Approches locale et non locale en plasticité cristalline
4.2 Grandes transformations
Cette partie constitue un rappel de la théorie des grandes transformations. Le modèles que nous utiliserons, comme ceux que nous décrirons à titre d’exemple, étant écrits selon ce forma-lisme, cette partie permettra de figer les notations utilisées dans la suite de ce mémoire et rendra ainsi plus claire la description des différents modèles.
4.2.1 Cin´ematique des milieux continus
Considérons un élément de volume V0 à l’instant t0 dans la configuration initiale C0 (aussi nommée configuration non déformée) qui devient à l’instant t, après transformation, l’élément de volume V dans la configuration actuelle Ct(aussi appelée configuration déformée). Soient
~
x0 et ~x les vecteurs position d’un point matériel M, respectivement dans les configurations C0 et Ct. Les vecteurs position ~x, vitesse ˙~x et accélération ¨~x à l’instant t sont alors définis par les relations suivantes : ~x = ~x( ~x0, t), ˙~x = ∂~x( ~x0,t) ∂t , ¨ ~x = ∂2~x( ~x0,t) ∂t2 . (4.7)
Si l’élément de volume V a subi une transformation finie entre l’instant t0et l’instant t, alors les tenseurs du gradient de cette transformation F et du gradient de la vitesse de cette transforma-tion L s’écrivent à l’instant t :
F (~x, t) = ∂~x( ~x0,t) ∂ ~x0 , L(~x, t) = ∂ ˙~x( ~x0,t) ∂~x( ~x0,t). (4.8)
Notons que le déterminant J de F définit le rapport entre la masse volumique, ρ, de l’élément de volume V et celle, ρ0, de l’élément de volume V0 :
J = det(F ) = ρ ρ0
. (4.9)
En combinant les équations (4.7) et (4.8), le tenseur du gradient de la vitesse de transformation peut se décomposer de la manière suivante :
L(~x, t) = ∂ ˙~x( ~x0, t) ~ x0 · ∂~x( ~∂ ~xx0 0, t) = ∂ ∂t ∂~x( ~x0, t) ~ x0 · ∂~x( ~∂ ~xx0, t) 0 −1 =F · F˙ −1, (4.10)
où F˙ est la dérivée partielle temporelle du tenseur du gradient de la transformation F . Le tenseur L peut également se décomposer en partie symétrique et antisymétrique. Ces parties définissent respectivement le tenseur du gradient de la vitesse de déformation D et celui du gradient de la vitesse de rotation W :
L = D + W , (4.11) avec : D = 12(L + LT), W = 12(L − LT) (4.12) 4.2.2 Statique
Appelons d ~f l’effort s’exerçant sur un élément de surface ds de normale ~r repérée dans la configuration actuelle Ct. Le tenseur des contraintes de Cauchy σ est défini de telle sorte que :
σ · ~r = d ~f
ds. (4.13)
Cette définition des contraintes est une définition eulérienne, puisque définie entièrement dans la configuration actuelle Ct. Cet effort peut être associé à un effort fictif d ~f0défini dans la confi-guration initiale C0 où la normale à l’élément de surface ds0 est ~r0. L’équation (4.13) s’écrit alors :
Π · ~r0 = d ~f0
ds0, (4.14)
où Π est le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff. Cette définition est une définition lagran-gienne, puisque définie entièrement dans la configuration initiale C0. Le vecteur ~r0ds0 dans C0
~rds = J F−T · ~r0, (4.15) ces deux tenseurs de contraintes sont liés par la relation la suivante :
Π = J F−1· σ · F−T. (4.16)
4.2.3 Equations d’´´ equilibre
Soit un solide occupant un domaine V de frontière Σ, les équations locales d’équilibre en un point repéré par le vecteur ~x sont :
( ~divσ + ρ ~f = ρ¨~x,
σ = σT. (4.17)
Au contour Σ sont imposées les conditions aux limites :
(
˙~x = ˙~xisur Σ˙~x,
σ · ~n = ~tisur Σσ, (4.18)
où ˙~xiet ~tisont les champs de vitesse et de tension imposés au contour Σ.
