Mesure Interpolation 19966 19968 19970 19972 19974 19976 Fréquence (Hz) 33 31 29 27 Ph as e ( °) MesureInterpolation
Figure 5.9 – Mesure et ajustement numérique à pression atmosphérique du module et de la phase de l’impédance du mode pilote d’un VIG aux électrodes court-circuitées (Rm = 5,15 MΩ,
Lm = 384 kH, Cm = 165,5 aF, Cp = 5,88 pF, Rp = 0,842 MΩ, f0 = 19 970 Hz, Q = 9346). Nos tentatives de faire griller l’éventuelle paillette métallique responsable du court-circuit en appliquant un courant électrique élevé n’ont pas abouti.
En conséquence les électrodes latérales n’ont pas été déposées sur les flancs des poutres du VIG et des six poutres encastrées-libres. Il a été possible de les caractériser par mesure de l’impédance motionnelle mais seules les flexions dans le plan ont pu être mesurées. Pour le gyromètre triaxial, les électrodes latérales avaient été déposées avant que l’on se rende compte de l’existence des courts-circuits. Ses modes propres ont donc été caractérisés à l’aide des mesures par interférométrie et stroboscopie dans le plan.
5.3 Fréquences de résonance
Les fréquences de résonance ont été mesurées à température ambiante puis, pour les poutres encastrées-libres, des paliers de température ont été appliqués pour évaluer les évolutions. Les mesures à température ambiante sont comparées aux prédictions théoriques des simulations par éléments finis. Il s’agit de simulations modales sans amortissement.
5.3.1 Mesures à température ambiante
Les fréquences mesurées sont présentées dans le tableau 5.3. Comme attendu, les fréquences de résonance des poutres diffèrent fortement de celles présentées dans le tableau 5.1 utilisant la formule analytique (5.3). L’encastrement n’est pas assez rigide. En plus des fréquences mesurées, nous présentons dans le tableau 5.3 les résultats de simulations par éléments finis.
Poutres encastrées-libres Nous donnons les fréquences de résonance pour deux jeux de dimensions : celles mesurées en bas des tranchées à la loupe binoculaire (voir tableau 5.2) à la ligne « f0 simulée » et celles issues du masque (voir tableau 5.1) à la ligne « f0 d’après le masque ». On constate que les simulations avec les dimensions mesurées sont plus proches de la réalité et que les erreurs relatives sont toutes positives, c’est-à-dire que le modèle surestime la fréquence de résonance. Pour les fréquences avec les dimensions du masque, on retrouve
5.3. FRÉQUENCES DE RÉSONANCE 137 Poutres Numéro 1 2 3 4 5 6 f0 mesurée (Hz) 20 386 31 183 37 686 18 381 29 167 35 077 f0 simulée (Hz) 21 374 32 543 40 353 20 511 30 414 36 949 Erreur relative (%) 4,6 4,2 6,6 10,4 4,1 5,1 f0 d’après le masque (Hz) 23 009 35 070 43 874 21 949 33 805 41 993 Erreur relative (%) 11,4 11,1 14,1 16,3 13,7 16,5 VIG
Mode propre Pilote
f0 mesurée 19 443 Hz
f0 simulée 20 696 Hz
Erreur relative 6,1 %
Triaxial
Modes propres Pilote Z X Y
f0 mesurée (Hz) 21 474 22 352 23 353 23 733
f0 attendue (Hz) 22 787 22 855 22 728 22 728
Erreur relative (%) 5,8 2,2 −2,7 −4,4
Table 5.3 – Fréquences de résonance mesurées et simulées par éléments finis. Pour les poutres, les simulations prennent en compte successivement les dimensions mesurées et les dimensions du masque (sans sous-gravure). La fréquence obtenue pour la poutre 4 (en rouge italique) est suspecte et laisse entendre qu’il y a eu une erreur de mesure des dimensions. Pour le VIG, on se sert seulement des dimensions mesurées pour la simulation tandis que, pour le gyromètre triaxial, on ajoute une sous-gravure estimée à 20 µm (réduction de la largeur de 40 µm) aux dimensions du masque.
comme pour les mesures de dimensions, une légère corrélation entre la largeur des tranchées et les erreurs relatives. Ces dernières étant un peu plus grandes pour les tranchées de 260 µm (poutres 4 à 6). L’erreur relative de la poutre 4 avec les dimensions mesurées (10,4 % en rouge italique) est plus élevée que pour les autres poutres. Elle semble de fait suspecte puisqu’un tel écart n’est pas visible avec les dimensions du masque (16,3 % comparable avec la poutre 6). Cela confirme qu’il y a eu une erreur de mesure de la largeur de la poutre 4 (probablement à cause de la délamination des flancs, voir section 5.2.4).
