Formulation de l’énergie

Considérons un processus ponctuel marqué X spécifié par une densité non normalisée h(.) définie dans C. La densité h(.) se décompose en différents termes qui peuvent être

définis à travers des énergies. Ainsi, pour une configuration x ∈C, la densité est donnée par :

h(x) = exp −(Uext(x) +Uint(x) +Uexcl(x)) (2.4) Ces trois termes énergétiques sont présentés brièvement dans la suite. Pour plus de détails, le lecteur pourra consulter [Ortner, 2004; Ortner et al., 2007].

Terme d’attache aux données Uext

Ce terme permet de mesurer la qualité d’une configuration de rectangles connaissant les données, en l’occurrence un MNE. Il peut être décomposé en une somme d’énergies Ud(.) associées à chaque objet de la configuration, c’est-à-dire tel que Uext(x) =∑_u∈xUd(u). Ainsi, pour chaque rectangle u ∈ x, une énergie locale d’attache aux données est calculée grace à un algorithme fondé sur la comparaison entre les discontinuités présentes dans le MNE et les contours du rectangle.

La figure 2.2-(a) présente un extrait de MNE, ainsi qu’un rectangle sur lequel des coupes ont été disposées. Afin de mesurer la qualité du positionnement du rectangle par rapport au MNE, on extrait, sur chaque coupe, des points d’intérêt correspondant à des discontinuités du MNE (voir figure 2.2-(b)). Ces points d’intérêt sont détectés par un algorithme de sim- plification de profil détaillé dans [Ortner et al., 2007]. On vérifie ensuite la cohérence entre ces points et le contour rectangulaire de l’objet en utilisant trois critères. Le premier critère permet de calculer un taux de volume, c’est-à-dire de vérifier si la surface définie par les points d’intérêt a un recouvrement compatible avec celle du rectangle (voir la figure 2.2-(c) - les lignes grises représentent des segments utilisés pour calculer le taux de volume). Le second critère correspond à un taux de moment, et permet de mesurer l’orientation du rec- tangle relativement aux points d’intérêt (voir la figure 2.2-(d) - les lignes grises représentent des segments utilisés pour calculer le taux de moment). Enfin, le troisième critère vérifie si les points d’intérêt sont bien localisés relativement aux contours du rectangle (voir la figure 2.2-(e) - les points d’intérêt suffisamment proches des contours du rectangle sont entourés).

FIG. 2.2 – Energie d’attache aux données : un extrait de MNE avec un rectangle proposé (a),

points d’intérêt détectés (b), taux de volume (c), taux de moment (d), taux de localisation (e).

2.1 Caricatures de bâtiments par agencement de rectangles : rappel et analyse de

travaux antérieurs 35

Energie interne Uint

L’énergie interne Uint(x) permet de donner une structure spatiale particulière à la confi- guration x. C’est un terme de régularisation qui prend en compte trois types d’interactions entre objets voisins. Le premier permet de favoriser l’alignement des rectangles. Cela est particulièrement efficace pour extraire les longues structures urbaines, souvent parallèles aux réseaux routiers, sans pour autant perdre la notion de connexité entre les objets. Le deuxième type d’interactions, dit de pavage, agit sur les configurations parallèles de rec- tangles afin de modéliser les configurations de bâtiments juxtaposés. Enfin, les interactions de complétion favorisent le raccordement des rectangles très proches par l’ajout de rec- tangles complémentaires. Cela permet d’obtenir des configurations dont les rectangles sont emboîtés les uns aux autres, ce qui est particulièrement utile dans le cas des zones urbaines denses. La figure 2.3 illustre ces trois types d’interactions.

FIG. 2.3 – Energie interne : interactions d’alignement (a), interactions de pavage (b), inter-

actions de complétion (c)

Energie d’exclusion Uexcl

Ce terme permet d’éviter la présence d’objets redondants. Il empêche, principalement, les interactions attractives de provoquer une accumulation inutile d’objets à certains en- droits. Ce terme pénalise ainsi les objets ayant un taux de recouvrement important avec d’autres objets.

Optimisation

Une fois la densité h définie, l’objectif est de trouver la configuration de rectangles bx qui maximise h :

bx= arg max

x h(x) (2.5)

Un échantillonneur de Monte Carlo par Chaînes de Markov à Sauts Réversibles (RJMCMC) [Green, 1995], couplé à un recuit simulé est particulièrement adapté pour aborder les pro- blèmes fondés sur une modélisation par processus ponctuels marqués [Van Lieshout, 2000]. Cet échantillonneur consiste à construire une chaîne de Markov à temps discret sur l’espace d’état. Un des principaux avantages réside dans le fait que la chaîne converge asymptotique- ment vers la densité désirée quelque soit la configuration initiale. Les transitions de cette

chaîne correspondent à des transformations locales de la configuration d’objets, appelées mouvements ou sauts. Ces mouvements sont simulés par des noyaux de propositions. Nous ne rentrerons pas dans les détails de cet algorithme (le lecteur pourra se référer à [Ortner, 2004] ou à la partie 3.3.1 du manuscrit), cependant il est intéressant de décrire les différents noyaux de propositions qui génèrent les transformations d’objets.

La figure 2.4 présente les noyaux utilisés. Les deux premiers types de noyaux sont les naissances et morts uniformes, qui permettent respectivement d’ajouter et de supprimer aléatoirement un rectangle dans la configuration d’objets. Ces deux transformations, qui correspondent à des sauts dans des espaces de dimension supérieure (naissance) et infé- rieure (mort), sont les deux noyaux de base, suffisant pour garantir que la chaîne de Markov puisse atteindre n’importe quelle configuration de l’espace d’état. Il est cependant impor- tant de définir d’autres noyaux, plus pertinents, afin d’accélérer la convergence du proces- sus. Ainsi, on introduit des noyaux de naissance et mort dans un voisinage [Van Lieshout, 2000; Lacoste et al., 2005], permettant d’ajouter/supprimer des objets dans un voisinage de rectangles de la configuration courante. Trois autres noyaux sont également introduits, à savoir la rotation, la dilatation et la translation : il s’agit de perturbations visant à modifier les paramètres des objets.

FIG. 2.4 – Les différents noyaux de propositions qui régissent l’échantillonneur RJMCMC

L’échantillonneur RJMCMC nécessite une relaxation stochastique pour assurer la conver- gence du processus. Il est ainsi couplé à un recuit simulé [Metropolis et al., 1953]. Ainsi, la densité h(.) est remplacée par h(.)Tt1 où T_t est une séquence de température qui tend

vers 0 quand t tend vers l’infini. En pratique, une décroissance géométrique, détaillée dans [Van Laarhoven et Aarts, 1987], est utilisée. Ce schéma de décroissance est particulièrement efficace pour obtenir une solution approchée de manière relativement rapide. Au début de l’algorithme (i.e. quand la température est élevée), le processus n’est pas très sélectif, ce qui permet d’explorer les différents modes de la densité. Quand la température décroît, les configurations d’objets ayant une densité élevée sont favorisées. A basse température, le processus est proche de la solution optimale. La figure 2.5 présente un exemple de l’évolu- tion d’une configuration d’objets au cours de la décroissance de température.

2.1 Caricatures de bâtiments par agencement de rectangles : rappel et analyse de

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FIG. 2.5 – Processus d’optimisation - Exemple de l’évolution d’une configurations d’objets

au cours de la décroissance de température (haut), décroissance énergétique associée, et décroissance de température (bas).