Formes modulaires - Formes modulaires et leurs propriétés arithmétiques

{Surf. de R. de genre 1}/biholom

{Réseaux de C}_/homothétie ^Λ7→^∼^C^/Λ ^//{tores complexes}_/isom

∼

1.2 Formes modulaires

Γ désigne toujours un sous-groupe d'indice ni dans SL₂(Z).

1.2.1 Fonctions modulaires de poids0. On rappelle qu'une fonction méromorpheX 99K Csur une surface de RiemannX(donc dénie en dehors de ses pôles) se prolonge de manière unique en une application holomorphe X −→ P¹(C). On note M_X le corps des fonctions méromorphes sur X. Par exemple M_P¹_(C) 'C(z). Un résultat spectaculaire de la théorie (dont nous n'avons pas besoin) dit que X 7→ M_X est une équivalence entre la catégorie des surfaces de Riemann compactes munie des applications holomorphes non-constantes, et la catégorie des corps à engendrement ni et degré de transcendence1 surC. C'est une motivation pour étudier le corps M_X_(Γ).

Soit ϕ une fonction méromorphe X(Γ) −→ P¹(C). Notons f la composée H −→

X(Γ) −→^ϕ P¹(C). C'est une fonction méromorphe Γ-invariante sur H. Réciproquement, si on se donne une telle fonction f, celle-ci descend bien à Y(Γ) mais pour pouvoir la prolonger à X(Γ), il faut une condition de méromorphie aux pointes.

Pour expliciter cette condition, partons plus généralement d'une fonction méromorphe f surH qui est horizontalement périodique au sens où il existe un entier non nul h tel que f(z) = f(z+h)(autrement dit,f est invariante par une matrice[¹_{0 1}^h]). Elle s'écrit comme une fonction méromorphe en q= exp(2iπz/h)∈D\ {0} et admet donc un développement

f(z) = X

n∈Z

a_nqⁿ

au voisinage de q = 0 (donc de z = ∞). On dit que f est méromorphe à l'inni si cette fonction de q est méromorphe en 0, c'est à dire si a_n= 0 pourn <<0. On note alors

ord∞,h(f)le plus petit n∈Z tel que a_n6= 0,

et on dit que f est holomorphe à l'inni si ord∞,h(f) > 0. On peut remarquer que ces notions ne dépendent pas du choix de h tel que f soit [¹_{0 1}^h]-invariante (mais bien-sûr l'entier ord∞,h dépend deh).

Revenons à une fonction méromorphe Γ-invariante. Pour une pointe x ∈ P¹(Q), on choisit τ ∈ SL₂(Z) tel que τ x = ∞, et on dit que f est méromorphe ou holomorphe à la pointe x si τ^∗f :z 7→ f(τ⁻¹z), qui est horizontalement périodique, est méromorphe ou holomorphe à l'inni. Cela ne dépend pas du choix de τ, pas plus que l'entier

ord_x,h(f) := ord∞,h(τ^∗f).

Les fonctions f :H−→C invariantes parΓ et méromorphes sur Het aux pointes sont appelées fonctions modulaires de niveau Γ et poids 0. Elles correspondent aux fonctions méromorphes sur X(Γ).

Les fonctions f : H −→ C invariantes par Γ et holomorphes sur H et aux pointes sont appelées formes modulaires de niveau Γ et poids 0. Elles correspondent aux fonctions holomorphes sur X(Γ), et sont donc ... constantes !

1.2.2 Formes modulaires de poids 2. Après les fonctions méromorphes, il est naturel de regarder les formes diérentielles méromorphes surX(Γ). Sur un ouvertU deCune forme diérentielle holomorphe, resp. méromorphe, s'écrit ω =f(z)dz avec f holomorphe, resp.

méromorphe. Si ϕ :V ∼

−→U est un biholomorphisme sur un autre ouvert de C, on peut transporter ω en ϕ^∗ω = f(ϕ(z)).ϕ⁰(z)dz. Sur une surface de Riemann X plus générale, une forme diérentielle est la donnée, pour chaque carte X ⊇O ∼

−→U ⊂C, d'une forme diérentielle sur U, et ce de manière compatible avec la formule de changement de carte ci-dessus.

Soit π:H−→X(Γ)la restriction de la projection canonique àH⊂H^∗. Une forme dif-férentielle méromorpheωsurX(Γ)induit une forme diérentielle méromorpheΓ-invariante π^∗ω=f(z)dz. La condition d'invariance s'écrit :

∀γ ∈Γ, f(γz)d(γz) =f(z)dz

et un calcul montre que pour γ = [^{a b}_{c d}], et en posant j_γ(z) =cz+d on a d(γz) =j_γ(z)⁻²dz.

