Avant de voir comment on utilise la formule (7.1) pour calculer les int´egrales, voyons rapidement comment on int`egre les flux (forme et poids) dans la maille. Pour la forme, le plus simple est de l’int´egrer directement dans les donn´ees neutroniques. Ainsi, en entr´ee du processus d’assemblage du syst`eme associ´e `a l’amplitude, au lieu de consid´erer des sections Σgg0, on aura des termes de la forme Σgg0fg. Ce qui suppose bien sˆur que l’on ait une structure contenant les sections pour chaque nœud du maillage fin. Ces valeurs sont des taux de r´eactions locaux.
Pour le poids, on pourrait r´ealiser la mˆeme op´eration mais il parait plus appropri´e de faire la pond´eration en mˆeme temps que la condensation. Ainsi, dans la th´eorie, lorsque l’on int`egre un flux de poids, on red´efinit simplement la base Raviart-Thomas grossi`ere. On peut donc int´egrer la pond´eration `a la condensation d`es la d´efinition des ´equivalences de bases, c’est-`a-dire desβji : Cette expression est exacte si le flux de poids a une repr´esentation constante par maille, donc si ψ est d´efini dans une base Raviart-Thomas d’ordre 0 (RT0). Mais ce constat s’applique aussi `a l’int´egration de la forme dans les donn´ees. Ainsi, l’op´eration est simplifi´ee si l’on dispose d’une valeur moyenne unique sur la maille. `A d´efaut on peut prendre la valeur moyenne du flux sur la maille si la repr´esentation n’est pas RT0 mais l`a on effectue une approximation.
7.2 Formules obtenues et impl´ ement´ ees
Voyons donc comment, avec les propositions pr´ec´edentes, on r´ealise effectivement la condensation. En fait, chaque terme est trait´e diff´eremment, par exemple la source li´ee aux pr´ecurseurs :
On voit donc que l’on peut construire le syst`eme condens´e `a partir des termes du syst`eme fin. En particulier, si on ne pond`ere pas la condensation (ψ0= 1), on retrouve dans l’´egalit´e pr´ec´edente les termes de source finsR
ΩSib(0)i −→
dr. Et comme on l’a dit dans la section pr´ec´ e-dente, lorsque la pond´eration est diff´erente de 1, on l’int`egre directement dans les βji `a partir du moment o`u l’on dispose d’un flux de pond´eration moyenn´e sur chaque maille.
D’o`u l’´egalit´e :
et on cherche, comme dans ce cas le plus simple, `a retrouver pour chaque condensation, une expression du terme grossier comme combinaison lin´eaire des termes fins. Ainsi, le processus de condensation pourra se faire en deux ´etapes :
1. assemblage du syst`eme fin ;
2. condensation de chaque terme du syst`eme lin´eaire ;
sans r´eel surcoˆut en temps. On a juste une matrice de plus `a stocker et c’est aux pas de temps o`u le syst`eme linaire fabriqu´e est petit, d’o`u de l’espace m´emoire libre.
7.2.1 Couplages pairs
Voyons maintenant les autres termes, tout d’abord, le taux de r´eaction de la forme : Z
On constate bien alors que si l’on s’autorise `a ne consid´erer que la forme moyenn´ee par maille, on peut sortir le termef de l’int´egrale et ainsi retrouver comme voulu, les termes de la matrice fine R
ΩΣb(0)i b(0)i0
−
→dr multipli´es parf, ce qu’on a appel´e l’int´egration du flux dans la maille. De plus, si on consid`ere le cas particulier o`u les discr´etisations Raviart-Thomas sont d’ordre 0, les flux sont constants par maille et les supports des fonctions de base sont disjoints. D’o`u dans ce cas RT0, sachant que par hypoth`ese de mod´elisation, les donn´ees neutroniques sont constantes sur les mailles fines :
Z point important pour ce calcul est que la matrice associ´ee `a ces termes est suppos´ee diagonale dans MINOS. Cette hypoth`ese est bien v´erifi´ee pour une matrice fine puisque les fonctions de base Raviart-Thomas sont d´efinies orthogonales. Mais pour la matrice condens´ee, si c’est v´erifi´ee dans le cas RT0 vu pr´ec´edemment, cela ne l’est pas pour les ordres sup´erieurs. On a en effet un ph´enom`ene de remplissage `a l’int´erieur des mailles car l’´egalit´e devenue
Z
ne peut ˆetre simplifi´ee. Ainsi, la matrice grossi`ere est dans ce cas diagonale par bloc, o`u les blocs sont des termes de couplage entre les nœuds d’une mˆeme maille grossi`ere. En effet, comme illustr´e sur la figure 7.1, la contribution d’un mˆeme nœud fin `a droite et `a gauche n’est pas forc´ement la mˆeme. Et, si sur l’ensemble de la maille grossi`ere il y a sym´etrie des βji, il n’y a pas de sym´etrie pourf et Σ.