VIG Nous nous contentons pour cette structure de calculer la fréquence simulée avec les di-mensions mesurées. On constate que, pour les didi-mensions mesurées, les erreurs relatives des modes de flexion dans le plan (poutres et VIG) sont relativement homogènes, comprises entre 4 % et 7 % si on exclut la poutre 4. Comme on a utilisé les dimensions mesurées en bas des tran-chées, on peut considérer qu’on a retranché la sous-gravure et que les différences restantes sont dues aux autres défauts, notamment l’inclinaison des flancs. Des simulations ont été conduites en ajoutant des chanfreins sur les arêtes supérieures des tranchées pour essayer de modéliser l’inclinaison des flancs (voir figure 5.10). Elles ont effectivement permis de diminuer les fré-quences simulées, ce qui est cohérent avec une réduction en moyenne de la largeur de la poutre vibrante comme visible dans l’équation (5.3). En revanche les chanfreins ajoutés pour retrouver les fréquences mesurées avaient des dimensions plus importantes que celles relevées sur les struc-tures. Cela signifie que notre modèle est trop simple pour décrire réellement le flanc de tranchée après gravure et qu’il faudrait probablement ajouter d’autres défauts tels que la délamination du flanc et la présence d’un pied en bas de tranchée.
138 CHAPITRE 5. CARACTÉRISATIONS DES RÉSONATEURS
(a) (b) (c)
Figure 5.10 – Modèles du VIG : (a) structure entière avec des flancs verticaux, (b) zoom sur le diapason avec des flancs verticaux et (c) zoom sur le diapason avec des chanfreins sur le haut des flancs pour les incliner.
Gyromètre triaxial Pour ce dernier, les dimensions de la structure n’ont pas été mesurées. Les simulations ont été faites avec une sous-gravure estimée à 20 µm, ce qui correspond à une réduction de la largeur des poutres de 40 µm. Cette valeur est celle employée par Adrien Piot dans sa thèse [2] et elle est en accord avec les valeurs de sous-gravure relevées pour les tranchées de 260 µm de large (voir poutres 5 et 6 tableau 5.2). On constate là-aussi une surestimation des fréquences de résonance des modes de flexion dans le plan (pilote et Z) bien que pour le mode pilote il s’agisse d’une déformation du cadre et pas d’une poutre encastrée. En revanche on observe un mouvement inverse des modes de flexion hors-plan (X et Y) dont les fréquences sont plus élevées que la simulation. Une telle tendance est plutôt négative puisqu’elle complique l’appariement des fréquences (spécification B2). Nos mesures de fréquences sont inférieures à celle relevées par Adrien Piot autour de 26 kHz pour son échantillon de gyromètre triaxial mais sont assez proches des valeurs théoriques fournies par Iännis Roland [1].
S’il était prévisible que les défauts de gravure aient un impact sur les fréquences de résonance, nos mesures et nos simulations mettent tout de même en lumière deux problèmes principaux : la dispersion des erreurs en général et l’interférence des modes parasites pour le gyromètre triaxial.
— Un décalage constant des fréquences, c’est-à-dire une valeur d’erreur relative identique pour tous les modes entre mesures et simulations, ne dégraderait pas les performances des résona-teurs s’il restait faible. En effet, il conserverait l’écart entre les fréquences des modes pilote et de détection et serait simplement pris en compte lors de la phase de conception afin d’être compensé. La limitation est en fait induite par la dispersion des fréquences qui empêche leur contrôle. Pour les flexions dans le plan des poutres encastrées-libres, on observe ainsi une dispersion de 3 points de pourcentage des erreurs relatives (comprises en 4 % et 7 %). — Pour le VIG, cette dispersion dégrade la bande passante et le facteur d’échelle et nuit à
la modélisation puisqu’on ne peut pas vraiment prédire les performances. Mais elle n’em-pêche pas le gyromètre diapason de fonctionner. Pour le gyromètre triaxial en revanche, elle entraîne l’apparition de modes parasites entre les modes d’intérêt. Alors qu’en théorie
5.3. FRÉQUENCES DE RÉSONANCE 139 les quatre modes pilote, X, Y et Z sont censés se suivre si on trie les modes propres par fréquence croissante, nous avons détecté trois modes venant s’intercaler entre le mode pilote (21 474 Hz) et le mode Z (22 352 Hz) à 21 762 Hz, 21 969 Hz et 22 000 Hz. Il s’agit de modes de flexion des poutres sensibles dans le plan qui viennent perturber le fonctionnement du gy-romètre (voir figure 5.11). Il semble peu probable de pouvoir réaliser des mesures inertielles avec de tels modes parasites. Au vu de l’architecture du gyromètre triaxial, ce problème était à craindre, contrairement au VIG qui possède une marge conséquente entre ses modes pilote et de détection. Il faut donc réduire considérablement la dispersion des fréquences.