On a donc la propriété suivante d' automorphie sur la fonctionf

∀γ ∈Γ, f(z) =jγ(z)⁻²f(γz).

Puisquej_±[¹_{0 1}^h](z)² = 1, on voit que toute fonctionf satisfaisant cette propriété d'automor-phie est horizontalement périodique. De même, pour toutτ ∈SL2(Z), la forme diérentielle τ^∗(f.dz) = j_τ(z)⁻²f(τ z)dz est invariante sousτ⁻¹Γτ donc la fonctionj_τ(z)⁻²f(τ z)est ho-rizontalement périodique. On dit alors que f est méromorphe ou holomorphe à la pointe τ∞ si la fonction z 7→ jτ(z)⁻²f(τ z) est méromorphe ou holomorphe à l'inni. Cela ne dépend pas du choix de τ, pas plus que l'entier²

ord_x,h(f) := ord∞,h(j_τ(z)⁻²f(τ z)).

Une fonction modulaire de niveau Γ et poids 2 est une fonction sur H qui satisfait la propriété d'automorphie ci-dessus et est méromorphe sur H et aux pointes. Une telle fonction correspond donc à une forme diérentielle méromorphe surX(Γ).

Une forme modulaire de niveau Γ et poids 2est une fonction modulaire qui est de plus holomorphe sur Het aux pointes.

Attention. L'holomorphie de f n'est pas équivalente à celle de ω! ! Pour expliquer cela, introduisons la notationord_P(f)pour l'ordre du zéro ou du pôle en un point P d'une fonction méromorphe f sur une surface de Riemann. Si on développe f = g(z) dans une coordonnée locale z au voisinage de P on a ord_P(f) = ord₀(g). De même, si dans cette coordonnée on développe une forme diérentielle méromorphe sous la forme ω = g(z)dz, alors l'entier ord₀(g)ne dépend pas du choix de la coordonnée et se noteord_P(ω). Bien sûr ω est holomorphe en P si et seulement si ord_P(ω)>0.

2. on remarquera que cette dénition de ordx,h(f) est diérente de la précédente (sauf si x = ∞), qui s'appliquait à une fonctionΓ-invariante. Ici, c'est f dzqui estΓ-invariante. La notation peut paraitre ambigüe, mais l'ambiguité n'existe que pour une fonctionf telle quef etf dz sontΓ-invariantes. Or une telle fonction est nulle.

Lemme. Soit ω une forme diérentielle méromorphe sur X(Γ) et soit f la fonction méromorphe sur H telle que π^∗ω =f(z)dz. Alors on a les égalités suivantes :

i) ord_P(f) = ord_π(P₎(ω) si P est un point de H ordinaire pour Γ.

ii) ord_P(f) =e.ord_π(P₎(ω) +e−1siP est un point elliptique d'ordre e (égal à 2 ou 3).

iii) ord_x,h(f) = ord_π(x)(ω) + 1 si x est une pointe d'ordre h.

Démonstration. i) et ii). On a vu qu'au voisinage d'un point P de H, il existe une coor-donnée locale z⁰ =τ(z) telle que π est de la forme z⁰ 7→z^0e, avece = 1si P est ordinaire.

La fonction u=z^0e descend donc en une coordonnée locale autour de π(P). Il s'ensuit que si ω = g(u)du au voisinage de π(z₀), alors π^∗ω = g(z^0e)d(z⁰^e) = ez^0e−1g(z^0e)dz⁰ et donc ordP(f) = ordP(π^∗ω) = ord0(z^0e−1g(z⁰^e)) = e.ord0(g) +e−1 = e.ordπ(P)(ω) +e−1.

iii) Quitte à translater par un τ ∈ SL₂(Z) on peut supposer que x= ∞. Dans ce cas, on a vu que q = exp(2iπz/h) est une coordonnée locale autour de π(x). Ainsi si ω est de la forme g(q)dq, π^∗ω est de la forme 2iπ/h.g(exp(2iπz/h)).exp(2iπz/h)dz = f(z)dz, de sorte que f(z) = 2iπ/h.q.g(q), et nalement ord∞,h(f) = ord₀(q.g(q)) = ord₀(g(q)) + 1 = ord_π(x)ω+ 1.