4.2.4 Cin´ematique en grandes transformations du monocristal
Le formalisme le plus utilisé actuellement se base sur la décomposition de Lee (1969) du tenseur du gradient de la transformation F . Cette décomposition fait apparaître une partie élas-tique Feet une partie plastique Fp:
F = Fe· Fp. (4.19)
La figure 4.2 donne une représentation de cette décomposition pour un monocristal. La configuration C0 se caractérise par un cristal occupant le volume V0 à l’instant t0. Ce dernier est libre de toutes forces surfaciques ou volumiques. En effet, les contraintes engendrées par l’histoire thermomécanique du matériau ne sont pas prises en compte. En toute rigueur, il serait nécessaire pour intégrer les transformations thermomécaniques antérieures au chargement de faire intervenir une configuration supplémentaire comme l’ont proposé Teodosiu et al. (1993). Nous nous en affranchirons en considérant le matériau sans contrainte résiduelle.
Le passage de la configuration initiale C0à la configuration actuelle Ctse fait via une confi-guration intermédiaire nommée conficonfi-guration isocline C∗. Cette configuration se déduit de la configuration initiale par l’intermédiaire de la transformation plastique Fp, représentant le glis-sement plastique entre plans cristallins. Cette configuration se déduit également de la confi-guration actuelle par l’intermédiaire de la transformation élastique Fe−1
, correspondant aux dilatations élastiques et aux rotations de réseau. Le passage de la configuration initiale à la configuration actuelle se fait par la composition de la transformation plastique Fpet de la trans-formation élastique Fe.
Figure 4.2 – Repr´esentation du principe de d´ecomposition du tenseur F en partie ´elastique Fe
et plastique Fp.
Avec cette décomposition, le tenseur du gradient de la vitesse de transformation L s’ex-prime :
L =F · F˙ −1=F˙e· Fe−1
+ Fe·F˙p· Fp−1
· Fe−1
. (4.20)
L correspond à la somme d’une composante élastique Le et d’une composante plastique Lp ∗
définie dans la configuration isocline C∗et transposée dans la configuration actuelle Ct:
L = Le+ Lp = Le+ Fe· Lp∗· Fe−1
. (4.21)
Soient ~ms ∗ et ~ns
∗ les vecteurs unitaires définissant respectivement la direction de glissement et la normale au plan de glissement associées à chaque système s dans la configuration C∗ (ils correspondent aux vecteurs ~ms
0 et ~ns
0, ces derniers étant invariants lors d’une transformation Fp). Lp
∗peut s’exprimer en fonction du taux de glissement γsassocié à chaque système s : Lp∗ =X s ˙ γsLs ∗, avec Ls ∗ = ~ms ∗⊗ ~ns ∗, (4.22) où Ls
∗ est le tenseur de Schmid du système de glissement s dans la configuration C∗. De la même manière que L, les tenseurs du gradient de la vitesse de déformation D et du gradient de la vitesse de rotation W peuvent eux aussi être décomposés en parties élastique et plastique :
(
D = De+ Dp,
W = We+ Wp. (4.23)
Leur partie plastique peut aussi d’exprimer en fonction du taux de glissement γs associé à chaque système de glissement s :
D∗p=P sγ˙sDs ∗, avec Ds ∗= ~ms ∗⊗Sn~s ∗, W∗p =P sγ˙sWs ∗, avec Ws ∗ = ~ms ∗⊗An~s ∗, (4.24)
où Ds ∗ et Ws
∗ représentent respectivement la partie symétrique et antisymétrique du tenseur de Schmid associé au système s dans la configuration C∗. Dp
∗et Wp
∗ s’expriment dans la configura-tion actuelle Ctde la manière suivante :
( Dp =P sγ˙sDs, avec Ds= ~ms⊗Sn~s, Wp =P sγ˙sWs, avec Ws= ~ms⊗An~s, (4.25) et : ~ ms = Fe· ~ms ∗, ~ ns= Fe−1 · ~ns ∗. (4.26)
Ds et Ws représentent respectivement la partie symétrique et antisymétrique du tenseur de Schmid associé au système s dans la configuration Ct.
4.2.5 Loi de comportement et pr´evision de la rotation
Dans la plupart des modèles, les lois de comportement relient la dérivée temporelle des contraintes à celles des déformations. En grandes transformations, c’est le formalisme précé-demment décrit qui est utilisé pour écrire et implémenté ces lois. Dans le but de simplifier ce travail, certaines hypothèses peuvent être posées. Cette partie reprend les formulations et les hypothèses émises par Peirce et al. (1983), Tabourot (1992) et Teodosiu et al. (1993). Ces der-nières seront décrites, d’une part, à titre d’exemple et, d’autre part, parce qu’elles sont celles sur lesquelles nous nous sommes appuyés, les modèles utilisés dans le cadre de nos travaux étant basés sur ceux de ces auteurs.