Figure 5.11 – Simulations par éléments finis des modes parasites dont les fréquences de réso-nance sont proches de celles des modes d’intérêt.
5.3.2 Variation en fonction de la température
La variation de la température fait évoluer les longueurs et les modules d’Young d’un ma-tériau. En conséquence la fréquence de résonance d’un mode propre dépend de la température. Pour une poutre encastrée-libre on peut se servir de la formule (5.3) pour calculer la dépendance linéaire (1er ordre, voir section 1.3.2) autour de 25◦C.
λ= 1 f0 ∂f0 ∂T = 12 1 E ∂E ∂T + α ! (5.4) où α est le coefficient de dilatation thermique (6,4 ppm.K−1). La variation linéaire du module d’Young en fonction de la température dépend de l’orientation de la poutre. Pour une poutre dans la direction h110i4 elle vaut −109,5 ppm.K−1. À l’aide de la formule (5.4) on trouve
λ= −51,5 ppm.K−1. C’est la valeur théorique calculée pour des diapasons [56], qui sont sujets en flexion à du cisaillement à la base des poutres. Cette valeur théorique est donc crédible pour nos poutres même si la formule (5.3) ne peut pas leur être appliquée pour déterminer la fréquence de résonance à cause d’un encastrement trop lâche.
Pour une poutre en flexion, on constate que λ dépend principalement du module d’Young ; le coefficient de dilatation thermique représente moins de 10 % de la valeur finale. Cela signifie que les défauts de fabrication, qui affectent la géométrie de la poutre et notamment la forme de sa coupe qui n’est plus vraiment rectangulaire, ont peu d’impact sur λ. Ce dernier dépend surtout du matériau.
Pour mesurer cette dépendance de la fréquence de résonance à la température, une sonde de température PT1000 a été ajoutée près des poutres (voir figure 5.5(a)). Ces mesures ont été
4. Le coefficient peut être calculé directement à l’aide des coefficients du GaAs (001) [45] après rotation de la matrice d’élasticité.
140 CHAPITRE 5. CARACTÉRISATIONS DES RÉSONATEURS faites dans une enceinte à pression atmosphérique pour améliorer la conduction thermique. À cause de la rupture d’un fil de connexion en or, les mesures n’ont pas pu être effectuées sur la poutre 1. Des paliers de température d’environ 15◦C ont été appliqués entre 26◦C et 100◦C. À chaque fois nous avons laissé la température se stabiliser avant de relever les fréquences de résonance. Nos résultats sont présentés dans le tableau 5.4.
Numéro de poutre 2 3 4 5 6
Coefficient λ(ppm.K−1) −58,3 −57,6 −58,7 −58,3 −57,6
Table 5.4 – Coefficients de dépendance linéaire de la fréquence de résonance à la température mesurés pour les poutres 2 à 6 entre 26◦C et 100◦C.
Les coefficients mesurés changent peu d’une poutre à l’autre. Cela confirme notre hypothèse qu’ils dépendent surtout du matériau, à savoir le GaAs semi-isolant. La valeur moyenne mesurée, environ égale à −58 ppm.K−1, est légèrement différente de la valeur théorique. Cela pourrait être dû au dopage. L’impact du dopage sur la dépendance de la fréquence de résonance à la température est un phénomène qui a déjà été observé pour le silicium [58]. Pour des doubles diapasons dans la direction h100i, ce coefficient a été mesuré à −25 ppm.K−1 pour du GaAs dopé au carbone [65] (résistivité d’environ 280 MΩ.cm à 25◦C) contre une valeur théorique de −59 ppm.K−1. Pour des diapasons dans la direction h110i, il a été mesuré à −52,5 ppm.K−1
pour du GaAs non-dopé (résistivité d’environ 20 MΩ.cm à 25◦C) [56]. Dans notre cas nous utilisons du GaAs non-dopé mais avec une résistivité d’environ 150 MΩ.cm à 25◦C.