Notons

M2(Γ) leC-espace vectoriel des formes modulaires de niveau Γ et poids 2

S₂(Γ)le sous-espaces des formes modulaires paraboliques (aussi appelées cuspidales, et en anglais cusp forms), qui par dénition sont celles qui s'annulent aux pointes (ieordx,h(f)>0 pour chaque pointex).

La théorie des diviseurs de Weil et en particulier le théorème de Riemann-Roch montre que ces espaces sont de dimension nie et permet de calculer leur dimension. Faisons quelques rappels à ce sujet.

Un diviseur sur X est une somme P

P∈Xa_P[P] où a_P ∈ Z est nul sauf pour un nombre ni de points. L'ensemble des diviseurs Div(X) est donc le groupe abélien libre de baseX. Il est partiellement ordonné par la relation P

PaP[P]6P

P bP[P] sia_P 6b_P pour toutP.

Le dégré d'un diviseur est déni par deg(P

Pa_P[P]) =P

Pa_P ∈Z.

A toute fonction méromorphe non-nulle f on associe son diviseur div(f) :=X

ord_P(f)[P].

On adiv(f g) = div(f)+div(g)etdiv(f+g)>inf(div(f),div(g)).³On obtient ainsi un homomorphisme de groupe M^×_X −→^div Div(X) dont l'image est notée Div.pr(X). Un tel diviseur est dit principal. Le quotientDiv(X)/Div.pr(X)s'appelle groupe de Picard de X et se note Pic(X). (C'est l'analogue du groupe des classes d'un corps de nombres).

3. Ici la notation inf est à prendre comme un pgcd pour la relation d'ordre partiel sur les diviseurs.

C'est donc l'élément maximal parmi les élements inférieurs àdiv(f)et div(g).

L'applicationdegse factorise parPic(X). En eet, si l'on considèref ∈ M^×_X comme une application holomorphe X −→P¹(C) dont on note e_P l'indice de ramication en un pointP ∈X, alors

div(f) = X

P7→0

eP[P]− X

P7→∞

eP[P] donc son degré est nul.

De même à toute forme diérentielle méromorphe on associe div(ω) = X

ordP(ω)[P].

Commediv(f ω) = div(f) + div(ω),∀f ∈ M^×_X, l'image deω dansPic(X)ne dépend pas deω, s'appelle le diviseur canonique de X, et se note K.

Si D∈Div(X), on note

L(D) :={f ∈ M^×_X, div(f) +D>0} t {0}.

C'est unC-espace vectoriel dont la dimension`(D) :=dim_CL(D)ne dépend que de l'image de D dans Pic(X), puisque pour f0 ∈ M^×_X, la multiplication par f0 induit un isomorphisme linéaire L(D) ∼

−→L(D+ div(f0)). Le théorème de Riemann-Roch arme que

`(D) = deg(D) + 1−g+`(K−D)

oùgest le genre deX. Sachant que`(0) = 1(fonctions holomorphes surXcompacte, donc constantes) , on voit en particulier, en prenant D= 0 puis D=K, que

`(K) =g et deg(K) = 2g−2.

Il s'ensuit que si deg(D) > 2g−2, alors deg(K −D) < 0 donc L(K −D) = {0}

(puisqu'un diviseur positif a un degré positif) et

`(D) = deg(D) + 1−g.

Revenons à X = X(Γ) et notons D_π :=P

P∈X(Γ)(1−1/e_P)[P]∈ Div(X(Γ))⊗_ZQ où e_P vaut1pour un point ordinaire, 2ou3pour un point elliptique, et+∞pour une pointe.

On a donc deg(D_π) = ¹₂n₂+ ²₃n₃+n_∞. Corollaire. On a les égalités

dimC(M2(Γ)) =`(Dπ+K) =g−1 +n∞, dimC(S₂(Γ)) =`(K) =g.

Démonstration. Le lemme précédent nous dit que l'application ω 7→ f dénie par π^∗ω = f(z)dz induit un isomorphisme

{ω, div(ω) +Dπ >0} t {0} ∼

−→ M2(Γ).

Fixons une forme diérentielle méromorphe ω0 sur X(Γ)⁴, et écrivons les autres sous la forme ω=g.ω₀, alors puisquediv(ω) = div(g) + div(ω₀), l'applicationg 7→gω₀ 7→f induit un isomorphisme

L(div(ω₀) +D_π) ∼

−→ M₂(Γ).

La même application induit l'isomorphisme L(div(ω₀) +D_π− X

P7→∞

[P]) ∼

−→ S₂(Γ).

