Pour trouver les excitations en amplitude et en phase du réseau, le problème de synthèse de réseau est formulé en problème d’optimisation convexe. Cette formulation prend en compte la topologie du réseau (linéaire, planaire, circulaire, etc.), les diagrammes de rayonnement élémentaires des antennes et les contraintes radioélectriques, notamment le gabarit.
Nous considérons un réseau composé de N = 16 antennes situés à des positions 𝑟⃗𝑛 par rapport au centre du système de coordonnée, avec n = 1,…,N (voir Figure I-23). La description du diagramme de rayonnement du réseau est faite dans un seul plan appelé plan azimutal où le champ électrique évolue en fonction de l’angle φ. Chaque antenne rayonne un champ électrique lointain En qui est simulé ou mesuré en présence des autres antennes. Ce diagramme est appelé diagramme environné [44], [45] et il permet de prendre en compte le couplage entre antennes. Le diagramme de rayonnement résultant du réseau linéaire s’écrit :
E(φ) = a(φ)Hx I.4-1
avec le vecteur directeur : 𝐚(φ) = [E1(φ)eik𝑟̂1.𝑟̂(φ)… E
N(φ)eik𝑟̂N.𝑟̂(φ)],
où 𝐱 = [x1 … xN] est le vecteur d’excitation complexe du réseau, r̂(φ) est un vecteur
unitaire dans la direction φ et ()𝐻 est une opération de transposition hermitienne. Il faut
noter que le vecteur d’excitation est déterminé par rapport à une fréquence fo qui correspond au nombre d’onde en espace libre k =2π
λ𝑜. Ce vecteur permet de satisfaire le
I.4 Formulation du problème de synthèse
40
Figure I-23 : Synoptique d'un réseau linéaire d’antennes.
Afin d’illustrer les méthodes de synthèse de réseau qui seront proposées dans ce chapitre, nous avons considéré le cas d’un réseau linéaire composé de N =16 antennes de type dipôle espacées de 0,5λo, tel que λo correspond à la fréquence fo = 3,6 GHz. Le diagramme de rayonnement des dipôles est celui du modèle théorique [46] sans prise en compte du couplage. Le choix de la fréquence centrale fo= 3,6 GHz permet d’équilibrer les avantages et les inconvénients d’un espacement 0,5λo, qui peut être trop petit pour les fréquences basses (perte de directivité) ou trop grand pour les fréquences hautes (gain de directivité) [19] de la bande de fonctionnement du réseau (3,4 -3,8 GHz).
I.4.1 Contraintes en rayonnement
Le problème de synthèse consiste à trouver, à une fréquence fo, le vecteur d’excitation 𝐱 afin de rayonner un faisceau formé dans la direction φmax. Le problème est formulé
comme suit : Trouver x sous C(x) = { |a(φmax)Hx| ≥ α max{|a(φ)Hx|} ≤ α √2, φ ∉ φ HPBW max{|a(φ)Hx|} ≤ α ρSLL, φ ∈ φ SL I.4-2
Le vecteur 𝐱 regroupe les variables d’optimisation du problème. L’expression C représente les contraintes d’optimisation du problème I.4-2. Ces contraintes sont illustrées sur la Figure I-24. Les domaines d'optimisation de ces contraintes peuvent être représentés par la Figure I-25. Le problème d'optimisation sous contrainte I.4-2 est convexe si toutes les contraintes sont convexes. C'est bien le cas pour les contraintes sur les lobes secondaires et l'ouverture à mi-puissance car elles définissent un disque, comme représenté sur la Figure I-25b. En revanche la contrainte sur le niveau minimal du champ dans la direction du maximum de rayonnement est non convexe. Il s'agit en effet du plan excepté un disque comme représenté sur la Figure I-25a. Pour rendre cette contrainte convexe, la reformulation suivante a été proposée dans [47]:
Re{a(φmax)Hx} ≥ α
Il est important de remarquer que maximiser la partie réelle du champ revient à maximiser son amplitude car les excitations complexes xn sont optimisées à une phase
41
globale près. La solution optimale obtenue 𝐱 est alors nécessairement atteinte en Im{𝐚A(φAmax)H𝐱
A ∗
} = 0 où Im est la partie imaginaire. Cette observation est précisément ce qui permet la transformation du problème initial en problème d'optimisation convexe (voir la Figure I-25 a et c).
Figure I-24 : Gabarit de rayonnement d’un faisceau.
