Formulation Forte

Considerons l’´ecoulement d’un fluide newtonien dans une cavit´eΩ ferm´ee et de di- mension finie, dont la paroi s’´ecrit∂Ω. Cette cavit´e correspond au domaine de calcul dans lequel la vitesse et la pression du fluide ´evoluent avec le temps. Le vrai domaine de calcul est doncΩ× [0,T ], et les inconnues sontv(x, t)etp(x, t),∀(x, t) ∈ Ω×[0,T ].

3.2.1.1 Equilibre Dynamique

Un tel ´ecoulement r´epond `a la loi fondamentale de la dynamique dont l’´equation (nomm´ee ´equation de l’´equilibre dynamique) s’´ecrit de la fa¸con suivante :

∇ · σ + F − I = 0 (3.8)

o`u σ est le tenseur des contraintes, F repr´esente les forces ext´erieures agissant sur le fluide, etI est l’inertie du syst`eme. G´en´eralement, on consid`ere que seules les forces gravitationnelles jouent un role dans les ´ecoulements de fluides, donc F = ρg, ou ρ est la masse volumique du fluide (en kg · m3), et g est l’acc´el´eration gravita- tionnelle (_{−9.81m ·s}2). L’inertie, elle, peut ˆetre ´ecrite sous la formeI = ρε(α)γ, avec

γ l’acc´el´eration du fluide et ρε(α) la masse volumique globale variable, construite dans l’´etape pr´ec´edente de r´esolution :

−∇ · σ + ρε(α)γ = ηε(α)g (3.9)

Le tenseur des contraintes peut ˆetre d´ecompos´e en une partie d´eviatorique s et une partie sph´erique pI :

ou p est la pression hydrostatique, et I est le tenseur identit´e. Dans le cas d’un fluide `a comportement newtonien comme c’est le cas ici, la partie d´eviatorique des contraintes est connue pour ˆetre :

s = 2ηε(α)²(v) (3.11)

o`u ηε(α) est la viscosit´e globale du fluide (en Pa.s) variant sur le domaine con- struit pr´ecedemment, et²(v)est le tenseur des vitesses de deformation tel que :

²(v) = 1

2(∇v + ∇v

T_{) (3.12)}

Avec une formulation eul´erienne pour l’acc´el´eration, nous avons :

−∇ · (2ηε(α)²(v) − pI) + ρε(α)d v_{d t} = ρε(α)g (3.13)

Puis :

−∇ · (2ηε(α)²(v)) + ∇p + ρε(α)(∂v

∂t + ∇v · v) = ρε(α)g (3.14)

3.2.1.2 Continuit´e

L’´equation de la conservation de la masse s’´ecrit :

∂ρε(α)

∂t + ∇ · (ρε(α)v) = 0 (3.15)

Pour un ´ecoulement incompressible, l’´evolution de la masse volumique en fonc- tion de temps est nulle. On se limite donc `a :

Afin de fermer ce probl`eme, on doit lui ajouter des conditions initiales, ainsi que des conditions aux limites. En g´en´eral, avec la consid´eration d’espaces fonction- nels ad´equats et de conditions limites assez r´eguli`eres, il existe une solution unique `a ce probl`eme [40]. Les conditions appliqu´ees aux limites sur ∂Ω peuvent ˆetre de type Dirichlet sur la vitesse v = vg, ou de type Neumann avec une force surfacique

σ_{· n = f}.

3.2.1.3 Navier-Stokes Incompressible

La formulation forte du probl`eme de Navier-Stokes incompressible, dans laquelle il faut trouver v(x, t) et p(x, t), _{∀(x, t) ∈ Ωx[0,T ]}, est la suivante :

½

ρε(α)∇v_∇t + ρε(α)∇v · v − ∇ · (2ηε(α)²(v)) + ∇p = ρε(α)g

∇ · v = 0 (3.17)

La mod´elisation en m´ecanique des fluides par ces ´equations permet de simuler des ´ecoulements visqueux plus ou moins turbulents. Le nombre de Reynolds est une valeur adimensionnelle qui quantifie cette turbulence : plus il est ´elev´e, plus il y a la possibilit´e de turbulence. D’une mani`ere g´en´erale, il est d´efini de cette fa¸con :

Re = ρε(α)U L

ηε(α) (3.18)

o`uU (enm.s−1_{) etL (enm) sont une vitesse et une longueur caract´eristiques de}

l’´ecoulement consid´er´e. Dans notre cas le fluide inject´e ´etant hautement visqueux, la hauteur de chute importante et la vitesse de l’´ecoulement suffisamment faible : le nombre de Reynolds reste faible (Re de l’ordre de 1). Nous consid´erons donc des ´ecoulements non turbulents.

3.2.2

Formulation Variationelle

3.2.2.1 Notations

Nous introduisons, tout d’abord, les espaces fonctionnels n´ecessaires pour ´etablir la formulation faible des ´equations de Navier-Stokes :

V ₌ ¡H1(Ω)¢d V0 ₌ ¡H1 0(Ω) ¢d P ₌ L2(Ω) (3.19)

o`u L2_{(Ω) est l’espace de Lebesgue des fonctions carr´ees sommables sur un do-}

maineΩ, et H1(Ω) est l’espace de Sobolev inclus dans L2(Ω) :

L2(Ω) = ©q ,R_Ωq2dV < ∞ª H1(Ω) = nq ∈ L2(Ω), ∇q ∈¡L2(Ω)¢do H1 0(Ω) = © q ∈ H1_{(Ω), q = 0sur∂Ω}ª (3.20)

De plus on introduit la notation du produit scalaire dans L2(Ω) :