Notons bDπc la partie entière de Dπ, c'est-à-dire bDπc =P

P7→∞[P]. Alors bien-sûr, on a L(div(ω₀) +D_π) = L(div(ω₀) +bD_πc). Il s'ensuit que

dimC(M2(Γ)) =`(div(ω0) +bDπc) =`(K+bDπc) = `(K+ X

P7→∞

[P]).

On a deg(K +P

P7→∞[P]) = 2g −2 + n∞ > 2g −2 de sorte que la forme simpliée du théorème de Riemann-Roch s'applique pour donner

`(K+ X

P7→∞

[P]) = deg(K+ X

P7→∞

[P]) + 1−g =g−1 +n∞. Par le même raisonnement, on obtient que

dimC(S₂(Γ)) =`(div(ω₀) +bD_πc − X

P7→∞

[P]) =`(K) = g.

1.2.3 Formes modulaires de poids k ∈N. Pour un entier k ∈Z, on dénit une action de GL2(R)⁺ sur M_X par la formule

f[γ]k(z) := det(γ)^k/2jγ(z)^−kf(γz).

Le fait que ce soit une action, i.e. que [γγ⁰]k = [γ]k[γ⁰]k, découle de la formule jγγ⁰(z) = j_γ(γ⁰z)j_γ⁰(z) que l'on vériera sans peine.

On espère que le paragraphe précédent rend plus naturelle la dénition suivante : Définition. Soit Γ un sous-groupe d'indice ni de SL₂(Z). Une forme modulaire de niveauΓ et poids k ∈N est une fonction f :H−→C satisfaisant les propriétés suivantes :

i) ∀γ ∈Γ, f[γ]_k=f (propriété d'automorphie).

ii) f est holomorphe surH ainsi qu'aux pointes⁵.

4. Il en existe toujours. Par exemple, surX(1) =P¹on peut prendre dz(qui adiv(dz) =−2[∞]) puis tirer en arrièredzviaX(Γ)−→X(1)

5. Comme dans le cas de poids2, l'holomorphie à la pointe∞est bien dénie carf est horizontalement périodique. Pour une pointex=τ∞,τ∈SL2(Z), on dit quef est holomorphe ou méromorphe enxsi la translatéef[τ]k, qui est aussi horizontalement périodique, l'est à l'inni. Cela ne dépend pas du choix de τ, pas plus que l'entier ordx,h(f) := ord∞,h(f[τ]k).

Ces fonctions forment un C-espace vectoriel que l'on note Mk(Γ). On dit que f est para-bolique (ou cuspidale, et en anglais cusp form) si f s'annule aux pointes. L'espace des formes paraboliques est noté S_k(Γ).

On dira aussi d'une fonction satisfaisant ces propriétés avec méromorphe au lieu de holomorphe que c'est une fonction modulaire de niveau Γet poids k.

Remarque. Sikest impair et−1∈Γ, alorsMk(Γ) =Sk(Γ) = 0puisquef[−1]k=−f. Remarque. Pour vérier qu'une fonction est automorphe pour(Γ, k)il sut de vérier l'égalité f[γ]_k = f pour un ensemble de générateurs de Γ. Par exemple, si Γ = Γ(1) et k pair, il sut de vérierf(z+ 1) =f(z) etf(−1/z) = z^kf(z).

Remarque. Si f est méromorphe et automorphe de poids k, pour vérier que f est holomorphe aux pointes, il sut de montrer que pour tout τ ∈ Γ(1), la fonction τ^∗f(z) admet une limite lorsque =(z)→ ∞.

Remarque. La multiplication des fonctions induit un produit M_k(Γ)⊗ M_k⁰(Γ) −→

M_k+k⁰(Γ), qui fait de M(Γ) := L

k∈NM_k(Γ) une C-algèbre graduée, et de S(Γ) :=

k∈NS_k(Γ) un idéal de cette algèbre.

Remarque. LorsqueΓ = Γ(1), il est intéressant d'exprimer la propriété d'automorphie en termes de fonctions sur les réseaux. Une fonction surR est dite homogène de poids k si

∀Λ∈ R, ∀α∈C^×, ϕ(αΛ) =α^−kϕ(Λ)

Notons Λ_z := zZ⊕Z. L'égalité Λ_γz =j_γ(z)⁻¹Λ_z montre que l'application ϕ7→ f dénie par f(z) =ϕ(Λ_z)est une bijection

{Fonctions homogènes de poids k surR} ↔ {Fonctions Γ(1)-automorphes de poids k} dont la bijection réciproque est donnée par ϕ(Λ) = ω^−k₂ f(ω₁/ω₂) où ^ω_ω¹₂

est n'importe quelle base de Λ telle queω₁/ω₂ ∈H.

