La géométrie épipolaire définit la relation géométrique relative entre deux vues. Prenons un système de vision stéréoscopie binoculaire, c’est-à-dire à deux vues représenté à la Figure 3.1. Les deux vues ψ{O, ψI} et ψ′{O′, ψI′′} sont respectivement la vue de
gauche et la vue de droite. Chaque vue a son centre optique noté O pour la vue ψ et O′
pour la vue ψ′, le segment passant par ces deux centres est la ligne de base du système
stéréoscopique. Par convention mathématique, les centres optiques sont placés derrière les plans image alors que dans la réalité ils sont placés devant. Chaque vue à également son plan image ψI pour la vue ψ et ψI′′ pour la vue ψ′.
Fig. 3.1 – Géométrie épipolaire
Soit un point de l’espace projectif P3 noté P appartenant à un plan π. Le point P se
projette à travers la première vue ψ en passant dans le plan projectif P2 selon le rayon
optique [P O] contraint par le centre optique O. De cette projection en découle un point p sur le plan image ψI. Ce même point P est également observé par la vue ψ′. Il se projette
à travers ψ′ selon le rayon optique [P O′] contraint par le centre optique O′. Le point P
se projette donc dans le plan image ψ′
I′ en un point noté p′. Étant donné que le point P suit le rayon optique [P O], il existe un ensemble de points P1, P2, ... qui correspond à la
même projection dans le plan image ψI. Cet ensemble de points Pi se projette également
dans le plan image ψ′
I′ passant ainsi par une ligne qui correspond à la projection du rayon optique [P O]. Cette ligne l′ est appelée ligne épipolaire. Elle représente l’existence de la
dualité point/ligne des deux vues : l’homologue d’un point p de l’image I de la vue ψ se trouve sur une ligne connue dans l’image I′ de la vue ψ′. La réciproque est vraie, le point
p′ a aussi son dual qui se trouve sous forme d’une ligne épipolaire dans I. Chaque point
d’une image subit une transformation par un morphisme projectif, car il y a changement de forme (point/ligne) au moment de la projection. Ce morphisme projectif s’exprime par une matrice appelée matrice fondamentale F de dimension 3 × 3 et de rang 2. Si pour une paire de vues pour laquelle la matrice fondamentale est connue alors on parle de calibrage faible. On peut déterminer chaque ligne épipolaire par cette matrice :
l′ = F p l = FTp′ (3.1)
avec l la ligne épipolaire dans l’image I. Cette relation décrit une contrainte entre le point p et son correspondant p′, car p existe sur l′ et p′ existe sur l, c’est-à-dire que le
plan (p, p′, O, O′) définit les deux lignes épipolaires. Ce plan traduit l’action de la ma-
trice fondamentale qui satisfait une contrainte algébrique coplanaire appelée contrainte épipolaire, et définie par :
p′TF p = 0 (3.2)
Cette contrainte est une équation de forme bilinéaire, c’est-à-dire qu’elle dépend d’un système d’équations linéaires comprenant deux points qui sont p et p′. Maintenant
supposons un objet composé d’un ensemble de points P de l’espace projectif P3, ils
n’appartiennent pas tous au même plan π. Chaque point P projeté dans le plan image ψI trouvera son dual dans un ensemble de lignes épipolaires dans le plan image ψ′I′. Ces lignes provoquées par le faisceau de plans qui coupe le plan image ψ′
I′ se croisent en un même point appelé épipole v′. Cet épipole est le pivot de rotation des différentes con-
traintes épipolaires des faisceaux de plan (p, p′, O, O′). Physiquement, l’épipole représente
la projection du centre optique de O dans le plan image ψ′
I′. Inversement, l’épipole v est la projection du centre optique O′ dans le plan image ψ
I. L’épipole est directement
calculée par une décomposition en valeur singulière de la matrice fondamentale F :
F = U ΣVT (3.3)
avec Σ les valeurs singulières, (u1, u2, u3) les vecteurs colonnes de U et (v1, v2, v3) les
vecteurs colonnes de V . L’épipole v′ correspond au vecteur u
3 et l’épipole v au vecteur
v3. Mathématiquement, les épipoles sont les noyaux de la matrice fondamentale car ils
résolvent les équations :
F v = 0 FTv′= 0 (3.4)
Connaissant la position de p dans I et la géométrie épipolaire, on peut retrouver la position du point p′ dans I′. Deux cas de figure peuvent se présenter en fonction de
l’appartenance ou non des points P de l’espace projectif P3 à un même plan π.
Si chaque point P appartient au plan π, il existe une relation géométrique entre le p de I et le p′ de I′. Par le biais de la transformation entre les deux plans images ψ
I et
ψ′
I′ on peut déterminer la position de p′ à partir de p et vice versa. Cette transforma- tion géométrique est de type projective, et s’exprime par une matrice de transformation projective dans P2 appelée matrice de colinéation G de dimension 3 × 3. Si p et p′ sont
les projections du point P appartenant à π alors :
p′ ∼ Gp (3.5)
où le signe ∼ signifie que l’égalité est définie à un facteur d’échelle λ près. Maintenant dans le cas où chaque point P n’appartient pas au plan π, la projection doit être rectifiée par le parallaxe. Le parallaxe projectif est constitué de l’épipole et du parallaxe relatif. Le parallaxe relatif est la distance de la normale du point P par rapport au plan π, c’est en quelque sorte la profondeur relative par rapport au plan π. Dans ce cas le point p′
p′ ∼ Gp + δv′ (3.6) avec le terme δv′ le parallaxe projectif et δ le parallaxe relatif. Les épipoles sont
des points particuliers dans les plans images, cela dit il n’en reste pas moins des points, c’est-à-dire que les épipoles v et v′ sont aussi reliées par la transformation projective de
la matrice de colinéation G, on a :
v′ ∼ Gv (3.7)
De même il existe aussi une relation entre la matrice fondamentale et la matrice de colinéation faisant intervenir les épipoles. La matrice fondamentale peut s’écrire ainsi :
F ∼ [v′]×G (3.8)
avec l’opérateur matriciel de symétrie croisée [∗]× qui traduit le produit vectoriel
(voir glossaire des notations).
Le calibrage faible doit nous permettre de connaître la géométrie épipolaire du sys- tème, et la matrice fondamentale en est la clé de voûte. Réaliser le calibrage faible d’un système de vision stéréoscopique binoculaire se résume à déterminer la matrice fonda- mentale. Pour cela on utilise un ensemble de points p et p′ pré-établi pour remonter à F .
Parfois la détermination des points avec exactitude s’avère difficile, c’est pourquoi bien souvent on utilise un objet qui fait office de mire pour aider à extraire ces points.