Gradient de gravité et résolution spatiale du champ

Une autre qualité importante liée à la mesure des gradients de gravité est la plus grande sensibilité aux courtes longueurs d’onde du champ, comparativement à la mesure de la gravité. La mesure des gradients de gravité peut en effet être vue comme le résultat d’un filtre dérivateur dont l’effet est d’amplifier les hautes fréquences du signal gravitationnel. Cette propriété est également mise à profit pour la prospection géophysique où les dimensions des structures que l’on cherche à identifier varient entre la centaine de mètres et plusieurs kilomètres. Dans le cadre de ce travail, où on se focalise sur l’obtention d’une meilleure résolution spatiale sur le champ de gravité, c’est plus particulièrement cette propriété d’amplification des courtes longueurs d’ondes qui sera mise en avant. On se propose donc d’illustrer et de quantifier de deux manières différentes la plus grande sensibilité aux courtes longueurs d’onde du champ par rapport à la mesure plus classique de la gravité. La première manière d’illustrer ce point est de comparer la résolution théorique du champ accessible par la mesure des gradients par rapport à la mesure de la gravité. Pour cela on s’inspire de la méthode développée par Hwanget.al.(2007)[2] qui permet de dériver de manière théorique et indépendamment des caractéristiques des instruments de mesure la résolution accessible en fonction de l’altitude, pour ces observables. Cette méthode s’appuyant sur un modèle de potentiel perturbateur globale noté D (pour plus de détails sur cette notion, voir la section A.1.4 de l’annexe I), les conclusions qui en résultent ne sont valables qu’en moyenne. Toutefois elles permettent de donner une première idée de la résolution du champ atteignable par la détermination de l’observable gradients de gravité par rapport à l’observable gravité. Le principe de la méthode ainsi que le modèle de champ utilisés pour déduire la résolution théorique dans le cas de la détermination des observablesDzz=∂_zzD et deDz=∂_zDsont détaillés dans l’annexe III. Ici z correspond à la direction de la verticale ellipsoïdaleZE NU (voir Figure 1.11) etDzpeut en première approximation être interprétée comme l’anomalie de gravité et Dzz comme l’anomalie de gradient de gravité vertical.

Les résultats de l’application de cette technique sont exposés dans la Figure 1.5, où la résolution théorique est tracée en fonction de la hauteur de mesure pour la détermination de l’anomalie de gravité en bleu et l’anomalie de gradient de gravité vertical en rouge.

On voit ici que la résolution minimale sur le champ de gravité à une altitude donnée est

FIGURE1.5 – Résolution sur le champ de gravité théoriquement atteignable pour un relevé aéroporté, en fonction de l’altitude. En bleu la résolution maximale atteinte grâce à la détermination deDz, en rouge celle atteinte grâce à la détermination deDzz

meilleure lorsque c’est l’anomalie de gradient qui est déterminée. On retrouve également que la résolution spatiale minimale augmente dans les 2 cas avec l’altitude, comme on pouvait s’y attendre. Cependant elle augmente plus vite dans le cas de la détermination de l’anomalie de gravité que dans le cas de l’anomalie de gradient vertical. Ainsi pour des altitudes comprises entre 0,5 et 10km on peut établir une relation linéaire empirique entre la résolution minimale théorique²et la hauteur h de réalisation des mesures : pour l’anomalie de gravité on trouve²∝0.245het pour l’anomalie de gradient²∝0.185h. Ces résultats restent toutefois purement théoriques et sont susceptibles d’être dégradés par les post-traitements et par l’erreur présente sur les mesures. En outre ils dépendent fortement du contenu spectral du champ, qui peut être à l’échelle régionale très différent de celui calculé à l’échelle globale.

La seconde manière de mettre en évidence et quantifier cette amplification des hautes fréquences du champ est de comparer la part de l’énergie du signal associée aux courtes longueurs d’onde, dans le cas de la détermination deD_zzet deD_z. Pour ce faire, on utilise le modèle de champ de gravité global développé en harmoniques sphériques et le forma-lisme introduits tout deux dans l’annexe III. A partir de ce modèle on dérive le spectre en degré-variancep²_z(n) (resp.p²_zz(n)) deDz (resp. de l’anomalie enDzz). On peut dès lors calculer le rapportρ(N)=P_+∞

n=Np²_z(n)/P_+∞

n=2p²_z(n) (resp.ρ(N)=P_+∞

n=Np²_zz(n)/P_+∞

n=2p²_zz(n)) entre l’énergie du signal associé aux harmoniques de degré supérieur à N et l’énergie totale du signal. Ce rapport dépend par ailleurs de la hauteur à laquelle il est évalué : le facteur de propagation verticale présent dans le développement en harmoniques sphériques du champ montre en effet que plus le degré est grand plus l’amplitude du signal qui lui est

associé diminue rapidement avec l’altitude. Enfin, on rappelle que le degré N d’une har-monique est directement associé à une résolution spatiale²selon la relation²=20000/N km. On évalue donc le rapportρ(N) pour différentes valeurs de N associées aux longueurs d’ondes 100, 50, 10 et 5km pour les observablesDzetDzz. Les résultats sont donnés dans le tableau 1.2 pour une évaluation à une hauteur de 1km et dans le tableau 1.3 pour une évaluation à 10km de hauteur.

ρ(%) pourDzz ρ(%) pourDz

²≤100km 95 16

²≤50km 85 6

²≤10km 40 0,3

²≤5km 16 0,046

TABLE1.2 – Part en % de l’énergie du signal d’anomalie de gradient de gravité verticalDzz

(resp. du signal d’anomalie de gravitéDz) associée aux longueurs d’onde inférieures à 100, 50, 10 et 5 km, pour un champ de gravité calculé à une hauteur de 1km.

ρ(%) pourVzz ρ(%) pourVz

²≤100km 70 7

²≤50km 35 1,3

²≤10km 0,15 3,5×10⁻⁴

²≤5km 2,4×10⁻⁴ 1,6×10⁻⁷

TABLE1.3 – Part en % de l’énergie du signal d’anomalie de gradient de gravité verticalD_zz (resp. du signal d’anomalie de gravitéDz) associée aux longueurs d’onde inférieures à 100, 50, 10 et 5 km, pour un champ de gravité calculé à une hauteur de 10km.

On peut constater à travers ces deux tableaux qu’à altitude donnée, l’énergie du signal associé aux variations du champ de gravité inférieures à 100km est toujours plus grande dans le cas de l’observation deDzzque deDz, comme on pouvait s’y attendre. Ainsi, les structures du champ inférieures à 10km représentent en moyenne 40% du signal lorsqu’on observeD_zz, contre seulement 0,3% lorsqu’on observeD_z. En outre, il existe une relation linéaire liant la longueur d’onde d’une ondulation du champ de gravité à la profondeur maximale de la source qui pourrait en être la cause [49]. Par cette relation on trouve par exemple que pour un champ de gravité évalué à 1km de hauteur, 84,7% du signalDzzest causé par des sources se situant au plus à une profondeur de 50km. Comparativement, c’est moins de 15% du signalDzqui correspond à cette couche. Encore une fois, ces résultats se basent sur un modèle de champ global et sont donc vérifiés en moyenne à travers le globe.

Ils donnent toutefois une première indication sur les caractéristiques de ce que l’on peut déterminer avec ces deux observables lors d’un relevé aéroporté.