Les hypothèses émises sont celles de petites déformations élastiques et de grandes rotations du réseau cristallin.
Le tenseur de déformation de Green Lagrange E s’exprime de la manière suivante :
E = 1
2(F· FT − I). (4.27)
Ce tenseur est lagrangien, puisque étant uniquement défini dans la configuration C0. Le com-portement élastique du matériau peut être décrit par la loi hyperélastique générale suivante :
Π = ∂W(E)
∂E . (4.28)
Rappelons que Π est le tenseur des contraintes de Piola Kirchhoff associé à la configuration initiale C0. W est un potentiel d’énergie élastique également défini dans C0. À l’aide de la dé-composition de Lee (1969), cette expression reste valable pour la transformation élastique reliant C∗à Ct:
Π∗= ∂W(Ee)
où Π∗est le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff transporté dans la configuration isocline C∗ et W(Ee)la densité d’énergie par unité de volume non déformé. Π∗ peut d’ailleurs être lié au tenseur des contraintes de Cauchy σ par la relation suivante :
Π∗= det(Fe) Fe−1
· σ · Fe−T
. (4.30)
Il résulte de la combinaison de ces deux dernières équations ((4.29) et (4.30)) :
σ = det(Fe)−1Fe·∂W(E
e)
∂Ee · FeT. (4.31)
Nous nous plaçons maintenant dans l’hypothèse des petites déformations élastiques et des grandes rotations du réseau cristallin. La décomposition polaire du tenseur du gradient de la transformation élastique Fes’écrit :
Fe= Ve· Re, (4.32)
où Ve et Re représentent respectivement une dilatation et une rotation du réseau cristallin. L’hypothèse des petites déformations permet d’exprimer Vede la manière suivante :
Ve = I + ǫe, avec ǫe<< 1. (4.33) Cette forme particulière de Ve permet de simplifier la loi de comportement qui lie la dérivée de Jaumann du tenseur des contraintes de Cauchy σ au tenseur du gradient de la vitesse de déformation élastique De:
ˆ
σ = Ke: De. (4.34)
En utilisant la dérivée de Jaumann, il nous est également possible d’écrire : ˆ
σ = ˙σ − We· σ + σ · We, (4.35) où We est le gradient de la vitesse de rotation élastique entre la configuration isocline C∗et la configuration actuelle Ct.
Dans le cas général, le tenseur Keest symétrique et peut être défini par rapport à la densité d’énergie par unité de volume non déformé W(Ee):
Ke = det(Fe)−1Fe· Fe·∂W(Ee) ∂Ee · FeT
!
· FeT. (4.36)
L’équation (4.33) permet de simplifier l’équation (4.36) en réalisant un développement Taylor. Lorsque ǫ tend vers zéro, Peirce et al. (1983) et Teodosiu et al. (1993) ont montré que :
Ke= Ceavec Cijkle = RipRjqRkmRlnC∗eijkl, (4.37) où Ce
ˇ
σ = Ce : De, (4.38)
l’équation (4.35) s’écrit :
˙σ = Ce: De+ We· σ − σ · We. (4.39) Les équations (4.23) et (4.25) permettent d’exprimer ˙σ sous la forme suivante :
˙σ = Ce : D + W · σ − σ · W −X s ˙ γsRs, (4.40) avec : Rs= Ce: Ds+ Ws· σ − σ · Ws. (4.41) Le tenseur des contraintes de Kirchhoff τ associé à la configuration actuelle Ctest lié au tenseur de Cauchy σ par la relation suivante :
τ = det(F )σ. (4.42)
L’hypothèse émise, à savoir celle des petites déformations élastiques (det(F ) ≈ det(Fp) = 1), permet la réécriture des équations (4.40) et (4.41) comme suit :
˙τ = Ce: D + W · τ − τ · W −X s ˙ γsRs, (4.43) avec : Rs= Ce: Ds+ Ws· τ − τ · Ws, (4.44) car : τ ≈ σ. (4.45)
Cette même hypothèse permet aussi d’accéder à l’évolution des rotations du réseau cristallin :
˙ Re= Re· W −X s ˙ γsWs ! . (4.46)