Ainsi, formellement : +∞

140

Pour étudier une série double

Essayer de faire intervenir :

• le théorème d’interversion des sommations, dans le cas 0

➥ Exercice 4.48

• le théorème d’interversion dans le cas général, c’est-à-dire le théo-rème de Fubini

➥ Exercice 4.58.

Pour établir qu’une somme de série convergente

+∞

p=0

αp

est égale à une autre somme de série convergente

∞ q=0

β_q

Essayer de faire intervenir une suite double

(up,q)(p,q)∈N²

de façon que :

∀p∈N, αp=^+∞

q=0

up,q

et

∀q∈N, βq =^+∞

p=0

up,q

et voir si on peut appliquer le théorème de Fubini.

Ainsi, formellement :

+∞

p=0

αp=^+∞

p=0

+∞

q=0

up,q=^+∞

q=0

+∞

p=0

up,q=^+∞

q=0

βq.

➥ Exercice 4.58.

Énoncés des exercices

Exemples de détermination de la nature d’une série numérique

Déterminer la nature de la série de terme général undans les exemples suivants : a)|sin n|

n² b)√

n−√

n−1 c) 1

2+1 n

n

d)lnn²+2n+3 n²+2n+2 e)1−cos

sin n n

f) nⁿ²¹ −1 g)2ⁿ

n! h)(n+1)^a−n^a

n^b , (a,b)∈R². Exemples de séries de Bertrand

Déterminer la nature de la série de terme général undans les exemples suivants : a) 1

n²ln n b)ln n

n c) ln n

n² d) 1

√n ln n e) 1

n ln n f) 1

n(ln n)². Convergence d’une série par encadrement du terme général

Soient

n0

un,

n0

vn deux séries réelles convergentes et

n0

wn une série réelle telle que :

∀n∈N, unwnvn.Montrer que la série

n0

wnconverge.

Natures de séries déduites d’autres séries Soit

n0

anune série à termes dans R^∗₊, convergente. Déterminer la nature des séries de termes généraux : un= an

1+an, vⁿ=ch an−1

an , wⁿ=a_n².

4.1

4.2

4.3

4.4

Énoncés des exercices

Exemples de détermination de la nature d’une série alternée

Déterminer la nature de la série de terme général undans les exemples suivants : a) (−1)ⁿn

n³+n+1, b)(−1)ⁿ

√n , c) (−1)ⁿ

n+(−1)ⁿ, d) (−1)ⁿ

√n+(−1)ⁿ.

Nature d’une suite par étude d’une série

Soit a∈]−1; +∞[ fixé. On note, pour tout n∈N^∗: un= n

k=1

1 a+k

−ln n. Montrer que la suite (un)ⁿ∈N^∗converge.

Exemple de calcul de la somme d’une série convergente, utilisation d’une décomposition en éléments simples

Existence et calcul de +∞

n=1

unoù un= 2(2n²+n−3) n(n+1)(n+2)(n+3).

Exemple de calcul de la somme d’une série convergente, utilisation de la série de l’expo-nentielle

On note, pour tout n∈N: un=n³+6n²−5n−2

n! .

a) Montrer que la série

n0

unconverge.

b) Montrer que B=

1,X,X(X−1),X(X−1)(X−2) est une base de R3[X] et décompo-ser linéairement P=X³+6X²−5X−2 sur _B.

c) En déduire +∞

n=0

un.On rappelle que : +∞

n=0

1 n!=e.

