Compte tenu des conclusions ´etablies pr´ec´edemment, la phase d’expansion inertielle est trait´ee avec le champ de d´eplacement incompressible suivant :
r(r0, t)3 = r30+ ω(t) (IV.11)
Les conditions initiales de ce nouveau probl`eme d´ecoulent des mˆemes conclusions. Les valeurs de ω et ˙ω `a t = τ sont donn´ees par la solution incompressible ω∗(t) du probl`eme
de la phase 1 (IV.8) :
ω(τ ) = ω∗(τ ) = b30[exp(Dτ ) − 1] , ω(τ ) = ˙˙ ω∗(τ ) = b30 D exp(Dτ ) (IV.12)
Afin de traduire l’expansion libre pendant laquelle la croissance de la cavit´e s’effectue sans apport suppl´ementaire de travail ext´erieur, la fronti`ere externe (r = b) est suppos´ee libre de contrainte. L’effort normal appliqu´e en r = a correspond `a l’action de la tension superficielle sur la paroi de la cavit´e interne. Les conditions aux limites du probl`eme de sph`ere creuse en phase 2 se r´esument ainsi :
σrr(r = a, t) = 2γ/a, σrr(r = b, t) = 0 (IV.13)
La forme locale et eul´erienne du bilan de quantit´e de mouvement (Eq. IV.4) est int´egr´ee de a `a b et conduit `a : σrr(r = b, t) − σrr(r = a, t) + Z b a 2 r(σrr− σθθ)dr = Z b a ρ¨rdr (IV.14)
En joignant `a (IV.14) les conditions aux limites (IV.13) et les lois de comportement de la matrice liquide (IV.3b, avec ϕ = 1 et ˙ϕ = 0), on obtient l’´equation diff´erentielle non- lin´eaire du second ordre suivante :
−2γ a + 4 3η ˙ω 1 a3 − 1 b3 = ρ0 ¨ω 3 1 a − 1 b + ω˙ 2 18 1 b4 − 1 a4 (IV.15)
3.2
R´esultats
L’´evolution de la porosit´e f = (a/b)3 = [(a
0+ ω)/(b0+ ω)]3, correspondant `a la solu-
tion de l’´equation diff´erentielle (IV.15) accompagn´ee des conditions initiales (IV.12), est illustr´ee pour deux valeurs de b0 sur la figure IV.5. A l’instant t = τ , la cavit´e, et donc la
porosit´e, continuent `a croˆıtre au cours d’une comp´etition entre l’´energie cin´etique motrice et les effets r´esistants de la viscosit´e et de la tension superficielle.
La figure IV.6 regroupe les r´esultats d’une ´etude param´etrique r´ealis´ee pour 10−8 m 6 b0 6 10−4 m dans les deux cas de chargement. Ce graphique repr´esente, en fonction de b0,
soit la porosit´e maximale atteinte fmax apr`es t = τ , soit la valeur prise `a t = 10τ si aucun
maximum n’est observ´e avant. Les carr´es bleus et rouges correspondent respectivement aux valeurs obtenues pour les cas de chargement No. 1 (impact de plaques) et No. 2 (chocs laser).
3. Etude de la phase 2 : Expansion inertielle libre 129
Fig. IV.5: Expansion inertielle libre de la sph`ere creuse liquide (phase 2 ). Exemples d’´evolution de la porosit´e f (t) apr`es t = τ pour b0= 5 µm (courbe continue rouge) et b0= 75 µm (courbe continue bleue) dans le cas de chargement No. 1. Les carr´es rouges et bleus sont obtenus `a partir de l’approximation analytique parabolique F (t) d´efinie par les ´equations (IV.12)-(IV.16)- (IV.18)-(IV.19) en ajustant le coefficient adimensionnel c.
Fig. IV.6: Abaque repr´esentant la porosit´e maximale atteinte fmax pour les 2 chargements en fonction de b0. Les solutions issues de la r´esolution du probl`eme de sph`ere creuse en phase 2 (carr´es) et leur approximation Fmax (courbes en pointill´es) pr´esentent un bon accord pour les plus faibles valeurs de b0.
130 Chapitre IV. Description de la cavitation dynamique des liquides Les deux courbes fmax(b0), translat´ees vers les plus faibles valeurs de b0 lorsque la vitesse
de dilatation D augmente, pr´esentent la mˆeme allure qui met en ´evidence trois r´egimes de cavitation :
1. Le r´egime de non-cavitation est observ´e pour les plus faibles valeurs de b0. La po-
rosit´e n’´evolue pas car la cavit´e s’effondre presque imm´ediatement sous l’action de la tension superficielle. La porosit´e maximale fmax est alors pratiquement similaire
`
a la valeur prise `a t = τ . Ce r´egime peut ˆetre d´efini par le crit`ere fmax 6 1, 1f (τ ).