Exemple. (Séries d'Eisenstein) La manière la plus naïve de fabriquer une fonction de poidsk surR est de poser

G_k(Λ) := X

ω∈Λ^∗

1 ω^k

oùΛ^∗ = Λ\ {0}. Cette somme converge absolument pour k >3(exercice) et, comme il se doit, est nulle sik est impair. La fonction correspondante sur Hs'écrit

G_k(z) = X

(m,n)∈(Z²)^∗

1 (mz+n)^k.

Pour étudier l'holomorphie, choisissonsε >0susamment petit pour qu'il existez_ε tel que

|z_ε|= 1−εet2<(z_ε) = 1 +ε. Considérons le voisinage ouvertD^ε du domaine fondamental D¯ donné par les inégalités|z|>(1−ε)et |2<(z)|<1 +ε. Pour z dans D^ε, l'inégalité

|mz+n|² =m²zz+ 2mn<(z) +n² >m²(1−ε)²−mn(1 +ε) +n² =|mzε−n|²

montre que Gk converge normalement surD^ε et y est donc holomorphe. Par automorphie, G_k est donc holomorphe sur toutH. Pour montrer qu'elle est aussi holomorphe à la pointe

∞, il faut montrer queG_k(z)possède une limite lorsque=(z)→ ∞. Par invariance sousT, on peut garderz dans D¯, et la convergence normale nous montre que, puisque k est pair,

lim

z∈D,=(z)→∞¯

G_k(z) = X

n∈Z\{0}

n^k = 2ζ(k).

AinsiG_k ∈ M_k(Γ(1)) et G_k(∞) = 2ζ(k)(avec toujours k pair).

Exemple. (Fonction ∆) Pour une raison qui apparaitra quand nous parlerons de courbes elliptiques, il est d'usage de poser g₂ := 60G₄ et g₃ := 140G₆. Admettant mo-mentanément que ζ(4) = _2.3^π2⁴.5 et ζ(6) = ₃3^π.5.7⁶ (cf feuille d'exercices), on constate alors que

∆ :=g₂³−27g₃² ∈ S₁₂(Γ(1)), donnant donc un premier exemple de forme parabolique.

1.2.4 Pôles et zéros des fonctions modulaires. Lorsque k = 2k⁰ est pair, on peut interpréter les formes modulaires de poids k comme certaines k⁰-formes diérentielles sur X(Γ). Une k⁰-forme diérentielle sur un ouvert de C est une expression de la forme ω = f(z)(dz)^k⁰. Si ϕ est une application biholomorphe entre deux ouverts on transporte une telle forme par la formule ϕ^∗ω =f(ϕ(z))ϕ⁰(z)^k⁰(dz)^k⁰. Ceci permet de dénir ce qu'est une k⁰-forme diérentielle sur une variété comme la donnée d'une k⁰-forme sur chaque carte deX, avec compatibilité au changement de carte. On se retrouve alors dans une situation semblable au poids2, avec notamment une correspondance

{Fonctions modulairesf de poids k niveau Γ}

↔{k⁰-formes diérentiellesω méromorphes sur X(Γ)}

donnée par l'égalité π^∗ω = f(z)(dz)^k⁰. Comme pour le poids 2, on a la relation suivante entre pôles et zéros de f et ω.

ord_P(f) = e.ord_π(P)(ω) +k⁰(e−1) si P ∈Het e est son indice de ramication ord_x,h(f) = ord_π(x)(ω) +k⁰ si x est une pointe d'ordreh

Proposition. Soit f une fonction modulaire non nulle de poidsk et niveauΓ. Alors X

P∈Γ\H

ord_P(f)/e_P + X

x∈Γ\P_Γ

ord_x,h_x(f) = k

2(2g−2 + 1

2n₂+ 2

3n₃+n∞) = kd 12 où l'on rappelle que d= [Γ(1) : Γ{±1}].

Démonstration. Lorsque k = 2k⁰ est pair, les égalités ci-dessus montrent que le terme de gauche s'identie à deg(div(ω)) + k⁰deg(D_π). Le degré deg(div(ω)) ne dépend pas de ω (puisque les autres sont de la forme gω avec g ∈ M^×_X(Γ)). On peut le calculer en prenant

ω⁰ de la formeω₁^k⁰ oùω1 est une 1-forme diérentielle méromorphe surX(Γ)etω₁^k⁰ désigne la k⁰-forme diérentielle donnée par ω^k₁⁰ = f(z)^k⁰(dz)^k⁰ sur une carte où ω₁ =f(z)dz. On obtient deg(div(ω)) =k⁰deg(div(ω₁)) =k⁰(2g−2), dont on déduit la première égalité. La seconde vient de la formule donnant le genre.