Exemples de détermination de la nature d’une série numérique

Déterminer la nature de la série de terme général u_ndans les exemples suivants : a)

n sin1

n n^a

, a∈R, b)e^−(lnn)λ,λ∈R, c)− ¹_n

n+21

e^xln x dx

d)sin1

n+a tan1

n+b lnn+1

n−1, (a,b)∈R² e)

1+a n

n

− n

n+1e^a, a∈R, f)

n²+n+3+a

n²+n+1+b

n²+n+2, (a,b)∈R² g)(n!)^a

nⁿ , a∈R h)

a 0

xⁿ

√3

1+x²dx,a∈R+, i)2^√n+aⁿ

3^√n+bⁿ, (a,b)∈(R+)² j)√ⁿ

a−2√ⁿ b+√ⁿ

c, (a,b,c)∈(R^∗₊)³, k)(ln n)ⁿ n! . Exemples de détermination de la nature d’une série Déterminer la nature des séries de termes généraux :

u_n= 1 0

tan(xⁿ)dx, vn= 1 0

tan(xⁿ²)dx

.

© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

Chapitre 4• Séries

142

Exemples de détermination de natures de séries Déterminer la nature des séries de termes généraux :

un= 1 (n+1)!

n k=0

k!, vn= 1

(n+2)! n

k=0

k!

.

Nature d’une série faisant intervenir des factorielles, utilisation de la formule de Stirling Déterminer la nature de la série de terme général un= n!

(2n)! ¹_n

.

Recherche de paramètres pour la convergence d’une série

Déterminer les polynômes P∈R[X] tels que la série de terme général un=(n⁴+3n²)^1/4−

P(n) ^1/3, est convergente.

Exemple de détermination de la nature d’une série définie à partir d’une autre série Soit (un)ⁿune suite réelle. On suppose que les séries

n

unet

n

u²_nconvergent.

a) Montrer que, à partir d’un certain rang, un= −1.

b) Établir que la série

n

u_n

1+u_nconverge.

Nature d’une série déduite d’une autre série Soit

n1

unune série à termes dans _R+, convergente.

Montrer que la série

n1

√un

n converge.

Nature d’une série faisant intervenir une suite récurrente

On considère la suite réelle (un)ⁿ1définie par u1>0 et :

∀n¹, un+1= ln

1+un

n

.

Déterminer, pour α∈R^∗₊ fixé, la nature de la série

n1

u^α_n.

Exemple de détermination de la nature d’une série alternée, avec paramètre Déterminer, pour (a,b)∈R²fixé, la nature de la série de terme général un=(−1)ⁿ n^a

(n+1)^b. Exemples de détermination de natures de séries à termes complexes

Déterminer la nature des séries de termes généraux : un=

(2+3i)n+2−i (3+4i)n+3+i

n

, vⁿ=

(2+3i)n+2−i (3+2i)n+3+i

n

. 4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

Énoncés des exercices

Existence et calcul de la somme d’une série convergente Existence et calcul de

+∞

n=1

unoù : un= 1

n√

n+2+(n+2)√ n. Exemple de calcul de la somme d’une série convergente Existence et calcul de

+∞

n=2

ln

1− 2

n(n+1)

.

Calcul de la somme d’une série convergente déduite d’une autre série Soit (un)n1une suite à termes dans R+.

On note, pour tout n^{1 :}vⁿ= un

(1+u1)· · ·(1+un). a) Montrer : ∀n¹,

n

k=1v^k=1− 1

(1+u1)· · ·(1+un). b) En déduire la nature de la série

n1

vn.

Calcul de la somme d’une série convergente déduite de la série harmonique On note, pour tout n∈N^∗:

un=





 1

n si n≡0 [3]

−2

n si n≡0 [3]. Montrer que la série

n1

unconverge et calculer sa somme.

Exemple de détermination d’un équivalent de la somme d’une série convergente à para-mètre

Montrer : +∞

n=1

1

n(n+x) _x−→+∞∼ ln x x .

Recherche d’un équivalent d’une expression faisant intervenir un reste de série conver-gente

Trouver un équivalent simple de un= _+∞

k=n

1 k!

¹_n

, lorsque l’entier n tend vers l’infini.

