Nous avons vu que, pour tout choix den+ 1points d’interpolation, on peut construire une méthode qui est exacte sur les polynômes de degré au plusn(et mêmen+ 1dans certains cas). On peut maintenant se poser la question de savoir s’il existe unmeilleurchoix de ses points.
Commençons par un exemple avecn= 1(i.e.2points d’interpolation) dans l’intervalle]−1,1[. Etant donnéα∈]0,1], on considère les2points d’interpolation−α, αsymétriques par rapport au centre de l’intervalle. La formule de quadrature associée est donnée par
Par construction cette formule est exacte pour toutf ∈ R1[X]. Essayons de voir si on peut choisirαpour qu’elle soit aussi exacte pourf(x) =x2. On calcule
est exacte pour les polynômes de degré2. Par l’argument de symétrie déjà utilisé, on voit qu’en réalité la formule est également exacte pour les polynômes de degré3!
Ainsi, par le simple choix judicieux des points d’interpolation (sans en changer le nombre !) on a obtenu une formule à 2points dont le degré d’exactitude est3au lieu de1pour la formule usuelle de Newton-Cotes (i.e. la formule du trapèze).
Nous venons de construire la méthode de Gauss à2points. On va montrer que cette même idée peut se mettre en place pour tout choix den.
Théorème IV.1.4
Soit[a, b] un intervalle compact deRetn ≥ 0. Il existe un unique choix den+ 1points d’interpolation x0< ... < xntel que la formule de quadrature basée sur l’interpolation en ces points a un degré d’exactitude exactement de2n+ 1. C’est la formule de Gauss àn+ 1points notéeInG.
Par ailleurs, il n’existe aucune formule àn+ 1points dont le degré d’exactitude est strictement plus grand que 2n+ 1.
Preuve :
– Commençons par la dernière propriété. Soitx0 < ... < xndes points d’interpolation dans[a, b]. On considère le polynômeq(x) = (x−x0)2...(x−xn)2. Celui-ci est de degré2n+ 2, donc si la formule de quadrature associée
Ceci est impossible carqest positif non identiquement nul, donc son intégrale est strictement positive alors que la somme de droite est nulle par construction deq.
– Supposons que la formule donnée dans l’énoncé existe et posonsπ(x) = (x−x0)...(x−xn). C’est un polynôme de degrén+ 1.
Soit maintenantpun polynôme de degré inférieur ou égal àn. Le produitpπest de degré au plus2n+ 1et donc on doit avoir
Ainsi le polynômeπest unitaire et orthogonal àRn[X], ce qui montre que c’est nécessairement le(n+ 1)-ième polynôme de Legendre.
– Ce qui précède suggère de prendre comme points d’interpolation les racines dun+ 1-ième polynôme de Legendre (on a déjà vu que ce polynôme admet bienn+ 1racines distinctes dans]a, b[).
Montrons maintenant que ce choix convient en montrant que la formuleInest exacte pour tout polynômepde degré inférieur ou égal à2n+ 1. Pour cela, on effectue la division euclidienne deppar le polynômeπ(len+ 1-ième polynôme de Legendre), ce qui donne
p=πq+r, avecdeg(r)≤n.
En plus d’être exactes sur le plus de polynômes possibles, les méthodes de Gauss ont d’excellentes propriétés de stabilité et de convergence (même si cette notion a un intérêt pratique modéré comme on le verra ci-dessous).
Théorème IV.1.5
Soit[a, b]un intervalle compact deR. La formule de quadrature de Gauss àn+1points n’a que des coefficients ωi,nstrictement positifs et de somme égale àb−a.
En conséquence, la méthode est convergente au sens où InG(f)−−−−−→ points de Gauss. Le polynômel2i est de degré2net donc s’intègre exactement par la formule de Gauss
Z b
ce qui montre bien que ωj,n > 0. Par ailleurs la somme des coefficients n’est autre que la méthode de Gauss appliquée au polynôme constant égal à1, qui vaut donc la longueur de l’intervalle.
– Montrons maintenant la propriété de convergence. Pour cela, on introduit pour toutn≥0 Tn(f)def=
Z b a
f(x)dx−InG(f),
et on veut montrer queTn(f)→0quandn→ ∞pourf continue. D’après les propriétés précédentes nous avons
|Tn(f)| ≤2(b−a)kfk∞, ∀f ∈ C0([a, b]),∀n≥0.
2. Formules composites 63 ce qui montre bien le résultat.
En pratique, on n’utilise pas les formules de Gauss dans la limiten→+∞car le calcul des points de Gauss et des coefficients associés n’est pas facile (il faut déterminer les zéros des polynômes orthogonaux !) et assez couteux. De plus, quand la fonction étudiée est très régulière, l’erreur|Tn(f)|est contrôlée par des dérivées d’ordre élevé de la fonction, on n’est donc pas assuré, en général, d’une convergence très rapide.