Fig.7.1 –Illustration 1D du remplissage li´e `a la contribution des nœuds fins (flux et courant) Ensuite, passons au terme de vitesse :
Z
Section 7.2 :Formules obtenues et impl´ement´ees 67 o`u on a les mˆemes observations que pour le taux de r´eaction pr´ec´edent.
7.2.2 Couplages impairs
Le terme de diffusion avec les bases de courant : Z
o`udest la direction du courant consid´er´ee (x,youz) ettla direction transverse correspon-dante (respectivementyz,zxouxy). On effectue donc une condensation 1D dans la direction consid´er´ee puis une condensation sur les directions transverses. La seconde est identique `a celles pr´esent´ees pr´ec´edemment mais la premi`ere est plus complexe puisque associ´ee aux nœuds de courants. Tout d’abord, il n’y a plus d’orthogonalit´e des fonctions de base. En-suite, certains nœuds ´etant `a la fronti`ere de la maille, ils ont une double contribution, une
`
a gauche et une `a droite, avec la difficult´e que la valeur (Df) est diff´erente de chaque cˆot´e.
Ce dernier point n’est pas gˆenant dans la phase de condensation puisqu’on retrouve bien dans l’´egalit´e pr´ec´edente les termes de la matrice fine :
Z
sans se soucier de quel cˆot´e ils sont. Il faut juste ne pas les prendre deux fois en compte.
Le probl`eme se situe au moment o`u on int`egre la forme dans la maille. Il faut le faire d`es l’assemblage. On ne peut pas se contenter de multiplier la matrice par le flux `a cause des termes `a double contribution.
Autre difficult´e, les termes de la matrice au diff´erence ne seront plus forc´ement norma-lis´es :
En effet, en plus du ph´enom`ene de remplissage, la pr´esence d’un poids diff´erent de 1 annule la propri´et´e qui permettait d’obtenir une matrice dont les termes valaient 1 ou−1. N´eanmoins, sans poids (ψ0 = 1) et avec une repr´esentation RT0, on a bien une matrice de termes normalis´es. Dans les cas plus complexes, il faudra soit modifier le solveur pour qu’il accepte cette sp´ecificit´e soit choisir une normalisation judicieuse des lignes de la matrice pour faire r´eapparaitre les 1 et −1.
Finalement, il reste une remarque `a faire sur la source issue de la divergence du courant de forme :
qui est donc trait´ee comme la source li´ee aux pr´ecurseurs. Le solveur MINOS stocke la fuite totale−→
∇.−→pφ avec le fluxφet il n’est donc pas n´ecessaire de l’´evaluer avant la condensation.
Ce stockage vient de la m´ethode de r´esolution qui calcule la divergence `a chaque it´eration.
Elle est donc stock´ee pour le bon fonctionnement et sa valeur physique.
7.2.3 Condensation des concentrations de pr´ecurseurs
Avant de conclure cette section sur la condensation spatiale, voyons rapidement com-ment elle est appliqu´ee pour le traitement des pr´ecurseurs. Comme on l’a vu dans la th´eorie, pour les pas de temps d’amplitude, on n’a besoin que d’une concentration de pr´ecurseurs condens´ee solution de l’´equation (6.21). On rappelle les choix : on peut calculer une concen-tration fine avec la forme int´egr´ee dans la maille puis la condenser pour les besoins de l’assemblage. C’est entre autre utile pour calculer une source fine qu’il ne reste plus qu’`a condenser pour l’int´egrer au syst`eme lin´eaire. L’inconv´enient est le surcoˆut de calcul et de stockage m´emoire. L’autre possibilit´e est de traiter directement l’´equation condens´ee puis-qu’elle a la mˆeme forme que celle fine. Il faut juste adapter le solveur pour ce cas particulier.
Les deux solutions ont ´et´e test´ees mais la seconde est plus pertinente en mati`ere de per-formances et est donc privil´egi´ee. Aucune diff´erence n’a ´et´e constat´ee sur la pr´ecision mais pour les cas test avec une forte composante des pr´ecurseurs (cf. chapitre 9).