Étude d’une série construite à partir d’une suite

Soit (a_n)n∈Nune suite dans R^∗₊. On considère la suite réelle (u_n)n∈Ndéfinie par u₀∈

0;π 2

, et :

∀n∈N, un+1=Arctan(an+tan un).

a) Montrer que la suite (un)n∈Nconverge et que, en notant =lim

n∞un, on a :∈

0;π 2

.

© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

Chapitre 4• Séries

144

b) Montrer que la série

n∈N

anconverge si et seulement si :=/ π 2. Exemple de recherche d’un équivalent simple d’une somme double On note, pour tout n∈N− {0,1}: Sn=

1p<qn

√1pq.

a) Montrer : ∀n∈N− {0,1}, Sn=1

2(A²_n−Bn), où on a noté : An=

n p=1

√1p, Bn= n

p=1

1 p.

b) En déduire un équivalent simple de Snlorsque l’entier n tend vers l’infini.

Utilisation d’une série pour étudier une suite

Soit (λn)n∈Nune suite à termes dans R^∗₊, telle que λn−−−→

n∞ + ∞, et (un)n∈Nla suite réelle défi-nie par (u0,u1)∈R²et :∀n∈N, un+2=un+λnu_n+1

1+λn . Démontrer que la suite (un)n∈Nconverge.

Étude d’une série dont le terme général fait intervenir une fonction

Soit f : [−1;1]−→Cde classe C³. On note, pour tout n∈N^∗: u_n=n

f

1 n

− f

−1 n

−2 f(0)

.

Montrer que la série

n∈N^∗

un, converge.

Convergence et somme d’une série définie à partir d’une suite récurrente du type u_n+1=f(u_n)

Soit (un)ⁿ∈Nla suite réelle définie par u0=5 et :∀n∈N, un+1=u²_n−5un+8. a) Montrer que (un)ⁿ∈Nest croissante et que un−−−→

n∞ + ∞.

b) Montrer : ∀n∈N, (−1)ⁿ

un−3= (−1)ⁿ

un−2− (−1)ⁿ⁺¹ un+1−2. c) Déterminer la nature et la somme de la série

n0

(−1)ⁿ un−3.

Exemple de nature d’une série, le terme général étant défini par récurrence On considère la suite réelle (un)n∈Ndéfinie par u0∈Ret :

∀n∈N, (n+2)²un+1=(n+1)un+n

.

Quelle est, pour a∈Rfixé, la nature de la série

n

u^a_n?

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

Énoncés des exercices

Étude de séries définies à partir de suites récurrentes On considère la suite réelle (u_n)n1définie par u₁=1 et :

∀n¹, un+1=

u²_n+1 n

.

a) Déterminer la limite de unet un équivalent simple de unlorsque l’entier n tend vers l’infini.

b) Déterminer la nature des séries de termes généraux 1 un

et (−1)ⁿ un .

Convergence et somme d’une série définie à partir d’une suite récurrente du type un+1=f(un)

On considère la suite réelle (un)ⁿ∈Ndéfinie par u0∈]1; +∞[ et :

∀n∈N, u_n+1=u²_n−un+1

.

a) Montrer : un−−−→

n∞ + ∞. b) Existence et calcul de +∞

n=0

1 un.

Exemple de calcul de la somme d’une série convergente, utilisation d’une décomposition en éléments simples

Existence et calcul de +∞

n=1

3n−2 n³+3n²+2n.

Exemple de calcul de la somme d’une série convergente faisant intervenir la suite de Fibonacci

On considère la suite de Fibonacci (φ_n)ⁿ0définie par φ₀=0,φ₁=1 et :

∀n∈N, φ_n+2=φ_n+1+φ_n

.

a) Montrer :∀n∈N, φ²_n+1−φ_nφ_n+2=(−1)ⁿ.

b) En déduire :∀n∈N^∗, (−1)ⁿ φ_nφ_n+1=φ_n+1

φ_n −φ_n+2 φ_n+1. c) Existence et calcul de

+∞

n=1

(−1)ⁿ φ_nφ_n+1.