Lorsque k est impair, il sut d'appliquer le cas pair à f².

Application. (Calcul de M(Γ(1))) Pour Γ = Γ(1), la formule devient ord∞,1(f) + 1

2ord_i(f) + 1

3ord_j(f) + X

P6=i,j,∞

ord_P(f) =k/12.

On sait queM_k(Γ(1)) est nul si k est impair. Si on faitk = 2, puisque chacun desord_?(f) est>0, on constate qu'il n'y a pas de f satisfaisant cette égalité. Donc

M₂(Γ(1)) = 0.

Si on fait k = 4, on obtient que toute f ∈ M4(Γ(1)) possède un zéro simple en j, et ne s'annule nulle part ailleurs. Cela s'applique à G₄, et montre que f /G₄ est une forme modulaire de poids 0 donc constante, donc

M₄(Γ(1)) =C.G₄.

De même avec k = 6, on obtient que G₆ possède un zéro simple en i et ne s'annule nulle part ailleurs, puis que

M₆(Γ(1)) =C.G₆.

Le même raisonnement montre que M₈ et M₁₀ sont de dimension 1et plus précisément M₈(Γ(1)) =C.G₈ =CG²₄ et M₁₀(Γ(1)) =C.G₁₀ =CG₄G₆.

Enn pour k = 12, toute forme parabolique f ne peut s'annuler en dehors de ∞, et son zéro en∞ est d'ordre 1. Ceci s'applique à ∆, et on en déduit que

S₁₂(Γ(1)) =C.∆.

Maintenant, puisque ∆ est inversible en tant que fonction sur H, l'application f 7→ ∆.f induit un isomorphisme

Mk(Γ(1)) ∼

−→ Sk+12(Γ(1))

pour tout k ∈ N. Par ailleurs, puisque S_k(Γ(1)) est de codimension 1 dans M_k(Γ(1)) (noyau de l'applicationf 7→f(∞), et puisque G_k n'est pas parabolique, on a pourk >12

M_k(Γ(1)) =CG_k⊕ S_k(Γ(1)).

Grâce aux calcul des M_k pourk <12 on en déduit dimC(M_k(Γ(1)) =







0 sik impair

b₁₂^kc sik ≡2 (mod 12)

b₁₂^kc+ 1 sik ≡0,4,6,8,10(mod 12) En fait, on a encore mieux :

Proposition. L'algèbre M(Γ(1)) est l'algèbre des polynômes en G4 et G6.

Démonstration. Il s'agit de montrer que pourk ∈2N, la famille desGⁿ₄G^m₆ oùn, m∈N et 4n+ 6m=k est une base de M_k(Γ(1)). On l'a déjà vérié pour k610.

Montrons par récurrence que cette famille est génératrice pourk>12. Choisissons pour celan, mtels que 4n+ 6m=k, et soit f ∈ M_k. PuisqueGⁿ₄G^m₆ ne s'annule pas à l'inni, il existeλtel quef−λGⁿ₄G^m₆ soit parabolique. Mais alorsf−λGⁿ₄G^m₆ = ∆.gpourg ∈ Mk−12, et par récurrence, on conclut quef ∈C[G₄, G₆](rappelons que∆ = (60)³G³₄−27(140)²G²₆).

Montrons maintenant que cette famille est libre. Soit (n₀, m₀) tel que 4n₀+ 6m₀ = k avecm₀ maximal. En divisant parGⁿ₄⁰G^m₆ ⁰, une relation de dépendence linéaire fournit un polynôme dansC[T]qui annule la fonction méromorpheG³₄G⁻²₆ , laquelle devrait donc être constante, ce qui n'est pas le cas.

Exemple. (L'invariant modulaire j) Puisque ∆ est de poids 12 avec un seul zéro simple en ∞, la fonction

j := 1728g₂³

∆ = 1728g³₂ (g₂³−27g₃²)

est une fonction modulaire de poids 0, holomorphe surH et avec un pôle d'ordre 1en ∞. En particulier,j descend en une fonction holomorphe¯j :Y(1) = Γ(1)\H−→C, restriction d'une application holomorphe ¯j :X(1) −→P¹(C).

