) = 1 ou d’apr`es le lemme pr´ec´edent si
φ(w) = −1 on obtient l’´equivalence entre les points (i) et (ii), et l’´equivalence avec le point (iii) est imm´ediate puisque
|ClWn,F(w)| × |CWn,F(w)| = |Wn| = 2|ClWn0,F(w)| × |CWn0,F(w)|.