Exemples de détermination de la nature d’une série numérique

Déterminer la nature de la série de terme général undans les exemples suivants : a)tan

π 2(7+4√

3)ⁿ

b) 1

0

xⁿ

1+x+ · · · +xⁿdx c) 2n

k=n

1 (k+n)²−k². Nature d’une série déduite de deux autres séries

Soient (a,b)∈(R^∗₊)²,

n0

un,

n0

vⁿ deux séries à termes dans R^∗₊, convergentes.

Quelle est la nature de la série de terme général wⁿ= u²_nvn²

au³_n+bvn³

?

© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.

4.31

4.32

4.33

4.34

4.35

4.36

Chapitre 4• Séries

146

Exemple de détermination de la nature d’une série dont le terme général fait intervenir les sommes partielles d’une série

Déterminer la nature de la série de terme général un= ln

exp n

k=0

(−1)^k k+1

−1

.

Exemple de détermination de la nature d’une série dont le terme général unest donné selon la parité de n

Déterminer la nature de la série de terme général :

un=







 sin1

n si n est impair, n¹

−sh1

n si n est pair, n². Étude des séries convergentes dont le terme général décroît

Soit (un)ⁿ1une suite à termes dans R^∗₊, décroissante, telle que la série

n1

unconverge.

a) Montrer : nun−−−→

n∞ 0.

b) En déduire la nature des séries de termes généraux :vⁿ=nu²_n, wⁿ= un

1−nun. Étude de la nature d’une série par comparaison

a) Soit (un)ⁿ∈N^∗une suite à termes dans R^∗₊, telle qu’il existe a∈]1; +∞[ tel que :

∀n∈N^∗, un+1

un ⁿ

n+1 a

.

Montrer que la série

n1

unconverge.

b) Application : déterminer la nature de la série de terme général un=1·3· · ·(2n−1) 2·4· · ·(2n) · 1

2n+1. Exemple de recherche d’une limite de suite à l’aide d’une série

Trouver lim

n∞

_+∞

k=n

1 k!

_{n ln n}¹ .

Utilisation de groupements de termes pour étudier la nature d’une série Déterminer, pour α∈Rfixé, la nature de la série de terme général un=(−1)^n(n+1)2

n^α . Étude d’intégrabilité se ramenant à la nature d’une série

Est-ce que l’application f : x−→(1+x⁴sin²x)⁻³est intégrable sur [0; +∞[ ? Exemple de recherche d’un équivalent du reste d’une série alternée convergente Trouver un équivalent simple de Rn= ^+∞

k=n+1

(−1)^k

k lorsque l’entier n tend vers l’infini.

4.37

4.38

4.39

4.40

4.41

4.42

4.43

4.44

Énoncés des exercices Nature de séries définies à partir d’une suite

On considère la suite réelle (un)n0définie par u0^{0 et :}∀n∈N, u_n+1=√ n+un. a) Montrer : un−−−→

n∞ + ∞.

b) Établir que (un)ⁿ0est croissante à partir d’un certain rang.

c) Trouver un équivalent simple de unlorsque l’entier n tend vers l’infini.

d) Quelle est la nature, pour α∈]0; +∞[ fixé, de la série de terme général 1 u^α_n ? e)} Quelle est la nature, pour β∈]0; +∞[ fixé, de la série de terme général (−1)ⁿ

u^βn

?

Convergence et somme d’une série, intervention de la formule de Stirling Existence et calcul de

+∞

n=1

un, où un=n ln

1+1 n

−

1− 1 2n

.

Calcul de la somme d’une série convergente, utilisation d’une décomposition en éléments simples

Existence et calcul de +∞

n=1

un, où un= 1 n(2n+1). Exemple de calcul de la somme d’une série double Existence et calcul de

+∞

p=0

+∞

q=1

1

(p+q²)(p+q²+1).