Figure I-25 : Les domaines d’optimisation des contraintes du problème I.4-2. (a) : représente le
domaine d’optimisation non convexe de la 1ère contrainte, (b) : les domaines d’optimisation
convexe de la 2ème et la 3ème contraintes et (c) : le domaine d’optimisation de la 1ère contrainte
I.4 Formulation du problème de synthèse
42
Comme on peut le voir sur la Figure I-24, la 1ère contrainte dans la formulation du
problème I.4-2 est celle définissant la direction de rayonnement principale φmax où α
représente le niveau maximal du champ électrique incident à une distance r du réseau. Ce niveau de champ est également représentatif de la puissance isotrope rayonnée équivalente du réseau (PIRE), les deux sont reliés par l’expression suivante [21] :
α =√30 ∗ PIRE r
Dans le cas où le réseau émet un seul faisceau à une puissance de 50 dBm, le niveau maximal du champ électrique vaut 54,8 V/m à une distance de 1m. En procédant ainsi, la solution au problème d’optimisation à savoir le vecteur x permettra de déterminer les puissances et les phases d’excitation des antennes.
La deuxième contrainte porte sur l’ouverture à mi-puissance (HPBW) du diagramme de rayonnement du réseau. Elle définit le domaine angulaire φHPBW pour lequel le champ
rayonné doit être supérieur à la moitié de la puissance rayonnée. La dernière contrainte, qui concerne la région angulaire φSL , permet de fixer le niveau maximal des lobes
secondaires (SLL) à une certaine valeur α
ρSLL, tel que ρSLLest le rapport entre le niveau du
champ à φmaxet le niveau maximal des lobes secondaires (voir Figure I-24).
Le problème de synthèse peut être étendu à plusieurs faisceaux, émis simultanément par le réseau sur des fréquences distinctes fA et fB, comme schématisé sur la Figure I-26.
Le problème s’exprime alors :
Trouver xA, xB sous C(xA, xB) = {CA(xA) CB(xB)
I.4-3
où CA et CB correspondent aux contraintes en rayonnement des faisceaux aux fréquences
fA et fB respectivement. La résolution du problème convexe I.4-3 conduit à deux jeux
d'excitation xA et xB qui permettent de satisfaire simultanément les contraintes CA et CB.
Figure I-26 : Réseau d’antennes à fonctionnement multifaisceaux. Les antennes sont alimentées par les signaux 𝐬𝐀𝐧 et 𝐬𝐁𝐧 (faisceaux A et B) de pondération (amplitude et phase) 𝐱𝐧,𝐀 𝐞𝐭 𝐱𝐧,𝐁
43
I.4.2 Contrainte de linéarité des amplificateurs
Dans la logique de conception du réseau d’antennes actives reconfigurable multifaisceaux, nous pouvons considérer toutes les possibilités de dépointages, de formation de faisceaux ou de changement de PIRE. Par conséquent, pour garantir un fonctionnement correct des amplificateurs, il convient d’introduire une contrainte de puissance afin de s’assurer que ces derniers seront toujours utilisés en dessous de leur point de compression P1dB. Cette contrainte supplémentaire a pour effet de limiter la
puissance en sortie de chaque amplificateur en dessous d’un certain seuil Pmax. Dans le cas de deux faisceaux, cette contrainte s’écrit :
|xn,A|2 + |xn,B|2 ≤ Pmax/Po I.4-4
où Po= ZIo2
2 est une puissance de référence qui vaut 1 W (Z représente l’impédance
d’accès au port de l’antenne et Io le courant de référence). Le seuil devra être situé en dessous de la puissance au point de compression P1dB. La différence entre Pmax et P1dB
dépendra du PAPR du signal et du niveau de linéarité souhaité. Dans le cas de transmissions de données où l’on a recours à des modulations numériques à enveloppe non constante, nous fixons le seuil Pmax comme suit :
Pmax≤ P1dB− 2 dB.
Cette contrainte est nécessaire pourvu que le résultat de la synthèse soit implémentable.
I.4.3 Méthode de résolution convexe
La résolution d'un problème d'optimisation convexe est aujourd'hui une technologie mature pour des problèmes de taille raisonnable (< 1000 inconnues). Il existe en effet de nombreux programmes d'optimisation disponibles gratuitement en ligne qui permettent de résoudre des problèmes d'optimisation convexes [48]–[50]. Nous avons utilisé la routine CVX [48], qui est un système de modélisation basé sur MATLAB pour l'optimisation convexe.
Toute la difficulté réside donc dans la mise en évidence et la formulation du problème de synthèse de réseau en un problème d'optimisation convexe. Pour plus de détails, le livre des Professeurs Boyd et Vandenberghe [51] est une excellente introduction à l'optimisation convexe et ses applications potentielles. Dans les sections suivantes, nous décrivons comment formuler le problème de synthèse de réseau robuste et avec réduction de la consommation énergétique en problème d'optimisation convexe.