Force électrostatique dans le cas unidimensionnel

2.2.1.2.1 Contrôle par variation d’entrefer Dans cette configuration, les deux faces op-posées de la masse d’épreuve en regard avec les électrodes forment deux condensateurs.

Ces deux condensateurs 1 et 2 de capacité respective C₁ et C₂ sont en fait appariés et forment un pont de capacité. On obtient alors la différence de courant entre les 2 branches en parallèle grâce à un transformateur différentiel. Le signal est ensuite converti en une tension et est amplifié de manière à ce que le détecteur capacitif fournisse une tensionV_det

FIGURE2.4 – Schéma de la boucle d’asservissement en position de la masse d’épreuve d’un accéléromètre électrostatique.

proportionnelle à la différence de capacité entre les 2 électrodes appariées :

V_det=K_det(C1−C2) (2.5)

oùKdet est le facteur de sensibilité du détecteur capacitif.

FIGURE2.5 – Représentation simplifiée de la configuration de l’accéléromètre avec variation d’entrefer. A l’équilibre (figure de gauche), la masse d’épreuve centrée enOm est située entre et à égale distancee_eqdes 2 électrodes. Les 2 condensateursC₁etC₂sont figurés en vert et violet. A droite, un petit déplacement z de la masse d’épreuve le long de l’axe Z fait varier l’entrefer des 2 côtés.

En négligeant les effets de bord et les variations de surface de recouvrement, la capacitéCi

du condensateuricréée par une électrode et la masse d’épreuve a pour expression : Ci =²₀S

e_i (2.6)

avec²₀la permittivité du vide, S la surface constante de vis-à-vis de l’électrode en regard avec la masse d’épreuve etei la distance entre ces deux surfaces. A l’équilibre on a donc :

C₁=C₂=²₀S

e_eq (2.7)

et le détecteur capacitif délivre un signal nul. Si la masse d’épreuve est déplacée d’une quantité z dans la direction correspondant à la paire d’électrodes, on obtient alors :

C1= ²₀S

eeq+z (2.8)

C₂= ²₀S

eeq−z (2.9)

Pour des petits déplacements (z¿eeq) on obtient par un développement limité au premier ordre en z l’expression de la tension de sortie du détecteur capacitif :

V_det=K_det

On a ici la relation linéaire liant la sortie du détecteur au déplacement de la masse d’épreuve par rapport à la position d’équilibre. Utiliser la tensionV_det dans la boucle d’asservisse-ment en position requiert de connaître le facteur de proportionnalité qui est fonction des caractéristiques du détecteur et de la géométrie de l’accéléromètre.

Cette tension est ensuite amplifiée et traitée dans la boucle d’asservissement. Celle-ci fournit la tension à appliquer en retour sur les électrodes afin de produire une force électrique sur la masse d’épreuve permettant de la ramener à sa position d’équilibre verticale. Dans le cas des accéléromètres de GREMLIT, les électrodes de l’axe vertical servent aussi à maintenir la masse d’épreuve en lévitation et donc à compenser le champ de gravité. De ce fait les électrodes inférieures et supérieures ne jouent pas le même rôle. Considérons à nouveaux les deux condensateursC1etC2. La masse d’épreuve est polarisée à un potentielVm par l’intermédiaire du fil d’or. L’électrode du haut (du condensateurC₂) est polarisée à un potentielV_etandis que l’électrode deC₁, en bas, est polarisée au même potentielV_mque la

masse d’épreuve afin de ne pas exercer de force d’attraction sur elle (voir figure 2.6). Dans ces conditions, l’énergie potentielle électriqueE_p de ce système est :

E_p=1

2C₂(V_m−V_e)²=1

2C₂(V_m−V_g−δV_e)² (2.12)

L’énergie potentielle se situe donc seulement dans le condensateurC₂. Par conséquent, seule la force électrique qui en dérive et exercée par l’électrode du haut permet de compen-ser le poids de la masse d’épreuve et de la maintenir en lévitation. Il est donc pertinent de décomposer le potentielVe=Vg+δVe oùVg et le potentiel fixe correspondant à la force électrique compensant le poids de la masse d’épreuve etδVe¿Vg le potentiel réglable d’ajustement en position de cette dernière.

FIGURE2.6 – Contrôle en position unidimensionnelle de la masse d’épreuve par variation d’entrefer.

