Le traitement de la fonction d’amplitude s’effectue en deux temps. Tout d’abord, on condense les donn´ees spatiales. Ensuite, on r´esout le syst`eme condens´e obtenu sur un pas de temps de fa¸con ´equivalente au sch´ema de r´ef´erence.
6.2.1 Discr´etisation en espace
On part de la formulation faible mixte duale du syst`eme (6.4) obtenue apr`es projection et application de la formule de Green sur la deuxi`eme ´equation. On cherche (a,−→pa)∈L2(Ω)× th´eor`eme 3.1, on voit que les mˆemes conditions garantissent existence et unicit´e de la solution du probl`eme (6.4).
On verra l’´equation des pr´ecurseurs, associ´ee `a ce syst`eme, un peu plus loin dans la sous-section 6.4.1. On suppose quea, faiblement d´ependant en espace, peut s’´ecrire explicitement dans une base de Raviart-Thomas. Plus pr´ecis´ement, en pr´evision de la construction du syst`eme, et pour garantir la sym´etrie, on introduit un flux de poids ψ0, ind´ependant du temps, dans la base de a. Ainsi, on pose : Cette base ´el´ements finis macroscopiques est bien sˆur associ´ee `a une partition du domaine (Ωi)1≤i≤n. Cette d´ecomposition de domaine se retrouve dans la repr´esentation de l’amplitude si la base pr´ec´edente est d’ordre 0 (RT0). En effet, ainsi on a une valeur d’amplitude unique ai pour chaque sous domaine Ωi. C’est pour cela que l’on nomme cette approche quasi-statique locale. L’introduction deψ0 ne pose pas de probl`eme si on le d´efinit comme positif etL∞. On verra, plus loin, que les choix propos´es pour ce poids respectent cette condition.
Section 6.2 :R´esolution de l’amplitude 53 Remarque 6.1 Cette m´ethode est similaire `a l’approximation aux ´el´ements finis de Raviart-Thomas. N´eanmoins, on ne consid`erera pas par la suite que la repr´esentation (6.7) est une approximation. On supposera que l’amplitude s’exprime r´eellement et litt´eralement dans cette base.
On substitue les flux et courants test du syst`eme (6.6) par des ´el´ements de la base pr´ec´edente. D’o`u on obtient le syst`eme : termes condens´es d’un syst`eme grossier. Syst`eme que l’on veut r´esoudre pour d´eterminer les valeurs locales de l’amplitude. Suivant la mˆeme inspiration que pour le quasi-statique (condition (5.5)), on pose une condition de normalisation locale :
Z
Ω
V−1f ψ20Bi(0)Bi(0)0
−
→dr constante en temps et donc Z – de garantir l’unicit´e de la factorisation (6.1) ;
– de concr´etiser l’hypoth`ese de variation temporelle grossi`ere pour la forme.
On comprend donc que le poids ψ0 ait ´et´e ins´er´e dans la base (6.7) pour retrouver cette condition de normalisation pond´er´ee. C’est donc une transposition locale de la condition IQS (5.5) dans l’espace des ´el´ements finis grossiers de l’amplitude. On discutera plus loin et dans le chapitre suivant des choix possibles pour ce flux de poids (φ∗0, 1, ...). N´eanmoins, on peut d´ej`a noter que cette condition :
– est plus restrictive ;
– permet, comme la pr´ec´edente, de simplifier le terme de la d´eriv´ee en temps de la forme dans le syst`eme (6.8) ;
– devrait garantir une plus forte ind´ependance, que pour l’approche IQS, de la forme envers la variable temporelle.
C’est pour cette derni`ere raison que l’on s’autorise `a supposer une constance en temps des
termes suivants sur chaque intervalle grossier ∆TK. Ainsi, ∀t∈∆TK, on pose : paragraphe 6.4.1 sur le traitement des pr´ecurseurs. Pour le deuxi`eme, la divergence du courant de forme, puisque dans le mod`ele de la diffusion on n´eglige la d´eriv´ee en temps du courant (∂
−→ pφ
∂t ), cette supposition paraˆıt raisonnable. N´eanmoins, on peut remarquer que :
−
→∇.−→pf =−(Df)−1−→pa.−→pfF ick+a−→
∇.−→pfF ick, o`u −→pfF ick = −D−→
∇f. Avec cette ´egalit´e, on pourrait se ramener `a des termes dont on pourrait mieux expliciter la d´ependance en temps. Cependant, cela compliquerait fortement le syst`eme que l’on va construire. Ainsi, on se satisfait de cette supposition.
