Franges de r´ esonance et asservissement de la fr´ equence

L’acquisition des deux signaux de temps de vol, repr´esentant les popula-tions des deux niveaux hyperfins, s’effectue simultan´ement et en temps r´eel `a chaque cycle de l’horloge. La probabilit´e de transition des atomes en fonction de l’interrogation est d´eduite de ces mesures.

La figure 2.19 montre un exemple de r´esonance exp´erimentale obtenu pour une vitesse de lancement de 3,132 m/s. Ces franges de Ramsey correspondent `

a un niveau de micro-onde optimal (2 impulsions telles que bτ = π/2 o`u b est la pulsation de Rabi et τ le temps de transit effectif des atomes dans la cavit´e). La pleine largeur `a mi-hauteur ∆ν_Ramsey = 1/2T est ´egale `a 1,3Hz, o`u T est le temps effectif de vol libre (soit un facteur de qualit´e Q_at = 7 10⁹). La largeur de l’enveloppe Rabi ∆ν_Rabi = 1/τ est de 40 Hz (τ ∼ 25 ms). La

perte de contraste sur les ailes de la r´esonance provient des distributions des positions et des vitesses initiales des atomes de la m´elasse.

La probabilit´e de transition `a r´esonance ne peut atteindre l’unit´e, `a cause d’un compromis sur la puissance de sonde `a la d´etection. Les faisceaux sondes servent `a effectuer le comptage des atomes dans les deux niveaux de la transition d’horloge, et ´egalement `a r´ealiser la fonction de pousseur `

a la pr´eparation. Nous avons signal´e dans le paragraphe 2.6.2 que cette op´eration provoquait un pompage optique vers l’´etat F = 3, diminuant avec la r´eduction de l’intensit´e. Rappelons ´egalement qu’une partie du premier faisceau sonde que les atomes traversent `a la d´etection, est rendu progressif sur sa partie basse. L’objectif est d’´ejecter les atomes en F = 4 apr`es qu’ils aient ´et´e compt´es. Le processus est d’autant plus efficace que le faisceau est intense. La puissance de sonde joue donc de mani`ere non ind´ependante sur le pompage optique `a la s´election et sur l’´ejection des atomes en F = 4 `

a la d´etection. Le r´eglage optimal, obtenu pour une intensit´e de l’ordre du mW, provoque la pr´esence de 2,9% d’atomes en F = 3, m_F = 0. Ce chiffre

provient de la somme des taux de transition pr´esent´es dans la figure 2.17, avant correction par les coefficients de Clebsch-Gordan. Un interrogation r´esonante `a π effectue un transfert total des atomes en F = 3, m<sub>F</sub> = 0 vers F = 4, m<sub>F</sub> = 0. Cependant, l’intensit´e de sonde n’est pas suffisante pour ´ejecter tous les atomes en F = 4. 2,2% d’entre eux sont compt´es une seconde fois par le deuxi`eme faisceau sonde. L’´equilibrage des intensit´es laser entre les deux voies de d´etection, r´ealis´e `a quelques % pr`es, tient compte de ces pourcentages. Ainsi, bien que l’interrogation donne une probabilit´e de 1 pour la transition d’horloge, le syst`eme de d´etection mesure un nombre d’atomes

N₃ non nul dans le seconde voie, de l’ordre de 5% du nombre N₄. La proba-bilit´e de transition, donn´ee par la normalisation P = ^N4

- 4 0 - 3 0 - 2 0 - 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 0 , 0 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 8 0 , 9 1 , 0 Pr ob ab ili té d e tra ns iti on F r é q u e n c e ( H z ) - 1 , 5 - 1 , 0 - 0 , 5 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 D n = 1 , 3 2 H z

Fig. 2.19 – R´esonance de Ramsey

de 95%.

L’asservissement de la fr´equence micro-onde d’interrogation repose sur une modulation carr´ee `a mi-hauteur de la frange centrale de la r´esonance de Ramsey. Cette modulation est appliqu´ee sur le synth´etiseur pilotant la synth`ese (cf§2.4.1). La probabilit´e de transition Pk, mesur´ee successivement de part et d’autre de la frange, permet de calculer la correction de fr´equence

δν_k `a appliquer. Cette correction, apr`es multiplication par le gain ad´equat

G, et int´egration, est ensuite appliqu´ee par l’ordinateur au synth´etiseur. La constante de temps de la boucle d’asservissement est d’une demi-douzaine de cycles d’horloge.

