D´ efinitions et pr´ eliminaires

5.1.3 Preuves de l’inversion de RdPC . . . 87

5.2 Utilisation de la logique lin´eaire . . . 91

5.2.1 Pr´esentation de la logique lin´eaire . . . 91 5.2.2 Calcul de s´equents . . . 92 5.2.3 Logique lin´eaire et r´eseaux de Petri color´es . . . 93

5.3 Conclusion . . . 98

L’analyse structurelle par accessibilit´e arri`ere utilise le RdPC inverse. Celui-ci est obtenu `a l’aide de transformations structurelles sur le RdPC original. L’in-terrogation porte alors sur deux aspects : 1) les algorithmes des transformations structurelles pr´esent´es pr´ec´edemment sont-ils viables ? et 2) l’analyse arri`ere ef-fectu´ee grˆace au RdPC inverse est-elle correcte ?

La recherche de la r´eponse `a ces deux questions nous a conduit `a explorer deux aspects th´eoriques de l’inversion des RdPC. Le premier, l’alg`ebre lin´eaire, porte sur l’inversion d’une seule transition. Elle permet de fournir un socle formel aux algorithmes de transformations. Pour cela, nous nous sommes inspir´es de [Had89] concernant la th´eorie des RdPC et plus pr´ecis´ement les r´eseaux de Petri

bien form´es (WPN : Well-Formed Petri Nets). Le second aspect est la logique lin´eaire. Elle ´etablit une ´equivalence entre l’accessibilit´e et la preuve de s´equents. Elle permet de prouver formellement la justesse des chemins trouv´es `a l’aide des RdPC inverses. Pour l’utiliser dans notre ´etude, nous allons ´etendre cette m´ethode aux domaines color´es ce qui implique la red´efinition des r`egles d’inf´erence sur des classes de langages d’ordre sup´erieur que ce qui est utilis´e dans les travaux dont nous nous sommes inspir´es ([Kha03], [VK94], [Lin92]).

5.1 Alg`ebre lin´eaire

5.1.1 D´efinitions et pr´eliminaires

Les d´efinitions qui suivent dont tir´ees principalement de [Had89], mais aussi de [Gob95], [ldJPR00] et [CE05].

Multi-ensembles

Soit U un ensemble fini. La notation Bag(U) = _NU d´esigne le multi ensemble d´efini sur U. Un Bag (ou multi-ensemble) est un ensemble non ordonn´e o`u la r´ep´etition est permise. L’introduction des multi ensembles permet de traiter l’une des caract´eristiques des RdPC stipulant qu’une place peut contenir un ensemble non ordonn´e de jetons dont certains peuvent avoir des valeurs identiques.

? Un ´el´ement deBag(U) est not´eP

u∈Ua_u.u.

? La somme de deux ´el´ements de Bag(U) est d´efinie par a + b = P

u∈U(a_u+b_u).u.

? Un ordre partiel dansBag(U) est d´efini par la formule :a≥bsi et seulement si ∀u∈U, a_u ≥b_u.

? La diff´erence entre deux ´el´ementsa etb (sia≥b) deBag(U) est d´efinie par

a−b =P

u∈U(a_u−b_u).u.

Forme bilin´eaire

Uneforme d´esigne une application d’un espace dans son corps de nombres K. Le corps de nombre d´esigne l’ensemble des nombres d´efinissant la multiplication externe des vecteurs tels que les r´eels ou les complexes. Une forme bilin´eaire est une application d´efinie sur un couple de vecteurs x ety, son espace de d´epart est le produit cart´esien de deux espaces E et F ayant le mˆeme corps de nombres. Pour une application donn´eef, on ´ecrit :

f : E×F →K

(x, y)→f(x, y)

La forme est dite lin´eaire pour sa premi`ere variable si pour tout y₀, l’application

f qui `a x associe f(x, y<sub>0</sub>) est lin´eaire. De mˆeme, la forme est dite lin´eaire pour sa deuxi`eme variable si pour tout x₀, l’application f qui `a y associe f(x₀, y) est lin´eaire. Si les deux propri´et´es pr´ec´edentes sont v´erifi´ees, alors la forme est dite bilin´eaire.

