Étalonnage par détection de contour à partir d’un motif carré

L’étalonnage a pour but de déterminer le rapport métrique/pixel, il correspond à l’in- verse de la résolution de la source d’images dans les conditions d’utilisation. Il permet d’ajuster le déplacement de la source d’images afin de mettre bout à bout les images pour avoir une image mosaïque. La première méthode employée ici est fondée sur l’utilisation d’une mire réalisée en microtechnologie. Celle-ci se compose d’un masque perforé de mo- tifs carrés. L’éclairage de la mire est de type diascopique (éclairage par en dessous). Nous allons utiliser les contours de la mire ainsi qu’une analyse robuste des points pour déter- miner en pixels la taille de la mire. La mesure sera effectuée dans une image interpolée pour augmenter la résolution et l’exactitude de la mesure. La première étape consiste à acquérir une image de qualité par la source d’images. Pour cela nous allons utiliser un filtre passe-bas. Ce type de filtrage peut se faire de deux manières, soit de façon spatiale, c’est-à-dire directement sur l’image, soit de façon temporelle avec un ensemble d’images. La méthode temporelle permet de mieux supprimer les bruits provenant du capteur de la caméra. Ce filtre consiste en la fusion de plusieurs images d’une même scène, l’image filtrée peut s’écrire de la façon suivante,

If(u, v) = 1 n n X 1 In(u, v) (4.2)

Avec Inles différentes images prises à des instant différents. L’exemple de la Figure 4.5

représente une image filtrée à partir d’une séquence vidéo de 100 images. Chaque image originale est sévèrement bruitée, dans la réalité les caméras qui équipent les microscopes photoniques sont de meilleure qualité.

Fig. 4.5 – Image d’un pignon et d’un axe de montre : (a) une des images originales de la séquence vidéo, (b) application d’un filtre passe bas temporel avec les 100 images de la séquence vidéo.

Cette approche temporelle est utilisée essentiellement pour obtenir des images sta- tiques, pour des images de scènes mobiles on choisira plutôt le filtrage spatial.

Nous allons maintenant déterminer les arêtes du masque carré. La notion de contour étant reliée à celle de variation, il est évident qu’une telle définition nous amène tout naturellement vers une évaluation de la variation de l’intensité en chaque pixel. Le gra- dient, en un pixel d’une image numérique, est un vecteur caractérisé par son amplitude et sa direction, il se définit comme suit,

−→

∇I = _∂x∂I−→x + ∂I

∂y−→y (4.3)

avec −→_{∇I le vecteur du gradient de l’image I. Généralement dans le traitement de} l’image on utilise seulement le module du gradient pour pouvoir le représenter sous forme d’une image. Il s’écrit :

¯ ¯ ¯−→∇I¯¯¯ = "µ ∂I ∂x ¶2 + µ ∂I ∂y ¶2#1/2 (4.4) Nous allons utiliser seulement l’arête supérieure et l’arête inférieure, par conséquent nous allons utiliser seulement un calcul de variation mono-dimensionnelle discret, c’est- à-dire la variation dans une seule direction dans l’image. Notre image de contour selon l’axe y devient :

∂I

∂x = I(x, y + 1) − I(x, y) (4.5)

Ce qui revient à appliquer un seul masque de convolution pour obtenir les arêtes supérieure et inférieure de la mire. Au final, on obtient les points de contour des deux

arêtes du carré de la mire. Tous les points des arêtes ne sont pas pris en compte à cause de la diffraction et de l’interpolation des coins de la mire qui s’arrondissent. Pour cela on délimite les points des arêtes à la portion linéaire des bords, en même temps cela nous permet de supprimer les erreurs de détermination de contour. La Figure 4.6 montre les trois premières étapes effectuées, l’interpolation suivie de la détection des contours supérieur et inférieur et enfin le filtrage des points des arêtes du carré.

