Etudions tout d’abord un modèle rhéologique représentatif du comportement d'une poutre en béton armé dont la liaison acier-béton est susceptible de glisser périodiquement.
Construction du modèle rhéologique
Considérons un système de quatre ressorts (deux pour représenter l’acier et deux pour le béton) de part et d’autre de la liaison acier-béton. Le glissement acier-béton est modélisé ici à l’aide d’un patin entre les ressorts représentant l’acier et ceux représentant le béton, introduisant ainsi une déformation résiduelle (voir Figure II-2). La liaison reste cependant parfaite aux bords du modèle rhéologique étudié. De cette manière est représentée la décohésion entre l’acier et le béton au niveau de la barre de renforcement, annulée au niveau des cadres de renforcements et rendue périodique par la périodicité de ces cadres. Cette décohésion n’est activée qu’à partir d’un seuil exprimé en contraintes grâce à la contrainte microscopique de glissement associée à la déformation résiduelle microscopique . Notons par les raideurs des deux ressorts représentatifs du comportement du béton et par celles des ressorts d’acier. Les variables microscopiques de déformations et de contraintes dans les ressorts de béton et d'acier sont notées respectivement par et . Enfin, notons les variables macroscopiques contraintes et déformations, respectivement et , et les variables macroscopiques contraintes et déformations de glissement, respectivement et .
Remarque 15 : e odèle ne co portant qu’une dé or ation résiduelle de lisse ent microscopique , les variables contraintes et déformations de glissement macroscopiques sont identiques à leurs homologues microscopiques.
Nous cherchons à obtenir une loi macroscopique unidimensionnelle à partir du modèle rhéologique microscopique suivant, hyperstatique de degré 2 et ne comprenant que du glissement :
Figure II-2 : Modèle rhéologique à glissement seul
acier
béton
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Les équations locales d’équilibre, de cinématique et de comportement associées à ce modèle rhéologique sont les suivantes :Cinématique et liaisons : ; Comportement : ; ; Equilibre : Seuil : Evolution : loi de normalité
avec Loi de comportement et seuil macroscopiques
La loi de comportement macroscopique reliant les variables macroscopiques entre elles s’obtient en résolvant les équations locales énoncées ci-dessus. Sachant que
et , nous obtenons, après calculs :
( II-1 ) ( II-2 )
Nous noterons désormais la loi de comportement macroscopique ( II-1 ) et ( II-2 ) sous la forme suivante :
( II-3 )
( II-4 )
Le seuil macroscopique ne dépendant que des variables macroscopiques est obtenu grâce à l’équation ( II-4 ), soit :
( II-5 )
avec
.
Remarque 16 : Compte tenu du fait que la déformation de glissement est choisie positive lorsque est positive, il est nécessaire d’assurer la positivité de pour rester dans une description physique des phénomènes à modéliser. Ainsi vient la condition suivante : .
Remarque 17 : Dans le cas particulier où et , le facteur B est nul et le seuil de glissement n’est ja ais atteint.
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Cadre thermodynamiqueNous nous proposons dans ce paragraphe de montrer que le modèle rhéologique construit précédemment s’inscrit bien dans le cadre thermodynamique des Matériaux Standard Généralisés (Halphen & Nguyen 1975).
Introduisons la densité d’énergie libre suivante :
é énergie libre :
Alors, la loi de comportement s’obtient par dérivation sous la forme :
Contraintes :
Contraintes de glissement :
Le comportement dissipatif macroscopique s’écrit, quant à lui, comme suit : Seuil : Evolution (loi de normalité) :
dissipée :
Remarque 18 : Il est intéressant de noter que la densité d’éner ie libre peut s’écrire sous la or e suivante : .
Remarque 19 : Notons . est alors directement lié au déterminant de la matrice ci-dessus et donc à la convexité de .
Opérateur de localisation
Les opérateurs de localisation reliant les variables microscopiques aux variables macroscopiques sont donnés par les expressions suivantes :
Paramètres du modèle
Les paramètres du modèle ainsi construit sont les rigidités des ressorts représentant le béton et l’acier respectivement et , avec et la contrainte seuil de glissement . Cette contrainte correspond à la contrainte partir de laquelle apparaît un glissement relatif entre l’acier et le béton. La valeur de ce seuil est déterminée à l’aide de résultats expérimentaux ou de valeurs usuellement utilisées dans les études pour l’ingénieur.
Réponse caractéristique
Est présentée, sur la Figure II-3, la réponse, en contraintes-déformations, du modèle à glissement seul soumis à une sollicitation alternée traction-compression-traction. Les paramètres utilisés pour cette simulation sont donnés au Tableau II-1. La courbe réponse contraintes-déformations a été obtenue grâce à une intégration du modèle dans Matlab®.
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Figure II-3 : Courbe réponse contraintes-déformations obtenue par le modèle à glissement seul au coursd’un cycle de traction-compression-traction
La courbe réponse présentée en Figure II-3 met en évidence la capacité du modèle à traduire l’apparition de déformation résiduelle après un cycle de chargement ; en revanche, comme attendu, nous remarquons que le modèle ne permet pas de traduire la perte de raideur à la décharge observée expérimentalement.
Remarque 20 : La réponse obtenue est typique d’un odèle plastique avec écrouissa e bien qu’aucun écrouissage explicite ne soit introduit dans la fonction seuil . ’écrouissa e observé est en e et induit par la or ulation d’éner ie libre macroscopique obtenue, qui comprend un terme de stockage d’éner ie de lisse ent induit par l’hyperstaticité interne à l’échelle icroscopique.
Tableau II-1 : Paramètres retenus pour le modèle à glissement seul
10000 10000 40000 500 1
Notation : Du fait du comportement unidimensionnel étudié dans tout ce chapitre, les « déformations » et « contraintes » étudiées sont en réalité linéiques. A ce titre, les déformations ont la di ension d’une lon ueur et les contraintes seront expri ées en