δν_k = δν_k−1+ (−1)kG(P_k− Pk−1^{) (2.15)}

La synth`ese micro-onde ´etant compl`etement r´ef´erenc´ee `a un maser `a hy-drog`ene, la moyenne des corrections appliqu´ees au synth´etiseur repr´esentent la diff´erence de fr´equence entre la fontaine PHARAO et le maser :

ν_mesure = ν_{P HARAO}− νmaser (2.16) L’incertitude sur la fr´equence mesur´ee d´epend de la stabilit´e des deux horloges ainsi que de celle du lien utilis´e pour la comparaison. La figure 2.20 donne un exemple, obtenu pour 4 10⁵ atomes d´etect´es, et un temps de cycle

2.6. ANALYSE DES PREMIERS SIGNAUX DE L’HORLOGE

d’une seconde. Exp´erimentalement, la stabilit´e de fr´equence relative mesur´ee est de :

σ_y(τ ) = 1, 7 10⁻¹³τ^−1/2 (2.17)

Elle est limit´ee sur le cours terme par le bruit du quartz utilis´e comme oscillateur local pour la comparaison et sur le long terme par le bruit de scintillation du maser `a hydrog`ene (∼ 1 10−15 _{`a 1 jour). Le paragraphe 4.2}

pr´esente l’analyse des diff´erentes sources de bruit. La limite ultime de la stabilit´e court terme, donn´ee par le bruit de projection quantique, serait 7, 3 10⁻¹⁴τ^−1/2, pour un nombre d’atomes d´etect´es de 4 10⁵.

Pour remonter `a la fr´equence d´efinition ν<sub>0</sub> de la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’atome de c´esium au repos, il est n´ecessaire de connaˆıtre tous les d´eplacements de fr´equence perturbant l’interaction. L’´etude d´etaill´ee de tous les effets connus est pr´esent´ee dans le paragraphe 4.3. La somme quadratique des incertitudes sur tous les d´eplacements de fr´equence de la fontaine PHARAO, m`ene `a une exactitude relative de 7, 7 10⁻¹⁶

ν₀ = ν_{P HARAO}−^δν (2.18)

σ_ν0 =

1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ^{- 1 5} 1 0 ^{- 1 4} 1 0 ^{- 1 3}

s

( t ) = 1 , 7 1 0

t

s

(^t

)

t ( s )

Fig.2.20 – Stabilit´e de fr´equence de la fontaine PHARAO fonctionnant avec

Chapitre 3

Mod´elisation de l’interrogation

micro-onde

3.1 Introduction

Dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons donn´e une description d´etaill´ee des diff´erentes parties constituant la fontaine atomique PHARAO et de la m´ethode permettant la mesure de la fr´equence d’horloge par asservissement sur la frange centrale de la r´esonance de Ramsey. Le but de ce chapitre est de poser les ´el´ements th´eoriques permettant l’analyse de la r´eponse atomique `a la double excitation micro-onde, et l’estimation des d´eplacements de fr´equence affectant l’exactitude de l’´etalon de fr´equence. La description est pour la majeure partie applicable `a la g´eom´etrie de l’horloge spatiale PHARAO, pour laquelle, contrairement `a une fontaine atomique, les deux impulsions sont appliqu´ees dans des r´egions distinctes.

Dans le premier paragraphe, nous rappellerons tout d’abord bri`evement l’´etablissement de l’´equation d’´evolution de l’´etat atomique, en partant de l’´equation de Schr¨odinger. Nous en d´eduirons ensuite, dans le second para-graphe, une expression de la probabilit´e de transition, dans le cas particu-lier d’une unique trajectoire atomique et d’un profil d’excitation constant durant les deux impulsions de Ramsey. Dans une fontaine atomique, le pro-fil d’intensit´e micro-onde varie au cours de l’interrogation. La probabilit´e de transition ne peut alors ˆetre d´etermin´ee que par un calcul num´erique. Nous d´etaillerons la simulation que nous avons d´evelopp´ee. Le mod`ele prend en compte l’´evolution de la taille du nuage atomique en effectuant un ti-rage al´eatoire sur un grand nombre d’atomes r´epartis selon certaines dis-tributions de positions et de vitesses. Outre le calcul des franges de Ram-sey, que nous comparerons `a l’exp´erience, la simulation permet d’estimer certains d´eplacements de fr´equence. Les calculs de ces effets syst´ematiques

peuvent ˆetre effectu´es directement, en int´egrant dans l’´equation d’´evolution de l’´etat atomique les variations instantan´ees du d´eplacement de fr´equence. L’interpr´etation peut dans certains cas ˆetre facilit´ee par l’utilisation de la fonction de sensibilit´e [24, 15, 17], dont l’allure caract´erise l’´evolution tem-porelle de l’excitation atomique. Cette fonction sera introduite dans le dernier paragraphe pour un profil d’excitation quelconque. Nous discuterons ensuite de ses propri´et´es de sym´etries dans une g´eom´etrie de fontaine atomique ainsi que des cons´equences sur la d´etermination des d´eplacements de fr´equence.