Géométries étudiées

En mode d’acquisition avec les fibres optiques en contact avec l’objet test, celui-ci est un cylindre de diamètre égal au diamètre intérieur du support des fibres, soit 40 mm. Pour tester le mode d’acquisition sans contact, des cylindres de diamètre égal à 28 mm ont été fabriqués. Ils permettent d’avoir un espace vide entre leur surface et les extrémités des fibres sources et détecteurs du système.

Les cylindres simulés ont des propriétés optiques égales à celles des objets tests fabriqués. Les propriétés considérées sont : l’indice de réfraction (n), le coefficient d’absorption (µa), le coefficient de diffusion réduite (µs’). Dans les cas requis, les propriétés de fluorescence simulées seront le produit de la concentration du fluorophore par son rendement quantique de fluorescence (ηC), et le temps de vie de fluorescence (τ).

Ces propriétés peuvent être homogènes sur la totalité du cylindre. En ce cas, le cylindre C pourra servir d’objet de référence de propriétés homogènes. Des inclusions de propriétés optiques différentes peuvent être ajoutées pour modéliser des milieux hétérogènes. Ces objets simulés seront utilisés pour étudier la propagation de la lumière dans des milieux diffusants contenant des hétérogénéités, évaluer les effets de ces hétérogénéités sur les TPSF et leurs moments, comparer les images reconstruites et vraies de ces objets simulés. La figure 5.1 présente les différents objets cylindriques discutés précédemment.

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Figure 5.1: Modèles numériques cylindriques: (a,b) homogènes, (c,d) hétérogènes. Objets de 40 mm, illumination et détection en contact (a,c) ; de 28 mm, détection sans contact (b,d,). 5.1.1.1.1 Maillage

L’étape suivant la construction de la géométrie du modèle est son maillage. Notre choix s’est porté sur un maillage tétraédrique. Chacun des éléments de ce maillage est un tétraèdre ayant quatre sommets, appelés nœuds du maillage. Les tétraèdres ayant trois de leurs nœuds sur la surface du modèle composent les éléments tétraédriques de bord. L’ensemble des éléments triangulaires composés des trois nœuds des éléments tétraédriques de bord représentent les éléments triangulaires de bord ou éléments du maillage de la surface du modèle.

La figure 5.2 illustre les maillages des cylindres homogènes de 40 et de 28 mm ainsi obtenus (a,b). Les dimensions des différents éléments sont peu dispersées, comme représenté par le code de couleur des figures 5.2 (c,d).

5.1.1.1.2 Sources, détecteurs et amélioration du maillage

Dans la résolution du problème direct, la détermination des nœuds du maillage utilisés comme sources et détecteurs est l’étape suivant le maillage de la géométrie. Dans le cas de l’approximation de la diffusion, les nœuds sources sont les sources de lumière isotrope, situés sous les points d’entrée de la lumière et à partir desquels la lumière est supposée avoir perdu son information directionnelle.

Dans l’ensemble de ce chapitre, les positions des fibres optiques utilisées comme source et comme détecteurs sont celles du tomographe optique résolu en temps décrit dans le chapitre précédent. Seize fibres sont montées, tous les 22,5°, sur un support cylindrique. Leurs extrémités sont situées sur un cercle de rayon 20 mm et elles sont alignées selon des directions radiales. Ce choix permet d’obtenir des données simulées et des images reconstruites qui pourront ensuite être comparées aux résultats expérimentaux, et de préparer les protocoles expérimentaux.

(a ) (b) (d) (c) y x z y x z y x z y x z C1 C2 C C2 C1 C

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Figure 5.2 : Maillages des géométries utilisées (a,b), coupe axiale XZ présentant la taille des éléments des maillages (c,d). Illumination et détection en contact (a,c), et sans contact (b,d). Dans la configuration avec contact, les sources correspondent aux nœuds se trouvant à Ls’ = 1/µs’ en dessous des points de contact de la surface du modèle avec les extrémités des fibres (Figure 5.3 (a,c)).

Figure 5.3 : Vue 3D (a,b) et coupe dans le plan des fibres YZ (c,d) montrant les positions des nœuds sources, 1/µs’ à l’intérieur de l’objet (en bleu) et des nœuds détecteurs sur la surface de

l’objet (noir). Configuration en contact (a,c) et sans contact (b,d). y x z y x z (a ) (b) (d) (c) Cône d’illumina tion Cône d’illumina tion (a) _(b) (d) (c) y x z y x z

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En mode sans contact, il s’agit des nœuds se trouvant à 1/µs’ en dessous de la surface irradiée située dans le cône d’illumination de chacune des fibres sources (Figure 5.3 (b,d)).

Le positionnement des points de détection consiste en la détermination des points de sortie de la lumière à la surface du modèle, collectée par les fibres optiques de détection. En contact, ces points sont les nœuds sur la surface en contact avec les extrémités des fibres détectrices (Figure 5.3 (a,c)). Dans le cas de la détection sans contact, ces nœuds correspondent aux nœuds de la surface contenus dans le cône de détection de chaque fibre détectrice (Figure 5.3 (c,d)).