Fig. 4.6 – Premières étapes pour la mesure de la relation métrique/pixel : (a) interpo- lation ×10 de l’image de la mire, (b) détection des points de contour selon l’axe y, (c) limitation des points pour obtenir seulement l’arête supérieure et inférieure.

Maintenant pour chaque ensemble de points nous allons déterminer les droites de régression pour obtenir les équations des droites des arêtes supérieure et inférieure du carré. La méthode la plus connue pour estimer l’équation d’une droite par régression est la méthode des moindres carrés. Pour augmenter la robustesse du procédé de mesure, nous allons utiliser une variante, les moindres carrés médians (P. Rousseeuw 1984). En effet, la méthode des moindres carrés n’est pas robuste aux données erronées. Par ex- emple, la présence d’un seul point aberrant peut faire échouer l’estimation d’une droite (Figure 4.7).

La méthode des moindres carrés médians permet l’ajustement de modèles linéaires même en présence de données aberrantes. Cette méthode est basée sur trois étapes : recherche d’une première estimation fiable, élimination des données aberrantes et esti- mation finale des paramètres du modèle par la méthode des moindres carrés classiques mais en exploitant uniquement les données filtrées. Cette méthode rappelle la méthode de RANSAC utilisé dans le chapitre 3 pour le calibrage. Un certain nombre de p-uplets sont alors tirés au hasard. Pour chacun d’eux, les paramètres du modèle sont estimés. Par exemple avec deux points (xi, yi) et (xj, yj), les paramètres de la droite sont :

aij = _xyj_j−y_−xi_i

bij = yi− aijxi

Fig.4.7 – Comparaison entre une droite de régression par moindre carré (trait pointillé) et par moindre carré médian (trait plein).

Les écarts au modèle pour toutes les données sont alors calculés puis classés par ordre croissant (k ∈ [1, n]),

ek= yk− aijxk− bij (4.7)

En première approximation, nous retiendrons comme paramètres du modèle, ceux obtenus avec le p-uplet conduisant à la valeur médiane du vecteur des écarts la plus faible. Ces paramètres correspondent à une bonne approximation et peuvent être utilisés pour filtrer les données. Si on s’autorise une probabilité d’erreur égale à Q, le nombre de p-uplets aléatoires à tester est donné par le plus petit entier q tel que :

[1 − (1 − ²%)p]q≤ Q (4.8)

Avec ²_%le pourcentage estimé de données aberrantes. Un résultat de statistique, nous fournit une estimation de l’écart type des écarts au modèle à partir de la médiane la plus faible que nous noterons m,

σ = 1, 4826 µ 1 + 5 q − p ¶ √ m (4.9)

Cette estimation de σ est fiable sous l’hypothèse que la distribution des écarts au modèle des données non aberrantes suit une loi normale. Cette estimation peut tolérer jusqu’à 50 % de données aberrantes. L’élimination des données erronées est réalisée en ne conservant que celles pour lesquelles l’écart au modèle est inférieur à 2, 5σ. Ce qui

correspond à retenir 99 % des données dont l’écart au modèle suit une loi normale d’écart-type σ. Maintenant on peut estimer de façon précise le modèle. Cette dernière est simplement obtenue par une minimisation au sens des moindres carrés à partir des données filtrées. On applique les moindres carrés médians aux deux ensembles de points obtenus sur l’arête supérieure et inférieure de la forme carré de la mire. On obtient les deux droites de régression qui détermine avec précision et robustesse les arêtes de la mire carré. La mire est placée de façon grossière dans la scène, cela signifie que l’on n’a pas contrôlé l’orientation de la mire, il faut par conséquent en tenir compte dans la détermination de la largeur de la mire. On calcule le centre d’une des droites en tenant compte de son inclinaison par rapport à l’axe horizontal. A partir de ce centre on détermine la droite perpendiculaire en prenant l’inverse du coefficient directeur de la droite de l’arête supérieure. Le croisement de cette droite perpendiculaire aux deux arêtes définit le segment qui correspond à la largeur du carré de la mire. La Figure 4.8 montre les dernières étapes pour l’obtenir.