Proposition. ¯j est un isomorphisme de surfaces de Riemann. En particulier, on a MX(1) =C(¯j) et {Fonctions modulaires de poids 0 niveau Γ(1)}=C(j).

Démonstration. Puisque ¯j possède un unique pôle simple en ∞, elle est de degré (ou valence) 1 et par suite est un biholomorphisme X(1) ∼

−→ P¹(C). Le reste en découle.

[Alternativement, on peut utiliser la proposition ci-dessus pour voir que la fonction¯j−λ possède un unique zéro simple pour tout λ∈C, puis conclure par le théorème d'inversion locale].

Pourquoi 1728? Pour avoir un résidu égal à 1 en ∞. On peut calculer que avec q = exp(2iπz) on a j(z) =q⁻¹ + 744 +· · ·. Remarquons que 1728 = 2⁶3³.

1.2.5 À propos des q-développements. Posons q = exp(2iπz). Les formes ou fonctions modulaires ci-dessus ont des q-développements remarquables obtenus à une époque où les fonctions spéciales étaient peut-être mieux maitrisées que maintenant. Un exercice de TD expliquera le développement

E_k(z) := 1

2ζ(k)G_k(z) = 1− 2k B_k

∞

n=1

σk−1(n)qⁿ où les B_k sont les nombres de Bernoulli, rationnels, et σk−1(n) = P

d|nd^k−1. Un autre résultat classique dû à Jacobi, cf ci-dessous, est l'expression

∆(z) = (2π)¹²q

∞

n=1

(1−qⁿ)²⁴

qui montre que, dans le développement _(2π)¹12∆(z) =P∞

n=1τ(n)qⁿ, la fonctionn 7→τ(n)est à valeurs entières. Cette fonction a été étudiée par Ramanujan qui a énoncé les conjectures suivantes :

i) τ(nm) =τ(n)τ(m)pour(m, n) = 1, etτ(p^r+1) =τ(p^r)τ(p)−p¹¹τ(p^r−1)sippremier.

ii) |τ(p)|62p

p¹¹ pour p premier.

Nous montrerons/expliquerons plus loin comment ces conjectures ont été résolues et géné-ralisées. Enn, le résultat de Jacobi montre aussi que dans le developpement

j(z) =q⁻¹+ 744 +

∞

n=1

c(n)qⁿ

lesc(n) sont entiers ! (il faut aussi utiliser le fait que 1/B₂ est entier)

Remarque. (Sur une preuve de la formule de Jacobi) Le but est de montrer que la fonctionf(z) =qQ∞

n=1(1−qⁿ)²⁴ est modulaire de poids 12. Elle est alors clairement para-bolique, donc un multiple de ∆ puisque S12(Γ(1)) = C.∆, et en comparant les termes dominants on trouve le facteur (2π)¹². Puisque f(z) = f(z + 1), il sut de prouver f(−1/z) =z¹²f(z). Chose remarquable, la dérivée logarithmique def s'écrit

où l'on reconnait leq-développement de ce qui devrait être la série d'Eisenstein (normalisée) de poids 2, si la somme P

m,n 1

(mz+n)² convergeait. Or, si on suit la méthode utilisée pour calculer le q-développement de G_k (cf TD), on s'aperçoit que

2ζ(2)E₂(z) = X convergence. Si on inverse le sens de sommation, on a encore convergence mais le résultat change. On peut montrer (cf livre de Serre) que

1.2.6 Dimension des espaces de formes modulaires. Revenons au cas d'un sous-groupe de congruenceΓplus général. Pour calculer la dimension des espaces de formes modulaires dans le cas où k est impair, on a besoin de la notion de pointe irrégulière. Cette notion vient de l'observation suivante : si f est une fonction telle que f(₋₁ _h

0 −1

z) = −f(z),

c'est-à-dire f(z + h) = −f(z), alors elle est 2h-périodique et dans son développement f(z) = P

n∈Za_nq_2hⁿ oùq_2h = exp(2iπz/2h), tous lesa_navecnpair sont nuls. En particulier, si elle est holomorphe à l'inni, elle s'y annule nécessairement.