Le travail élémentaire de la force électrique pour un petit déplacement dl~ de la masse d’épreuve est défini par :

δWF_el =−→F_eldl~ = −dEp (2.13)

La force électrique dérive de cette énergie potentielle de sorte que l’on a :

−→F_el = −~∇Ep (2.14)

Dans notre cas unidimensionnel, l’application de cette formule donne :

De nouveau, on fait un développement limité au premier ordre en z et on obtient : Fel =1

En négligeant les termes d’ordre supérieur à 2, le développement de la formule précédente donne :

où le terme (1) correspond à la force de réglage en position vertical de la masse et dépendant linéairement deδV_e et le terme (2) correspond à la force électrique à appliquer pour le maintien en lévitation. L’accélération notée a associée à cette force se déduit alors en divisant par la massemde la masse d’épreuve :

a=Fel

On voit donc que pour de petits déplacements (z¿eeq) selon l’axe Z et autour du point de fonctionnement, l’accélération est proportionnelle à la tensionδV_eappliquée aux élec-trodes. On déduit donc l’accélération à partir deδV_eà condition de bien connaître le facteur de sensibilité du système. Il existe toutefois un second terme perturbateur dit de raideur électrostatique. Ce terme introduit un biais et des non-linéarités quadratiques lorsque la masse n’est pas asservie au point d’équilibre. En se limitant à des déplacements de très faible amplitude, ce terme est minimisé de manière à le rendre négligeable devant le terme enδVe. Dans le cas de la mission GOCE, les 6 accéléromètres électrostatiques du gradiomètre fonc-tionnent selon ce principe, à savoir la mesure de l’accélération par variation d’entrefer sur chacun des axes. Toutefois et contrairement à GREMLIT, les masses d’épreuve dans GOCE

sont en chute libre, tout comme le satellite. Dès lors, aucun ensemble d’électrodes n’est spécifiquement utilisé pour les maintenir en lévitation. Les paires d’électrodes opposées jouent donc des rôles identiques et sont soumises à des potentiels électriques strictement opposés. De ce fait l’équation liant l’accélération selon un axe au potentiel d’électrode Veet au déplacement z est légèrement différente de 2.19. Elle fait cependant également apparaître un terme de sensibilité et un terme de raideur, qui montre que la mesure n’est pas parfaitement linéaire sur les accéléromètres de GOCE.

2.2.1.2.2 Contrôle par variation de surface de recouvrement Pour la mesure du dépla-cement horizontal de la masse d’épreuve et son contrôle en position, une autre méthode est mise en œuvre. Cette fois-ci ce n’est plus l’entrefer des condensateurs que l’on fait varier mais la surface de recouvrement. Cette technique présente notamment l’avantage d’être beaucoup plus linéaire que la précédente. Considérons la configuration simplifiée de la figure 2.7 où la masse d’épreuve polarisée àV_mrecouvre partiellement les deux électrodes horizontales polarisées à+V_eet−V e. Pour simplifier la modélisation, on supposera l’en-trefer parfaitement constant et comme dans la section précédente on néglige les effets de bord et la permittivité relative de l’entrefer. L’interaction électrique entre l’électrode du haut et la masse d’épreuve crée un condensateurC1, celle avec l’électrode du bas crée un condensateurC₂. Par une démarche analogue à la précédente, on trouve :

FIGURE2.7 – A gauche : configuration à l’équilibre de la masse d’épreuve recouvrant d’une même longueur l l’électrode du haut et celle du bas. A droite, configuration dans le cas d’un déplacement x selon l’axe X. L’entrefereeqséparant verticalement les électrodes de la masse d’épreuve est supposé constant.

C1=²₀L(l+x)

e_eq (2.20)

C2=²₀L(l−x)

eeq (2.21)

On a alors directement et sans approximation pour le détecteur capacitif : V_det=K_det

La tension de sortie du détecteur capacitif est donc parfaitement proportionnelle au dé-placement x. Pour déterminer l’expression du potentiel à appliquer aux électrodes afin de créer la force électrique ramenant la masse à sa position d’équilibre, on procède comme précédemment. On a :

soit en notantal’accélération selon l’axe x :

a=Gr.Ve (2.27)

avec

Gr =2²0LVm

me_eq (2.28)

le facteur de sensibilité. Dans le cas d’un contrôle par variation de recouvrement il n’y a pas de terme de raideur contrairement au cas de la variation d’entrefer. On a de plus une parfaite linéarité entre le potentiel de contrôleV_eappliqué aux électrodes et l’accélération ressentie au centre de masse. Cette linéarité facilite le contrôle de la masse d’épreuve et améliore la qualité de la mesure, comparativement au cas du contrôle par variation d’entrefer exposé précédemment.