Le frein ` a disques

La deuxi`eme analyse concerne le diagnostic d’un ´etat particulier du frein `a disques. L’´etat connu du syst`eme est une valeur de consigne du frein `a disques. Dans ce cas d’´etude, elle est donn´ee par la valeur 9. Le but est de retrouver les ´etats initiaux (M₀) qui ont pu engendrer l’´etat partiel final (M_f =h9i.F reinDisque) et ceci `a partir de la seule connaissance de ce dernier. L’analyse se fait par accessibilit´e arri`ere utilisant le RdPC inverse avec un ´etat initial correspondant `a M<sub>f</sub>. Le processus d’analyse est d´etaill´e transition par transition de la plus simple `a la plus complexe.

7.5. Analyse du syst`eme

La transition Immobilisation

L’inversion de la transition Immobilisation, illustr´ee dans Fig.7.5.b, montre que le tir de celle-ci est suffisant connaissant juste la valeur du jeton dans la place

Frein Disque. Le tir de cette transition produit donc un jeton anonyme dans la place Arret et un jeton dans la place P esee dont la valeur est calcul´ee par la formule f₅⁻¹(x) = (x−8)/2. Cette formule appliqu´ee `a une valeur dex= 9 donne

f₅⁻¹(x) = 0,5. La conclusion est que le marquage Mf = h9i.F reinDisque peut ˆetre produit par un marquage initial M₀ = h0,5i.P esee+hei.Arret. Ce r´esultat est obtenu naturellement en une seule op´eration contrairement `a ce qu’aurait ´et´e une recherche par accessibilit´e avant qui testerait toutes les entr´ees possibles de la pes´ee (variablep) pour trouver le marquage initialM₀ source deM_f. Le gain peut se r´esumer en une diminution de la complexit´e algorithmique dans le processus du diagnostic.

La transition Secours

L’inversion de la transition Secours, illustr´ee dans Fig.7.5.a, montre que le tir de celle-ci est possible si et seulement si chacune des places Sablage et P atin

poss`ede un jeton anonyme et si la place F reinDisque poss`ede un jeton d’une valeur f_{F DM AX}. Cette valeur est fix´ee `a 10 44 par le mod`ele et est diff´erente du marquage partiel `a analyser. La transition Secours ne peut donc pas ˆetre tir´ee mˆeme en enrichissant le marquage dans Sablage et P atin; la transition

Secoursn’est pas potentiellement franchissable. La conclusion est que le marquage

M_f =h9i.F reinDisque est inaccessible par le tir deSecours.

La transition Urgence

Le tir inverse de la transitionUrgence n´ecessite un enrichissement de marquage au niveau des transitions Sablage, P atin et F reinElectroDynamique. Dans les deux premi`eres places les jetons `a rajouter sont anonymes et aucun calcul n’est `a faire. Par contre, les valeurs des jetons dansF reinElectroDynamique(et donc de la variable x), doivent satisfaire la garde. Pour simplifier les calculs, nous allons r´e´ecrire la garde qui donne les valeurs de x en fonction de celle de y. Cette garde peut ˆetre ´ecrite sous la forme x = f₃(f₄⁻¹(y)) ce qui donne x = 2y−2p−a−9 sous la contrainte 2p+a=y−7.

Par un processus proche de ce qui a ´et´e utilis´e dans la section 7.5.1, les valeurs des consignes du frein ´electrodynamique sont calcul´ees ainsi que celles des commandes de pes´ee et d’anti-enrayage qui les engendrent. Le r´ e-sultat est illustr´e dans Fig.7.8. La conclusion est que le marquage M_f =

44La valeurf_{F DM AX} = 10 est obtenue en appliquant les valeurs maximales des consignes a etpdans la formule de la fonctionf₄(p, a).

Fig. 7.8 – Freinage d’urgence

h9i.F reinDisque est accessible `a l’arri`ere par M₀ = h1i.M anipulateur +

hpˆi.P esee+hˆai.AntiEnrayage. Cette accessibilit´e est conditionn´ee par l’enrichis-sement du marquage. Le marquage final r´eellement accessible est le marquage enrichi M_{f e} =hxˆi.F reinElectroDynamique+h9i.F reinDisque+hei.Sablage+

hei.P atin. Les valeurs de ˆx, ˆpet ˆa sont les combinaisons possibles des variablesx,

p eta (respectivement) qui correspondent au segment de droite de Fig.7.8.

La transition Service

Comme pour la transition Urgence, le tir inverse de la transition Ser-vice n´ecessite un enrichissement de marquage. La place `a enrichir est

F reinElectroDynamique. Les valeurs des jetons dans cette place (donc de la variable x), doivent satisfaire la garde. Comme la valeur dey est connue, la garde est r´e´ecrite pour retrouver ais´ement celles de x. La nouvelle garde est sous la forme x = f₁(f₂⁻¹(y)). Sachant que y 6= 0, la condition dans la fonction f₂ est valide, i.e. dans le RdPC original, la condition p+a >1,5 est valide et la valeur du jeton dans la place F reinDisque (la valeur 9 dans cet exemple) est obtenue par la formule 7m + 2p+ 1. La nouvelle garde est donn´ee donc sous la forme (0< m <1)∧(3y−21m−4p−a >3)∧(x= (19y−98m−24p−12a)/7) sous la contrainte a=y−7m−2p.

En exploitant le RdPC inverse ainsi compl´et´e, les valeurs des consignes du frein ´electrodynamique sont calcul´ees ainsi que celles des commandes de pes´ee et d’anti-enrayage qui les engendrent. Les r´esultats ne peuvent pas ˆetre montr´es en un seul graphique (trop de variables), c’est pourquoi ils sont sch´ematis´es sur les deux graphiques de Fig.7.9. Le premier (Fig.7.9.a) montre les combinaisons

7.5. Analyse du syst`eme

-a- -b-

Fig. 7.9 – Freinage de service

d’entr´ee possibles des variables m, p et a. Le second (Fig.7.9.b) reprend deux variables d’entr´ee (m et p) et les valeurs de x correspondantes. La conclusion est que le marquage M_f = h9i.F reinDisque est accessible `a l’arri`ere par M₀ =

hmˆi.M anipulateur+hpˆi.P esee+haˆi.AntiEnrayage. Cette accessibilit´e est condi-tionn´ee par l’enrichissement du marquage. Le marquage final r´eellement accessible est le marquage enrichi M_{f e} =hxˆi.F reinElectroDynamique+h9i.F reinDisque. Les valeur de ˆx, ˆm, ˆp et ˆasont les combinaisons possibles des variables x, m, pet

a (respectivement) qui correspondent aux valeurs illustr´ees dans Fig.7.9.

R´ecapitulatif du cas freins `a disques

L’analyse par accessibilit´e arri`ere du marquage final consid´er´e dans ce cas d’´etude, `a savoir M_f = h9i.F reinDisque, montre qu’il est accessible par trois chemins diff´erents. Chaque chemin correspond `a un sc´enario bien sp´ecifique. Le premier chemin passe par la transition Immobilisation qui signifie une d´etection d’arrˆet avec une pes´ee `a 0,5. Les chemins passant par Service et Urgence n´ e-cessitent une des informations compl´ementaires sur l’´etat final du syst`eme. C’est pourquoi, le marquage final a ´et´e enrichi de telle sorte `a supposer un ´etat coh´erent. Les r´esultats de ce cas d’´etude sont illustr´es dans l’arbre de Fig.7.10