Similitudes

Consid´erons l’espace E muni d’une forme bilin´eaire φ :E×E →K. Soit une application lin´eaire d´efinie sur E ×E. On d´efinit la forme bilin´eaire sym´etrique

5.1. Alg`ebre lin´eaire φf par

φ_f : E ×E →K

(x, y)→φ(f x, f y)

On dit quef est unesimilitude de multiplicateurµ(not´e aussiµ(f)) si la propri´et´e suivante est v´erifi´ee :

∀x∈E,∀y ∈E, φ(f x, f y) =φ_f(x, y) =µφ(x, y)

Un r´esultat engendr´e par cette d´efinition est que les applications orthogonales sont des similitudes (de multiplicateur 1)

´

Equivalence des formes lin´eaires et bilin´eaires

Dans un RdPCR= (P, T, C, P re, P ost, M), une fonction de couleur peut ˆetre d´efinie soit deBag(C(t)) dansBag(C(p)) ou deC(t)×C(p) dans_N(p∈P,t∈T, Nest l’ensemble des entiers naturels). Les deux formes sont utiles pour d´efinir les transformations, c’est pourquoi, le mˆeme symbole de fonction est utilis´e pour les deux formes. La formule qui donne la relation entre les deux formes s’´ecrit comme suit :

f(c) = ^X

c0∈C(p)

f(c⁰, c).c⁰

O`uf(c) d´esigne l’image decdans un ´el´ement deBag(C(p)) parf en tant qu’appli-cation lin´eaire et f(c<sup>0</sup>, c) d´esigne l’image de (c<sup>0</sup>, c) dans une valeur enti`ere. Notons qu’il n’y a pas de confusion entre les deux ´ecritures. En effet, la premi`ere forme prend un seul argument, tandis que la seconde prend deux arguments.

Composition

Soit f une fonction de Bag(C) dans Bag(C⁰) et g une fonction de Bag(C⁰) dans Bag(C⁰⁰). La composition de f et g est une fonction g◦f de Bag(C) dans

Bag(C⁰⁰) d´efinie par :

g◦f(c) = g(f(c)) = ^X c00∈C00 (^X c0∈C0 g(c⁰⁰, c⁰).f(c⁰, c)).c⁰⁰ Propri´et´es

? La fonction identit´e deBag(C) (not´eeId) est d´efinie par

Id(c) = c

Cette fonction peut aussi ˆetre d´efinie par

Id(c⁰, c) =

1 Si c = c’

? Une fonction f de Bag(C) dans Bag(C) est orthonormale si et seulement s’il existe une substitution σ dans C tel que

f(c) =σ(c) La seconde d´efinition donne

f(c⁰, c) =

1 Si σ(c) = c⁰

0 Sinon

Cette condition peut ´egalement ˆetre ´ecrite sous la forme d’une similitude [EHPP05] :

∀c∈C,∃c⁰ ∈C⁰, f(c, c⁰) = 1 et ∀c⁰ ∈C⁰,∃c∈C, f(c, c⁰) = 1

? La projection deBag(C×C⁰) dansBag(C) (not´ee P roj) est d´efinie par

P roj(hc, di) =c

La seconde d´efinition donne

P roj(c⁰,hc, di) =

1 Si c = c’

0 Sinon

? Une fonction f deBag(C) dans Bag(C⁰) est quasi-injective si et seulement si

∀c⁰ ∈C⁰,∀c₁ ∈C,∀c₂ ∈C :f(c⁰, c₁)6= 0∧f(c⁰, c₂)6= 0⇒c₁ =c₂ ? Une fonction f deBag(C) dans Bag(C⁰) est unitaire si et seulement si

∀c⁰ ∈C⁰,∀c∈C :f(c⁰, c) = 0∨f(c⁰, c) = 1

Orthonormalisation des transitions

Soit un R´eseau de Petri Color´e R = (P, T, C, P re, P ost, M), t une transition de R et f une fonction orthonormale de C(t). Le RdPC R_r obtenu par f −

orthonormalisation de t est d´efini par :

? P_r=P ? T_r =T ? ∀t∈Tr,∀p∈Pr, Cr(t) =C(t) et Cr(p) = C(p) ? ∀t⁰ ∈T_r− {t},∀p∈P_r, P ost_r(p, t⁰) = P ost(p, t⁰) et P re_r(p, t⁰) =P re(p, t⁰) ? ∀p∈P, P re_r(p, t) =P re(p, t)◦f et P ost_r(p, t) = P ost(p, t)◦f ? ∀p∈P_r, M_r(p) = M(p)

5.1. Alg`ebre lin´eaire p' p

g

h

f

g h f

Fig. 5.1 – Exemple d’orthonormalisation de transition

p'

p

Pre(p, h)

Post(p', h)

C C' C"

Fig. 5.2 – Mapping des couleurs dans un RdPC