(f1, f2) =

Z

Ωf1f2dV ∀ f1, f2 ∈ L

2_{(Ω) (3.21)}

3.2.2.2 Forme Faible

Nous ´ecrivons le probl`eme faible li´e aux ´equations de Navier-Stokes incompressibles avec une m´ethode de Galerkin Standard. On recherche la vitesse v et la pressionp

dans les espaces fonctionnels V et P. Pour cela, on effectue le produit scalaire du probl`eme au sens L2 (voir d´efinition (3.21)) par des fonctions tests w et q choisies dansV0 et P : 1 2 ¡ ∇v + ∇vT¢ : ∇w =1 2 ¡ ∇v + ∇vT¢ :1 2 ¡ ∇w + ∇wT¢ (3.22)

On choisi les fonctions tests w telles que w = 0 sur Ω de fa¸con `a ce que l’on puisse simplifier en int´egrant par partie `a l’aide de la formule de Green :

Z Ω(∇p · w) = Z Ω(p · ∇ · w) + Z Ω(p · w · n) = Z Ω(p · ∇ · w) (3.23)

Le probl`eme variationnel consiste donc `a trouver (v, p) ∈ (V,P), quels que soient

(w, q) ∈ (V0,P), tels que : R Ωρε(α)∂v∂t · w + R Ωρε(α) · ∇v · v · w + R Ω2ηε(α)²(v) : ²(w) − R Ωp · ∇ · w = R Ωρε(α)g · w R Ωq∇ · v = 0 (3.24)

Ou alors, en appliquant la notation de la d´efinition (3.21), nous obtenons : ³ ρε(α)∂v_∂t, w ´ + (ρε(α)∇v · v,w) + (2ηε(α)²(v) : ²(w)) − (p,∇ · w) = (ρε(α)g , w) (∇ · v,q) = 0 (3.25) Avec : ²(v) = 1 2(∇v + ∇v T_{) (3.26)}

Afin que le probl`eme soit correctement pos´e il est n´ecessaire d’imposer des con- ditions initiales : v = v0et p = p0pour t = 0et des conditions aux bords que nous

choisissons de type Dirichlet.

3.2.3

Discr´etisation

Nous discr´etisons la forme faible, obtenue pr´ecedemment (3.25) `a l’aide d’une m´eth- ode ´el´ements finis. Ceci consiste `a d´efinir des espaces fonctionnels Vh, V0_h et Ph

de dimensions finies ”proches” des espaces V, V0 et P de dimensions infinies. On approche ensuite la solution(v, p) ∈V_×P de (3.25) par (vh, ph) ∈Vh×Ph, quels que

soient (wh, qh) ∈ (V0_h,Ph).

Nous proc´edons d’abord `a la discr´etisation deΩ, en se donnant un maillage Th(Ω)

deΩ. Avec h la taille moyenne des ´el´ements du maillage consid´er´e appel´e taille de maille. Plus la taille de maille est petite plus l’approximation des espaces fonction- nels est pr´ecise. Nous appellerons Ωh le domaine ainsi discr´etis´e. Les ´el´ements K

constituant ce maillage sont des d-simplexes (c’est `a dire des triangles en 2D et des t´etra`edres en 3D), et l’on a :

Ωh = [ K ∈Th(Ω)

K (3.27)

La g´en´eration du maillage est r´ealis´ee `a l’aide du logiciel MTC [13] qui, `a partir d’une d´efinition g´eom´etrique, cr´ee une discr´etisation spatiale compos´ee de t´etra`edres structur´ee ou non structur´ee.

3.2.3.1 Forme Discr`ete

Le probl`eme discr´etis´e consiste donc `a trouver (vh, ph) ∈Vh×Ph quels que soient (wh, qh) ∈ (V0_h,Ph), tels que :

³

ρε(α)∂v_∂th, wh ´

+ (ρε(α)∇vh· vh, wh) + (2ηε(α)²(vh) : ²(wh)) − (ph,∇ · wh) = (ρε(α)g , wh)

(∇ · vh, qh) = 0 (3.28)

Pour plus de d´etail sur la discr´etisation se rapporter `a [2].

3.2.3.2 Fonction Bulle

La librairie Cimlib utilise l’´el´ementP1+_{/P1, introduit par [20]. Cet ´el´ement, repr´esent´e}

sur la Figure 3.2, consiste `a choisir la pression ph continue sur Ωh et lin´eaire sur

chaque ´el´ement du maillage. La vitessevh est choisie continue sur Ωh, et se d´ecom-

pose, sur un ´el´ement, en la somme d’une partie lin´eaire et d’une partie non lin´eaire appel´ee fonction bulle.

Figure 3.2: El´ement P1+_{/P1 : MINI-´el´ement.}

La fonction bulle sert `a assurer la condition de compatibilit´e de Brezzi-Babuska [6]. Elle s’annule sur la fronti`ere de l’´el´ement, et est affine par morceau sur les quatre sous-t´etra`edres internes `a l’´el´ement (version propos´ee par [16]). Les espaces Vh et Ph s’expriment alors par :

Vh = Vh⊕ Bh Vh = ©wh ∈ C0(Ωh)3; wh|K ∈ P1(K )3ª Bh = ©bh ∈ C0(Ωh)3; bh|∂K = 0 et bh|∂Ki ∈ P1(Ki)3i = 1,...,4 ª Ph = ©qh ∈ C0(Ωh) ; qh|K ∈ P1(K )ª (3.29)

o`u(Ki)i = 1,...,4est la d´ecomposition du t´etra`edreK en quatre sous-t´etra`edres ayant

de degr´e inf`erieur ou ´egal `a 1. L’erreur d’approximation de l’´el´ementP1+/P1 est du premier ordre (en O(h) o`uh est la taille de maille). Pour plus de d´etail se rapporter `a [7].