LE POTENTIEL INTERNE ET SES APPLICATIONS
3.17 FORMULES DE BRESSE
Considérons deux sections quelconques A et B d'une poutre à plan moyen chargée dans son plan. Connaissant les composantes du déplacement de A [UA (translation selon x), VA (translation selon y), γA (rotation dans le plan xy)], ainsi que les éléments de réduction courants, on se propose de calculer les composan-tes du déplacement de B (Figure 3.23).
En vertu du théorème complémentaire, le problème revient à calculer les composantes du déplacement de l'extrémité libre B du tronçon AB dont l'extrémi-té A subit les déplacements UA, VA et γA.
Dans le calcul des composantes du déplacement de B, on peut distinguer l'in-fluence des composantes UA, VA et γA et l'influence des charges.
a) Contribution des composantes UA, VA et γA
• La translation de composantes UA et VA est reproduite intégralement en tout point de AB donc :
• La rotation γA est également reproduite sur toute la longueur AB, donc : γA → γ'B = γA
De plus, la rotation d'ensemble γA est accompagnée d'une translation dont les composantes sont les composantes d'un vecteurL
→
L e p o t e n t i e l i n t e r n e e t s e s a p p l i c a t i o n s 6 7
b) Contribution des charges
Appliquons successivement les sollicitations unitaires C = 1, Fx = 1 et Fy = 1 (Figure 3.23b).
• Les éléments de réduction dans la section courante i, sous l'action de C = 1, sont : deux contributions examinées.
U U y y M y y
Si l'influence de N et de T est négligeable, les expressions ci-dessus se simpli-fient :
Déterminer les moments aux appuis de la poutre continue représentée à la fi-gure 3.24 sachant que l'appui (1) subit un affaissement de 5 mm.
A.N. : I = 3 000 cm4, E = 2 106 kg/cm2.
Afin d'obtenir des résultats applicables dans le cas général, nous supposons que la poutre considérée est chargée. Nous admettrons par ailleurs que l'in-fluence de T peut être négligée.
Particularisons l'expression de VB ci-dessus à deux travées successives d'une poutre continue droite. On obtient :
Figure 3.24
V V l M l x
Décomposons le moment final en la somme du moment des charges agissant sur les travées supposées isostatiques (MF) et des moments aux appuis (Mi) (Fi-gure 3.25).
Supposons que EI est constante sur chaque travée.
− = − = − + + agis-sant sur la travée li supposée isostatique,
- Zi est la distance de l'appui (i-1) au centre de gravité de l'aire Si,
Zi+1 représente la distance de l'appui (i+1) au centre de gravité de l'aire Si+1. Avec les égalités ci-dessus l'équation (c) donne :
M l intermédiaire. On verra dans le chapitre consacré aux poutres continues comment établir cette formule d'une autre manière.
Si EI est constante sur toute la longueur de la poutre, l'expression précédente devient :
En particularisant l'équation trouvée au cas qui nous intéresse, pas de charges extérieures et un seul déplacement d'appui, on trouve le système ci-après :
18 4 8 1
L e p o t e n t i e l i n t e r n e e t s e s a p p l i c a t i o n s 7 1
3.18 EXERCICES
Signes : Dans les réponses données, un déplacement vertical est positif vers le bas, un déplacement horizontal est positif vers la droite et une rotation est tive si la section tourne dans le sens horlogique. Une réaction verticale est posi-tive si elle est dirigée vers le haut alors qu'une réaction horizontale est posiposi-tive si elle agit vers la droite. Un moment fléchissant positif agit dans le sens horlogi-que.
Exercice 3.1
Calculer la flèche à mi-portée, compte tenu de M (fM) et de T (fT). Comparer l'in-fluence des deux efforts.
A. N. : Section rectangulaire (S=bh), h = 30 cm, b = 20 cm, ν = 0.15, E = 105 Kg/cm2 et κ = 1.2.
Rép. : fM = Pl3/48EI = 0.29 cm ; fT = κPl/4GS = 4.6 10-3 cm
Exercice 3.2
Calculer la flèche de l'extrémité libre.
Comparer les contributions de M et de T.
A. N. : Utiliser les données de l'exercice précédent.
Rép. : fM = Pl3/3EI = 0.118 cm ; fT = kPl/GS = 1.1 10-3 cm
Exercice 3.3
Déterminer l'expression de la rotation de l'appui B, compte tenu de M et de T.
Rép. : θB = Cl/3EI + κC/GSl
Exercice 3.4
Déterminer la rotation de la section A de la poutre de l'exercice 1 en considé-rant uniquement l'effort dominant.