La borne sup´erieure de l’ensemble des b0 qui remplissent ce crit`ere est not´ee b0c.
2. Pendant environ une demi-d´ecade `a partir de b0c, la porosit´e maximale atteinte fmax
augmente progressivement au cours d’un r´egime de transition.
3. Pour les valeurs de b0 plus ´elev´ees, fmax d´epasse syst´ematiquement 0, 6 avant t =
10τ . Le domaine b0 > b0∗ d´efinit ce r´egime de fragmentation par cavitation.
Afin d’´etendre ces r´esultats `a d’autres m´etaux liquides et d’autres conditions de charge- ment, restant toutefois suffisamment proches de celles ´etudi´ees ici, une solution analytique approch´ee est propos´ee. Celle-ci permet de d´efinir analytiquement les diff´erents r´egimes de cavitation. Compte tenu de l’allure de l’´evolution de la porosit´e dont la figure IV.5 fournit un exemple, l’hypoth`ese de d´epart consiste `a approcher les solutions num´eriques f (t) du probl`eme de sph`ere creuse en phase 2 par une fonction parabolique F (t) :
f (t) ≈ F (t) = A + Bt + Ct2 (IV.16)
La premi`ere contrainte impos´ee aux coefficients A, B et C est le respect des conditions initiales (IV.12). En travaillant en porosit´e, celles-ci s’expriment `a l’aide de la fonction f∗(t) donn´ee par l’´equation (IV.9) :
F (τ ) = f∗(τ ), F (τ ) = ˙˙ f∗(τ ) (IV.17)
et se traduisent sur les coefficients de la fonction F (t) par :
A = f∗(τ ) − ˙f∗(τ )τ + Cτ2, B = ˙f∗(τ ) − 2Cτ (IV.18)
En postulant que l’´evolution de la porosit´e pendant la phase 2 r´esulte principalement d’une comp´etition entre l’´energie cin´etique et la tension superficielle, et en admettant que l’information sur la vitesse est d´ej`a prise en compte dans (IV.18), nous proposons d’exprimer le coefficient C en fonction de la masse totale de la sph`ere creuse ∼ ρ0b3 et de
la tension superficielle γ. Le respect des dimensions conduit `a l’expression suivante, qui fait intervenir la constante adimensionnelle c :
C = c · γ/(ρ0b30) (IV.19)
La figure IV.5 fournit un exemple graphique de la forme parabolique F (t). Les solutions num´eriques f (t), en trait continu, sont bien reproduites par la fonction F (t) repr´esent´ee par des carr´es. La fonction F (t) permet alors de d´efinir l’expression analytique de Fmax
qui constitue ainsi une approximation de fmax :
fmax≈ Fmax = A −
B2
3. Etude de la phase 2 : Expansion inertielle libre 131 L’expression de Fmax est obtenue en combinant les relations (IV.16)- (IV.18)-(IV.19) et
l’expression de la fonction f∗(t) donn´ee par l’´equation (IV.9). Le choix c = −4, 8 permet
d’obtenir une approximation satisfaisante de f (t), et donc de fmax, sur une plage de b0
allant du r´egime de non-cavitation au d´ebut du r´egime de fragmentation par cavitation. Les courbes en pointill´es de la figure IV.6 repr´esentent les valeurs de Fmax ainsi obtenues.
Les ´ecarts observ´es, mineurs pendant le r´egime de transition, puis tr`es importants apr`es le d´ebut du r´egime de fragmentation par cavitation, sont principalement dus `a la perte de la forme parabolique pour les porosit´es ´elev´ees et `a l’apparition plus significative de l’effet de la viscosit´e. N´eanmoins, l’approximation parabolique permet de d´efinir correctement les domaines d’existence de chaque r´egime.
Le crit`ere fmax 6 1, 1f (τ ), qui ´etablit le domaine correspondant au r´egime de non-
cavitation, peut ˆetre approch´e par Fmax 6 1, 1F (τ ) et conduit `a :
b0 6 b0c ≈
0, 4 c γ [exp (Dτ ) − exp (2Dτ )] ρ0D2
1/3
(IV.21) L’approximation de b0cvaut respectivement 3, 42µm et 0, 16µm pour les cas de chargement
No. 1 et 2. Ces valeurs sont report´ees sur la figure IV.6.
Bien que F (t) ne fournisse pas une bonne approximation de f (t) sur tout le domaine correspondant au r´egime de fragmentation par cavitation, le crit`ere fmax> 0, 6 peut ˆetre
approch´e par Fmax > 0, 6 afin de pr´eciser les conditions d’apparition de ce r´egime :
b0 > b0∗≈
4 c γ exp (Dτ ) [0.4exp (Dτ ) − 1] ρ0D2
1/3
(IV.22) L’approximation de b0∗vaut respectivement 8, 9µm et 0, 41µm pour les cas de chargement
132 Chapitre IV. Description de la cavitation dynamique des liquides