Connexion des supports

Le but est de transformer un agencement de rectangles en un agencement d’objets géo- métriques dont les éléments voisins peuvent se connecter sans recouvrement de surface. En excluant les formes courbées, les polygones sont les objets naturellement adaptés à ce problème. Nous introduisons dès lors la notion de connexion entre deux polygones : Définition 1 soient P1et P2, deux polygones, et S1 et S2, leur surface respective. P1 et P2 seront ditsconnectés si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

• S◦1T ◦ S2=/0

• P1et P2ont au moins une arête commune

Les polygones sont toutefois des objets pouvant être très complexes. Or, il est important qu’ils puissent être décrits à travers un nombre restreint de paramètres, afin de ne pas com-

plexifier la combinatoire du processus de reconstruction. La solution consiste à limiter les formes polygonales considérées à des quadrilatères et triangles quelconques. La figure 2.8 illustre une transformation de deux rectangles en une association de quadrilatères et tri- angles connectés.

FIG. 2.8 – Illustration d’une transformation de deux rectangles voisins en une association

de quadrilatères quelconques connectés

La méthode retenue consiste à transformer localement les couples de rectangles voisins en association de quadrilatères quelconques connectés (ces quadrilatères pouvant être des triangles). La relation de voisinage, permettant de définir si deux rectangles sont voisins, consiste à vérifier si l’intersection de leur "sur-rectangle" est non vide (cette relation est détaillée en annexe A). La figure 2.9 permet de schématiser le problème : les points A et B doivent être mis en relation dans le secteur extérieur, de même que les points C et D dans le secteur intérieur1_{. Ce problème n’est pas trivial notamment à cause des nombreuses dispo-}

sitions possibles de paires de rectangles voisins. Ces dernières dépendent de la largeur des rectangles, de leur orientation relative, et de la distance les séparant. La figure 2.9 présente quelques exemples de dispositions possibles.

FIG. 2.9 – Deux rectangles voisins (gauche), différents exemples de dispositions de deux

rectangles voisins (droite).

Près d’une centaine de dispositions de couples de rectangles sont possibles : il n’est pas envisageable de les traiter au cas par cas. Il faut définir un processus général de transforma-

1_{La frontière séparant le secteur intérieur du secteur extérieur est définie par les deux médianes des rec-}

tangles. Dans certaines situations (médianes parallèles disjointes), ces deux secteurs ne sont pas représentés. Les points A, B, C et D sont alors définis comme les deux paires de points de chaque rectangle ayant la distance deux à deux la plus courte.

2.2 Régularisation en supports structuraux 41

tion des couples de rectangles voisins. Nous proposons seize configurations différentes de transformations permettant de traiter les dispositions possibles. La figure 2.10 schématise ces seize configurations. Dans le secteur extérieur, quatre possibilités de mise en relation des points A et B sont permises. Celles-ci sont fondées sur des intersections issues de droites prolongeant les arêtes des rectangles. Concernant le secteur intérieur, les quatre mêmes pos- sibilités sont autorisées. Finalement, quatre × quatre configurations sont proposées.

FIG. 2.10 – Les quatre possibilités de mise en relation du secteur extérieur (gauche), les

quatre possibilités de mise en relation du secteur intérieur (droite).

Afin de choisir la configuration la mieux adaptée parmi les seize pour une disposition de rectangles donnée, nous définissons une fonction de coût C qui prend en compte la dis- position relative des rectangles, mais également le MNE. Il peut arriver que la configuration choisie ne soit pas pertinente. Ainsi, la configuration choisie doit avoir un coût inférieur à un coût de référence Cre f, sans quoi la transformation n’est pas appliquée et les deux rec- tangles restent inchangés. La fonction de coût C se décompose en trois termes :

• un terme d’attache au MNE, qui évalue la qualité de la configuration par rapport au MNE.

• un terme de recouvrement surfacique, qui favorise les taux de recouvrement élevés entre les deux rectangles et les quadrilatères proposés.

• un terme de correspondance des contours, qui permet de comparer la pertinence des contours des quadrilatères relativement à ceux des deux rectangles initiaux.

Ces trois critères sont pondérés entre eux par deux poidsω1 etω2. La fonction de coût

s’exprime donc par :

C = CMNE+ω1Crecouvrement+ω2Ccontour (2.6)

ω1andω2ont été fixés respectivement à 0,5 et 0,8. Le coût de référence Cre f, qui permet d’autoriser ou non la transformation, est fixé à 0,2.

Critère d’attache au MNE

Ce terme permet de mesurer la qualité de la configuration proposée par rapport au MNE. Pour cela, nous calculons le taux de pixels inclus dans les quadrilatères proposés, dont la valeur est supérieure à l’altitude d’un bâtiment d’un demi étage (en pratique, 1,5 mètre). Plus ce taux est élevé, plus la configuration est favorisée et donc plus le coût est faible. En notant N, le nombre de ces pixels, et Nt, le nombre total de pixels contenu dans les quadrilatères, le critère d’attache au MNE s’exprime par :

CMNE =1 − N

Nt (2.7)

Critère de recouvrement surfacique

Ce critère prend en compte le recouvrement surfacique entre les deux rectangles ini- tiaux, et les quadrilatères proposés. Nous voulons que la surface avant et après transforma- tion soit sensiblement inchangée. Soit SR, la surface de l’union des deux rectangles, et SQ, la surface de l’union des quadrilatères proposés. Le critère de recouvrement est donné par :

Crecouvrement =| SQ− SR|

SR (2.8)

Critère de cohérence des contours

Ce terme mesure la cohérence des contours entre les deux rectangles initiaux, et les quadrilatères proposés. Il est indispensable au bon fonctionnement du processus puisqu’il permet d’éviter les configurations complexes et peu réalistes, comme celle schématisée sur la figure 2.11. Notons Lin (respectivement Lout), la longueur totale intérieure (respective- ment extérieure) des quadrilatères proposés. Notons également L1et L2, les longueurs des

deux rectangles. Le coût de ce critère est :

Ccontour=| Lout+Lin− 2(L1+L2) |

2(L1+L2) (2.9)

Pour un agencement de rectangles complet, nous traitons localement tous les couples de rectangles voisins par ce procédé. Le résultat est une association de quadrilatères connectés, comme le montre la figure 2.13 (centre - emprises bleu). La forme générale des emprises a été conservée. De plus, grâce au terme d’attache au MNE utilisé dans la fonction de coût, nous pouvons remarquer que les petits artefacts générés par le recouvrement de rectangles ont été éliminés, ce qui permet d’améliorer nettement la qualité des contours des emprises. Le processus mis en place est relativement simple. Cependant, il constitue une étape nécessaire à la mise en place de notre approche structurelle. En théorie, le résultat de cette étape aurait pu être obtenu directement en utilisant une approche par processus ponctuels marqués, c’est-à-dire une approche similaire à celle développée dans la partie 2.1, où les objets auraient été des quadrilatères quelconques. En pratique, cela n’est pas envisageable : les objets, bien que simples, sont déjà paramétriquement trop complexes pour espérer des temps de calculs abordables.

2.2 Régularisation en supports structuraux 43

FIG. 2.11 – Critère de cohérence des contours : configuration pénalisée (gauche), configu-

ration favorisée (droite).