Rép. : θA = Pl2/16EI = 2.25 10-3
Exercice 3.5
Calculer la flèche à mi-portée de la poutre de l'exercice 2 en considérant uni-quement l'effort prépondérant.
Rép. : f = 5Pl3/48EI = 7.4 10-3 cm
A P=1t B
2m 2m
P=200Kg
2m
l
C A B
7 2 C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S T A T I Q U E S
Exercice 3.6
Déterminer les expressions de la flèche et de la rotation de l'extrémité libre.
Rép. : f = (41/384).(ql4/EI) ; θ= (7/48)ql3
Exercice 3.7
Calculer la flèche de l'extrémité C de la poutre ci-contre, compte tenu de M et de T. Comparer les flèches provoquées par les deux efforts.
A. N. : Section rectangulaire (S=bh),
l = 4 m, a = 1 m, h = l/12, b = 20 cm, ν = 0.2, E = 3 105 Kg/cm2 et κ = 1.2.
Rép. : fM = 9 mm ; fT = 0.18 mm
Exercice 3.8
Calculer le déplacement ver-tical du nœud C. Les barres du système ont toutes la même rigidité extensionnelle ES.
A. N: a = 3 m, ES = 315 105 Kg.
Rép. : fC = 6 mm
Calculer les grandeurs indiquées des systèmes ci-après. Quand elle n'est pas précisée, la rigidité flexionnelle est supposée constante.
Exercice 3.9
fD? θB?
Rép. : fD = 16/EI tm3 ; θB = 8/3EI tm2
Exercice 3.10
fA?
Rép. : fA =31Pl3/81EI
q
l/2 l/2
A B
C l a
P=100Kg
a A
1 2
3 4 5 6
7 8
9 B
a a a
P=30t
C
2l/3 l/3
P A
P q=4t/m A
B C
a a a=2m
D
C=4tm
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Exercice 3.11 Exercice 3.12 une force verticale P (les câbles sont de même nature et de même section).
Déterminer les composantes hori-zontale et verticale du déplacement du barres b et c sont dans un même plan horizontal).
On négligera les effets directs de l'effort tran-chant. La section est circulaire de diamètre 2R, le module d'élasticité est E et le coefficient de Poisson ν. La poutre courbe ci-contre a un rayon de courbure R, un module d'élasticité E et un moment d'inertie I (par rap-port à un axe perpendiculaire à la fibre moyenne) constants.
Elle est soumise à une force horizontale P appliquée à son extrémité libre A.
Calculer les composantes horizontale et verticale du déplacement du point A, compte tenu de M uniquement.
Rép. : δ π
L e p o t e n t i e l i n t e r n e e t s e s a p p l i c a t i o n s 7 5
Exercice 3.18 Une poutre console, de lon-gueur l et de section S=bh cons-tante, est chargée comme indiqué à la figure ci-contre.
1) déterminer les expressions de la rotation et de la flèche de la poutre en utilisant la méthode d'in-tégration directe,
2) calculer la rotation et la flèche de l'extrémité libre et préciser le sens de chacun des 2 déplacements,
3) calculer la flèche de l'extrémité libre provoquée par l'effort tranchant seul, 4) calculer la rotation et la flèche de l'extrémité libre en utilisant le théorème de Castigliano,
Autres données : κ = 1.2, = 0.2 et l = 10h.
Rép. :
y P
EI l x P
EI x l Pl
EI
Pl EI
f Pl
GS f
f
M M
T
M T
' ( ) ; ( ) ; ; ;
; .
= − = − = − =
= =
2 6 6 2
69 4
2 3 3 2
y f
θ κ
Exercice 3.19
Soit la poutre représentée à la figure ci-contre.
Déterminer le rapport entre P1 et P2
pour que la flèche à mi-travée soit égale à celle de chaque extrémité.
Rép. : 22P1 = 5P2
Déterminer les réactions demandées des systèmes ci-après.
Exercice 3.20
RA? MB?
Rép. : R ql ql
A=3 B= −
8 8
2
M;
l P
C=Pl
l l=2m l=2m l
P1 P2 P1
l q
A B
7 6 C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S T A T I Q U E S
Exercice 3.21
RB?
Rép. : R Pa
B =3 l 2
Exercice 3.22
RHA ?
Rép. : RHA = 0.94P
Exercice 3.23 Exercice 3.24
RB? RVA? RHA?
Rép. : RB=3 08. t Rép. : EI A MiF MR dx Rx qx xdx
l iF l
δ ∂
=∫0 ∂ =∫0( − 22)
A B
l a
P
P
A B 1.25m
1.25m
3.75m 3.75m
A
2I I
h=5m
l=4m
q=1t/m P=10t
B
I I
2I
A
B
4m 2m
5m
2m F=5t
P=2t q=2t/m