3. Le MCVRP avec fenêtres de temps
3.4. Formulation mathématique
• Chaque dépôt a sa propre flotte qu’il utilise pour procéder à la livraison. • Le nombre et le temps d’exploitation des camions sont limités.
• Interdire le retour des produits vers le dépôt. • Les fenêtres de temps doivent être respectées.
3.2.5. Objectifs. — L’objectif primordial de l’entreprise NAFTAL, comme toute entreprise bénéfique, est d’avoir un rendement positif et cela en assurant une bonne gestion de la distribu-tion de ses produits. Nous pouvons, donc, fixer l’objectif comme étant la minimisadistribu-tion du coût journalier de la livraison des carburants supportés par l’entreprise et qui se traduit par : • La meilleure affectation des camions NAFTAL.
• La réduction de la part des transporteurs tiers (privés et publics).
3.3. Travaux autour de ce problème
Ce problème, tel qu’il est défini ci-dessus, trouve ses racines dans le problème de tour-nées de véhicules avec compartiments multiples et fenêtres de temps (MCVRP-TW). Celui-ci, malgré ses nombreuses applications dans la logistique, il est très peu étudié dans la littéra-ture. À notre connaissance, seulement quatre articles ont tenté d’étudier le MCVRP-TW. Nous sommes parmi les premiers à étudier ce problème [18]. Rappelons également les deux articles de Melechovský. Dans le premier article [144], il a proposé une approche heuristique basée sur la recherche locale. Dans le second article [145], l’auteur a abordé la version sélective du problème (SMCVRP-TW) issue de la livraison des épiceries et des supérettes. Enfin, Kaabi et Jabeur [122] se sont inspirés fortement du travail de Melechovský [144] et ont adressé le MCVRP-TW avec profit. Les auteurs ont proposé une approche hybride combinant l’algo-rithme génétique et la recherche locale itérée.
À des fins de comparaison, l’ensemble des auteurs ont transformé les instances de Solomon [202], développées initialement pour le VRPTW classique.
3.4. Formulation mathématique
Après avoir défini le problème faisant l’objet de ce chapitre ainsi que toutes ses caractéris-tiques, il s’agit à présent d’exhiber son modèle mathématique. Le modèle se présente en deux volets. D’abord, les contraintes qui forment les balises auxquelles le problème a été astreint. Puis, vient la fonction objectif spécifiant le but à atteindre lors de la résolution de ce problème.
3.4. FORMULATION MATHÉMATIQUE 63
3.4.1. Exploitation et analyse des données. — Avant d’entamer la modélisation du pro-blème, nous nous sommes intéressés à la collecte, le traitement et l’analyse de toutes les in-formations relatives aux principaux composants du problème, à savoir, la flotte des camions, les clients, les trajets et les dépôts. Ci-après, nous présentons les informations recueillies afin qu’elles soient exploitables par notre modèle mathématique.
• Données sur la flotte : Ce sont essentiellement le nombre et la capacité des camions, le code du camion, le temps maximum d’utilisation des camions, les vitesses de parcours, les coûts fixes et les coûts variables des camions, etc.
• Données sur les clients : Les informations les plus importantes sont le nombre de produits à livrer, la quantité de chaque produit, le nom et la localisation des clients, les distances client-client, les distances dépôt-client et l’estimation des temps de chargement/déchargement. • Données sur les trajets : Certains paramètres concernant les trajets sont aussi nécessaires pour le dispatching, tels que la densité de la circulation, les contraintes relatives à l’utilisation de certains trajets (ponts, tunnels, etc) par chaque camion.
• Données sur le dépôt : Une estimation des temps d’attente et de chargement au niveau du poste de chargement est aussi importante.
3.4.2. Notations. — Les notations utilisées sont présentées comme suit : • N : Ensemble de clients. N = {1, 2, ..., n}.
• 0 : Indice du dépôt. V = N ∪ {0}.
• P : Ensemble de produits. P = {1, 2, ..., p}. • K1: Ensemble de camions de l’entreprise. • K2: Ensemble de camions de location. • k ∈ K1∪ K2: Indice du camion.
• Qk: Ensemble de compartiments du camion k. • q ∈ Qk: Indice du compartiment.
• CCk: Capacité du camion k.
• ccqk : Capacité du compartiment q du camion k.
• vdip: Quantité (volume) du produit p demandée par le client i. • di j : Distance du trajet (i, j) (i, j ∈ V ).