En pratique, le point source théorique ne correspond pas forcement à un nœud du maillage comme le montre la figure 5.4 (a). Dans ce cas, les méthodes classiques calculent son influence sur les sommets du tétraèdre qui le contient par interpolation. La figure 5.3 (a) présente ce cas sur un maillage 2D. Le point source théorique appartient au triangle (n1n2n3). Dans la résolution de l’ED par FEM, l’information est connue uniquement sur les points du maillage. Ainsi, il est nécessaire de calculer l’influence du point source théorique sur les trois nœuds n1, n2 et n3 par interpolation.

Afin de s’affranchir de cette étape d’interpolation, nous avons mis en place une nouvelle méthode permettant de mailler la géométrie utilisée dans la FEM, en tenant compte des positions des sources. Après calcul des positions théoriques des points sources, la méthode employée force le maillage à passer par ces positions. Le maillage ainsi obtenu est présenté en figure 5.4 (b).

Figure 5.4 : Maillage classique et position de la source théorique (a), nouveau maillage ayant un nœud placé sur la position de la source théorique (b).

Similairement aux points source, les nœuds utilisés comme points de détection ne correspondent pas forcement aux nœuds du maillage. Notre méthode permet de la même façon que pour les points source, de fixer les points de détection et forcer le maillage à passer par leurs positions. Le deuxième avantage de la méthode de maillage calculé en fonction des positions des points sources et détecteurs est que les maillages peuvent être affinés autour de ces points. Ces régions sont très influentes sur la qualité de la simulation. En effet, l’affinement du maillage autour des sources permet d’accélérer le temps de convergence de la simulation (premiers pas de temps). L’affinement du maillage autour des détecteurs permet une meilleure estimation de la densité de photons responsables des profils mesurés.

Un autre cas où l’affinement du maillage autour de régions d’intérêt (ROI) est utilisé, est celui de l’utilisation d’informations structurelles à priori. Cette information est obtenue par segmentation d’images anatomiques (IRM, tomographie X) en plusieurs régions. Une fois les régions définies, cette information est utilisée afin de guider la génération du maillage pour augmenter le nombre d’éléments autour des contours. Cette méthode permet d’améliorer la qualité des images reconstruites en TOD ou en TODF [1-3]. Cet affinement du maillage est utilisé autour des inclusions des objets hétérogènes simulés, afin d’améliorer la qualité des données simulées.

ls n1 n2 n3 Point source théorique Point source théorique Point d’entrée de la lumière Point d’entrée de la lumière (a ) (b)

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Figure 5.5 : Maillages affinés autour des sources et détecteurs (a,b), coupe XZ présentant la taille des éléments des maillages (c,d). Configuration en contact (a,c), et sans contact (b,d). La figure 5.5 présente les maillages corrigés obtenus avec les points sources et détecteurs présentés à la figure 5.3, pour les cylindres homogènes de 40 et de 28 mm (a,b). Les dimensions des éléments au voisinage des sources et détecteurs sont réduites, comme représenté par le code de couleur des figures 5.5 (c,d).

Figure 5.6 : Maillages affinés autour des inclusions, des sources et des détecteurs (a,b) et coupes XZ de la taille des éléments du maillage (c,d). Configuration en contact (a,c), et sans contact (b,d).

(a ) (b) (c) (d) y x z y x z (a) (b) (c) (d) y x z y x z

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Les maillages générés sur les géométries hétérogènes présentées dans la figure 5.1, et affinés en utilisant les sources et détecteurs présentés dans la figure 5.4 sont présentés dans la figure 5.6.

Il est établi que la simulation la plus juste est obtenue en utilisant le maillage le plus fin. Cependant, l’augmentation du nombre de nœuds du maillage augmente considérablement le temps de calcul de la simulation. Le meilleur compromis est de définir une zone sensible autour du plan de détection (le plan des fibres) et d’affiner le maillage uniquement dans ce volume (Figure 5.7). Cette zone est déterminée avant l’étape de reconstruction et n’est pas changée au fur et à mesure de la progression du processus d’inversion [4]. La détermination de la largeur de cette zone sera décrite en section 5.2.3.

Figure 5.7 : Coupe XZ des géométries montrant les volumes sensibles autour du plan de détection. Configuration en contact (a,c), et sans contact (b,d).

La figure 5.8 présente les maillages obtenus en tenant compte de ces zones sensibles, ainsi que la taille des éléments des maillages obtenus.

Figure 5.8 : Maillages affinés dans les zones sensibles (a,b,) et coupes XZ de la taille des éléments de maillage (c,d). Configuration en contact (a,c), et sans contact (b,d).

Largeur de la zone sensible

La rgeur de la zone sensible

1/µs’ 1/µ_s’ (a) (b) (a ) (b) (c) (d) y x z y x z

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Les maillages présentés sur la figure 5.8 seront utilisés dans la résolution des équations de diffusion par la méthode des éléments finis (MEF).