Le choix du flux de poids ψ0 reste encore `a d´eterminer. Si on posaitψ0 =p
φ∗0, on ob-tiendrait une condition de normalisation (6.9) qui serait la transposition locale de celle du quasi-statique (5.5). Cependant, cette racine serait difficile `a ´evaluer et compliquerait l’as-semblage du syst`eme lin´eaire (en particulier les matrices aux diff´erences, d´efiniton (4.19), ne seraient plus unitaires). De plus, les travaux [Bosio et al., 2001] (cf. section 5.3) montrent qu’une pond´eration locale peut ˆetre plus sophistiqu´ee. L’autre choix pourrait ˆetre de se passer de pond´eration :ψ0 = 1. N´eanmoins, la v´erification initiale de la condition de nor-malisation est une garantie suppl´ementaire pour l’ind´ependance de la forme envers le temps.
Dans le cas d’un poids unitaire, cela ferait d´efaut, sauf configuration de cœur critique. Inver-sement, un poids non unitaire complique les espaces de discr´etisation. Devant ce dilemme, notre choix de ψ0 sera essentiellement num´erique comme nous le verrons dans le chapitre suivant.
6.2.2 Discr´etisation en temps
Pour discr´etiser le syst`eme condens´e (6.8), l’amplitude est d´evelopp´ee selon unθ-sch´ema, d´efinition (3.15), sur les intervalles de temps fins ∆tk = [tk, tk+1] (δtk = tk+1−tk). Pour all´eger la r´edaction, on ´ecrit tout d’abord les ´equations (6.8) sous forme vectorielle :
et ainsi de suite. On a bien sˆur simplifi´e le terme li´e `a la condition de normalisation. Ainsi
Section 6.2 :R´esolution de l’amplitude 55 en int´egrant le syst`eme (6.11) sur un intervalle ∆tk, on obtient :
Pour l’amplitude, nous privil´egions un θ-sch´ema type Crank-Nicholson (θ = 1/2) pour sa pr´ecision. Nous verrons dans le paragraphe 6.4.1 comment le traitement condens´e des pr´ecurseurs participe au syst`eme pr´ec´edent. On aboutit donc `a un syst`eme lin´eaire `a r´esoudre qui a les mˆemes caract´eristiques que celui obtenu dans la m´ethode de r´ef´erence (sym´etrique, d´efini positif, bloc aux diff´erences, etc...). Ainsi, on peut utiliser pour le r´esoudre le solveur d´ej`a pr´esent dans l’environnement de calcul, c’est-`a-dire MINOS.
6.2.3 Assemblage du syst`eme lin´eaire
Donc si on r´e´ecrit maintenant les ´equations (6.12) sous la forme d’un syst`eme lin´eaire en int´egrant les deux discr´etisations :
On a donc bien une matrice sym´etrique. De plus, dans le cas particulier de bases ´el´ements
– les matricesBd sont des matrices aux diff´erences.
Rappelons que l’int´erˆet num´erique des matrices aux diff´erences, compos´ees de deux diago-nales de 1 et de −1, r´eside dans le fait que l’on n’a pas besoin de les stocker. Si l’on pose fg ∈L∞(Ω) etfg non nul sur Ω−ΓD (fg 6= 0 presque partout), comme pour la formulation continue, mais qu’en plus on ajoute ψ0 ∈ L∞(Ω), le th´eor`eme 3.5 s’applique. Ainsi, ces conditions garantissent existence et unicit´e de la solution du probl`eme. De mˆeme, sous ces conditions, les th´eor`emes 3.2 et 3.3 peuvent s’appliquer. Ainsi, les propri´et´es de la solution sont li´ees `a celles deD et [Σ].
Le syst`eme (6.13) est d´efini pour chaque groupe d’´energie g. On verra dans le para-graphe 6.4, apr`es l’int´egration des pr´ecurseurs, comment on peut compl´eter la condensation en espace par une condensation en ´energie. L’id´ee est que siavarie faiblement en espace, il peut aussi d´ependre faiblement de la variable d’´energie.