• ci j : Coût de parcours du trajet (i, j).
• c0i j : Coût supplémentaire associé à l’utilisation des camions de location.
• f1(u / km) : Constante utilisée pour le calcul de ci j ( f1= 0.685 donnée par l’entreprise). • f2(u / km) : Constante utilisée pour le calcul de c0i j ( f2= 0.497 donnée par l’entreprise).
3.4. FORMULATION MATHÉMATIQUE 64
• [ai, bi] : Fenêtre de temps du client i. Celle du dépôt ([a0, b0]) représente l’horizon de service.
• ti j : Temps de parcours du trajet (i, j). • tsi: Temps de service au client i. • M : Valeur très grande.
Les variables de décisions sont : • xi jk=
1 si j est visité immédiatement après i dans la tournée du camion k. 0 sinon.
• yipk=
1 si le client i reçoit le produit p par le camion k. 0 sinon.
• zpqk=
1 si le produit p est affecté au compartiment q du camion k. 0 sinon.
• aki=
1 si le camion k peut visiter le client i. 0 sinon.
• sik: L’heure de début de service du client i par le camion k.
3.4.3. Contraintes et interprétations. —
• La contrainte (3.4.1) garantie qu’un camion n’est affecté à un client que s’il peut lui livrer.
yipk≤ aki, i ∈ N, k ∈ K1∪ K2, p ∈ P (3.4.1) • Les contraintes (3.4.2) et (3.4.3) assurent la continuité de la route, c’est à dire, tout camion visitant un client doit le quitter pour visiter un autre.
∑
i∈V xihk−∑
j∈V xh jk= 0, h ∈ N, k ∈ K1∪ K2 (3.4.2) xi jk+ xjik≤ 1, i, j ∈ N, i 6= j, k ∈ K1∪ K2 (3.4.3) • Les contraintes (3.4.4) et (3.4.5) imposent le dépôt comme point de départ et d’arrivée de toutes les tournées de camions.∑
j∈N x0 jk≤ 1, k ∈ K1∪ K2 (3.4.4)∑
i∈N xi0k≤ 1, k ∈ K1∪ K2 (3.4.5)• La contrainte (3.4.6) exige que la capacité de n’importe quel compartiment q affecté au pro-duit p doit être respectée.
3.4. FORMULATION MATHÉMATIQUE 65
∑
i∈N
vdipyipk≤ ccqk, k ∈ K1∪ K2, q ∈ Qk, p ∈ P (3.4.6) • La contrainte (3.4.7) signifie que toute demande de produit p doit être livrée par un seul camion. En d’autres termes, la contrainte interdit le fractionnement (split) de la livraison du produit p.
∑
k∈K1∪K2
yipk= 1, i ∈ N, p ∈ P (3.4.7)
• La contrainte (3.4.8) assure la liaison entre les variables de visite yipk et les variables de routage xi jk. Si le client i n’est pas visité par le camion k, la contrainte fixe à zéro la variable yik ppour chaque produit p.
yipk≤
∑
j∈V
xjik, i ∈ N, k ∈ K1∪ K2, p ∈ P (3.4.8) • La contrainte (3.4.9) assure la cohérence temporelle des tournées. Cela dit, au fur et à mesure que la tournée du camion k se construit, l’heure de départ au niveau des différents clients est générée. Ainsi, l’heure de départ du client i doit être inférieure à celle du client j lorsque xi jk= 1.
sik+ tsi+ ti j− M(1 − xi jk) ≤ sjk, i, j ∈ V, k ∈ K1∪ K2 (3.4.9) • La contrainte (3.4.10) assure que chaque client doit être servi dans un intervalle de temps prédéfini.
ai≤ sik≤ bi, i ∈ V, k ∈ K1∪ K2 (3.4.10) • Les contraintes (3.4.11), (3.4.12) et (3.4.13) définissent les domaines de définition des va-riables de décision.
xi jk∈ {0, 1}, i, j ∈ V, k ∈ K1∪ K2 (3.4.11) yipk∈ {0, 1}, i ∈ N, k ∈ K1∪ K2, p ∈ P (3.4.12)
sik≥ 0, i ∈ N, k ∈ K1∪ K2 (3.4.13)
3.4.4. Fonction objectif. — L’objectif (3.4.14), pour ce problème, est de minimiser le coût total incluant les coûts de transport et les pénalités liées à l’utilisation des camions tiers.
Minimize