Forts de cette observation, on dira que x est une pointe irrégulière pour (Γ, k) si i) k est impair et −1∈/Γ

Théorème. Pour k > 2 on a les formules de dimension suivantes, où l'on suppose

−1∈/ Γ lorsque k est impair.

dimC(M_k(Γ)) = (k−1)(g−1) +b^k₄cn₂ +b^k₃cn₃+ ^k₂n^reg_∞ +b^k₂cn^irr_∞ dimC(S_k(Γ)) =dimC(M_k(Γ))−n^reg_∞

Remarque. i) Dans le cas impair (et donc −1∈/ Γ), on an₂ = 0. Exercice ! ii) En utilisant la formule donnant le genre, on peut aussi écrire

dimC(M_k(Γ)) = kd avecω₁ une1-forme), on note f la fonction modulaire de poidsk associée et on déduit des formules

ord_P(π^∗(g)f) =e_P.ord_π(P₎(g) +e_P.ord_π(P₎(ω₀) +k⁰(e_P −1) si P ∈H

ordx,hx(π^∗(g)f) = ordπ(x)(g) + ordπ(x)(ω0) +k⁰ si x est une pointe que l'application g 7→π^∗(g)f induit des isomorphismes

L(div(ω₀) +k⁰D_π) ∼

On utilise alors la formule de Riemann-Roch pour calculer dimM_k(Γ), aidés par le fait quedeg(k⁰K+bk⁰D_πc)>2g−2. Pour calculer la dimension deS_k(Γ)il sut de remplacer div(ω0) par div(ω0)−P

P7→∞[P]. Dans ce cas on a bien deg >2g−2 dès que k >2.

Dans le cas impair, pour suivre un raisonnement similaire, il nous faut connaitre l'exis-tence d'une fonction modulaire de poids k. Admettons momentanément l'existence d'une telle fonction f (à condition que −1 ∈/ Γ). Alors f² est de poids 2k et correspond à une k-forme diérentielle méromorphe ω0 surX(Γ). Vu les formules

ord_P(π^∗(g)²f²) = 2e_P.ord_π(P)(g) +e_P.ord_π(P₎(ω₀) +k(e_P −1) siP ∈H

ord_x,h_x(π^∗(g)²f²) = 2ord_π(x)(g) + ord_π(x)(ω₀) +k six est une pointe on constate que l'application g 7→π^∗(g)f induit des isomorphismes

Pour Mk, il faut alors calculer la partie entière du diviseur 1

On obtient donc formule de Riemann-Roch simpliée s'applique et on obtient la dimension annoncée pour M_k(Γ).

Pour calculer la dimension de Sk(Γ), il faut calculer la partie entière du diviseur

2div (ω₀) + ^k₂D_π − ¹₂P

P7→∞[P]. Seule la discussion aux pointes est aectée, et les détails sont laissés en exercice.

Remarque. (Que se passe-t-il pourk= 1?) La preuve précédente dit que (sous réserve de l'existence d'une fonction modulaire de poids 1), en notant ω₀ une forme diérentielle méromorphe sur X(Γ))

Le diviseur qui apparait est bien entier malgré les apparences, et son degré estg−1+n^reg_∞/2. Lorsque n^reg_∞ >2g−2, on peut conclure que dimC(M₁(Γ)) =n^reg_∞/2. Sinon, la formule de Riemann-Roch ne permet pas de conclure, mais fournit la minoration dim_C(M₁(Γ)) >

n^reg_∞/2. Dans tous les cas dimC(S₁(Γ)) =dimC(M₁(Γ))−n^reg_∞/2.

Remarque. (Existence de fonctions modulaires de poids 1) Dans le cas k impair de la preuve précédente on a supposé l'existence de fonctions modulaires de poids k lorsque

−1 ∈/ Γ. Il sut bien-sûr de la prouver en poids 1. Voici un argument qui utilise le fait, que nous verrons plus tard, que pour une surface de Riemann compacte, le groupePic⁰(X) des diviseurs modulo les diviseurs principaux de degré 0 est un groupe divisible.

Ainsi, si P est un point de X(Γ), l'élement K −(2g −2)[P] de Pic⁰(X) est divisible par 2. Il s'ensuit que, si ω₀ est une forme diérentielle méromorphe sur X(Γ), il en existe une autre, ω, telle que div(ω) = 2(div(ω₀)−(2g−2)[P]). Soitf₂ la fonction modulaire de poids 2 et niveau Γ telle que f2(z)dz =π^∗(ω). Alors ordz(f2) est pair en tout point de H qui est simplement connexe, donc il existe une fonction f : H −→C, méromorphe sur H, telle que f² =f₂. Cette fonction n'est pas nécessairement automorphe de poids 1, mais il existe au moins un caractère χ: Γ −→ {±1} tel que pour tout γ ∈Γ on a f[γ]1 =χ(γ)f.

Dans le document Formes modulaires et leurs propriétés arithmétiques (Page 11-29)