Comme pour les formules de Newton-Cotes, les formules de Gauss sont quasi-systématiquement utilisées sous la forme composite comme on va le voir dans le paragraphe suivant. En effet, prendrengrand dans les méthodes de Gauss pose les problèmes suivants :
– Le calcul des coefficients de la méthode peut devenir couteux et instable quandnaugmente (tout dépend du poids wbien sûr). Voir le paragaphe3.1.
– La précision de la méthode dépend de la norme des dérivées d’ordrende la fonction étudiée, ce qui peut devenir rédhibitoire pour beaucoup de fonctions dont les dérivées successives peuvent vite devenir grandes.
2 Formules composites
2.1 Généralités
L’idée est de décomposer l’intervalle[a, b]initial en sous-intervalles via une subdivisiona=x0 <· · ·< xm=bet d’utiliser la relation de Chasles
Z b
On est ensuite ramenés à évaluer une approximation de chacune des intégrales élémentaires. Pour effectuer cette quadra-ture élémentaire, on utilise l’une des formules de quadraquadra-ture étudiées plus haut (Newton-Cotes, Gauss, etc ...) avec un nombre de points fixés. Dans ce qui suit, on utilisera la même formule sur chaque sous-intervalle mais bien sûr rien ne nous y oblige en toute généralité.
Fixons maintenant les notations. On se donne une formule de quadrature notée I01 pour approcher l’intégrale de fonctions continues sur l’intervalle de référence[0,1]. On notera
I01(f) = quenest le plus grand entier tel que
I01(f) = Z 1
0
f(x)dx, ∀f ∈Rn[X].
On peut ensuite transposer cette formule à un intervalle compact arbitraire[α, β]en écrivant Iαβ(f) = (β−α)
p
X
k=0
ωkf(α+θk(β−α)).
Par un changement de variable immédiat, on voit que cette formule a également un degré d’exactitude densur l’intervalle [α, β].
Théorème IV.2.6
SoitI01une formule d’intégration élémentaire sur[0,1]de degré d’exactitudenetIαβ la formule associée sur [α, β]. Il existe unC >0, qui ne dépend que dep, desωket desθkqui définissent la méthode élémentaireI01,
Preuve :
La preuve se déroule en deux temps. On montre tout d’abord le résultat sur l’intervalle élémentaire[0,1], puis ensuite on en déduit le cas général par changement de variable affine.
– Supposons que[α, β] = [0,1]. La formule de Taylor-Lagrange implique que
Le polynômeP est le polynôme de Taylor def en0. Comme il est de degré inférieur ou égal àn, la formule de quadrature est exacte, i.e.I01(P) =R1
Ce qui donne bien le résultat attendu.
– Si on se place maintenant sur l’intervalle[α, β], on posef˜(t) =f(α+ (β−α)t), de sorte que
Le résultat précédent donne donc bien
La constante C obtenue dans le théorème n’est pas optimale. La valeur optimale de la constante peut être déterminée à l’aide de notions un peu plus avancées comme le noyau de Peano par exemple (voir [Dem91, CM84]). Il ne me semble pas utile d’aller aussi loin dans le cadre de l’agrégation.
On peut maintenant définir la formule composite basée sur la quadrature élémentaireI01que l’on s’est fixée. Pour cela, étant donnée une subdivisiona=x0< x1< ... < xm−1< xm=bde l’intervalle[a, b], on pose
Sif est suffisament régulière, cette formule approche l’intégrale souhaitée et on peut préciser l’erreur commise.
Théorème IV.2.8
Autrement dit, l’ordre de convergence de la méthode composite estn+ 1.
Preuve :
2. Formules composites 65 On utilise la relation de Chasles et le résultat précédent
2.2.1 Formules de Newton-Cotes composites
Il s’agit de mettre en oeuvre l’approche générale ci-dessus dans le cas où la méthode de quadrature élémentaireI01est obtenue à partir de l’interpolation de Lagrange sur une subdivision uniforme de l’intervalle de référence[0,1].
Méthode des rectangles à gauche La formule s’écrit
SmRG(f) =
m−1
X
i=0
(xi+1−xi)f(xi).
Elle est du premier ordre.
Méthode des rectangles à droite La formule s’écrit
SmRD(f) =
m−1
X
i=0
(xi+1−xi)f(xi+1).
Elle est également d’ordre1.
Méthode du point milieu
Méthodes des trapèzes La formule s’écrit
SmT(f) =
Cette méthode est également d’ordre2.
Remarquons au passage que l’on a
STm(f) =1
2(SmRG(f) +SmRD(f)).