Fig.4.8 – Les dernières étapes de la mesure de la relation métrique/pixel : (a) ensemble des points de l’arête supérieure et inférieure de la mire, (b) détermination des droites de régression, des arêtes, par moindre carré médian, (c) on utilise le segment perpendiculaire aux arêtes de la mire pour mesurer sa largeur.

Connaissant la taille réelle du motif de la mire réalisée en microtechnologie, on peut calculer le rapport métrique/pixel. On mesure la largeur du carré en pixels et on le divise par sa largeur réelle. Pour valider et vérifier la détermination de la taille du pixel nous allons pour plusieurs mesures déterminer le rapport métrique/pixel puis calculer la largeur réelle de la mire. Les différentes mesures vont nous permettre de connaître aussi la répétabilité de la méthode. On réalise un ensemble de 500 mesures, nous obtenons les résultats suivant :

M oyenne = 2052, 48 µm Ecart type = 0, 291 µm

Erreur = 52, 48 µm

La première remarque va directement sur l’erreur de la mesure qui très importante par rapport à la taille réelle de la mire. Par contre l’écart type est très faible, ce qui montre une certaine robustesse dans la détermination de la taille de la mire. Pour expliquer l’erreur importante de la mesure nous émettons deux hypothèses par rapport au système d’éclairage diascopique. Notre première hypothèse se réfère au phénomène de diffraction. Lorsque la lumière traverse le masque perforé de la mire par en dessous, la lumière est légèrement déviée par les bordures. Le résultat est que la taille de la mire dans l’image ne correspond pas totalement à sa taille réelle. Cette hypothèse n’est pas en grande partie la cause de l’erreur de mesure car la diffraction joue un rôle trop minime sur la mire. Ce qui nous permet d’introduire notre deuxième hypothèse, basée sur la nature de l’éclairage diascopique. Notre système d’éclairage est composé d’un bloc à base de mini-tubes fluorescents au néon. Même si ce type d’éclairage a un rayonnement thermique plus faible que les lampes à incandescence, la température du plateau où est déposée la mire n’est pas complètement basse. La mire est réalisée en microtechnologie par un dépôt de métaux sur une plaque de verre. Prenons par exemple un type de verre très utilisé dans les laboratoires pour sa résistance à la chaleur et aux agents chimiques, les verres borosilicate, le plus connu est le Pyrex (1915). Il est composé de 80% de silice, 13% d’anhydride borique, 4% de soude et 3% d’alumine. Son coefficient de dilatation est de 32.10−7_K−1_{. Si nous prenons notre erreur moyenne de 52, 48 µm,}

cela correspondrait à une élévation de la température de la mire de 16, 4o_{C. Après une}

journée de fonctionnement, l’ordre de grandeur d’élévation de la température du système d’éclairage ne semble pas aberrant.

Fig.4.9 – Graphique représentant la taille de la mire en fonction des différentes mesures dans le temps.

Pour vérifier cette hypothèse nous mesurons la taille de la mire avec 500 mesures intercalées dans le temps de chacune 10 s. Nous débutons les mesures en allumant l’é- clairage juste avant, donc à froid. Nous traçons les résultats à la Figure 4.9. Cette figure montre que la taille de la mire se dilate progressivement de mesure en mesure, c’est-à- dire dans le temps. La forme de la courbe représente un premier ordre, typique dans ce système qui monte en température. Il n’est pas difficile d’imaginer que la taille de la mire va se stabiliser une fois que le système d’éclairage a atteint sa température finale. Notre hypothèse est vérifiée, la température de l’éclairage diascopique agit directement sur la mire et donc sur nos mesures d’étalonnage. La solution consiste à utiliser une méthode d’étalonnage qui utilise un système d’éclairage épiscopique, diminuant l’interaction du rayonnement thermique, sans pour autant le supprimer, seul les problèmes de diffractions disparaitront.