Exemple de recherche d’un équivalent du reste d’une série convergente Trouver un équivalent simple de R_n= ^+∞

k=n+1

√k 2^−klorsque l’entier n tend vers l’infini.

Exemple de recherche d’un équivalent de la somme partielle d’une série divergente^· Trouver un équivalent simple de Sn=

n k=1

e^k

k lorsque l’entier n tend vers l’infini.

Exemple de recherche d’un développement asymptotique de la somme partielle d’une série divergente

Former un développement asymptotique de Sn= n

k=1

Arctan√

k

, à la précision

o(√

n) lorsque l’entier n tend vers l’infini.

Exemple de recherche d’un équivalent du terme général d’une suite définie par une relation de récurrence, utilisation d’une série

On considère la suite réelle (un)ⁿ1définie par u1∈]0; +∞[ et :∀n∈N^∗, un+1=un+ 1 nu_n

.

Montrer : a) un−−−→

n∞ + ∞ b) un_n∼_∞√

2 ln n.

© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.

4.45

4.46

4.47

4.48

4.49

4.50

4.51

4.52

Chapitre 4• Séries

148

Détermination d’une limite par utilisation d’un théorème de sommation des relations de comparaison

Soient a,b,α,β∈R^∗+, (un)ⁿ1, (vⁿ)ⁿ1deux suites à termes dans R^∗+telles que : un_n∼_∞a n^αet

vn∼

n∞b n^β. Trouver lim

n∞

n k=1

ukvk

2

n k=1

u²_k n

k=1

v²k

.

Nature de la série des inverses des nombres premiers

On note pnle n-ème nombre premier (p1=2). Montrer que la série

n1

1 pn

diverge.

Nature des séries

n

un

S^α_n,

n

un

r_n^α a) Soit

n1

unune série divergente, à termes réels >0 . On note, pour tout n^{1 : Sn}= n k=1

uk. Étudier, pour tout α∈R^∗₊fixé, la nature de la série

n1

un

S_n^α. b) Soit

n1

un une série convergente, à termes réels >0 . On note, pour tout n^{1 :} rn=^+∞

k=n

uk.Étudier, pour tout α∈R^∗₊fixé, la nature de la série

n1

un

r_n^α. Exemple d’étude de produit infini

On note, pour tout n∈N^∗: un= n k=1

1+1

k + 1 k²

. Montrer qu’il existe C ∈R^∗₊tel que un∼

n∞Cn, et montrer : 1^C3. On pourra utiliser la constante d’Euler γ, définie par :

n k=1

1

k =ln n+γ+ o

n∞(1).

Étude de séries dont le terme général est défini à partir d’un reste de série convergente a) Montrer que la série

n1

(−1)ⁿ⁻¹

n converge et que, pour tout n∈N, son reste Rn= ^+∞

k=n+1

(−1)^k−1

k vérifie : Rn=(−1)ⁿ 1 0

xⁿ 1+xdx. b) Montrer que la série

n0

Rn converge et que, pour tout n∈N, son reste ρ_n vérifie : ρ_n=(−1)ⁿ⁺¹ 1

0

xⁿ⁺¹ (1+x)²dx. c) Quelles sont les natures des séries

n0

ρ_n,

n0

(−1)ⁿρ_n? En cas de convergence, quelle est la somme ?

4.53

4.54

4.55

4.56

4.57

Du mal à démarrer ? Égalité de deux sommes de séries par intervention d’une série double

Établir, pour tout a∈]0; +∞[ : +∞

n=0

1 ch

(2n+1)a =^+∞

n=0

(−1)ⁿ sh

(2n+1)a .

Recherche d’un développement asymptotique du terme général d’une suite du type un+1=f(un)

On considère la suite réelle (un)n0définie par u0∈]0; +∞[ et :

∀n∈N, un+1=un+ 1 un

.

Montrer : a) un−−−→

n∞ + ∞ b) un_n∞∼√

2n c) un=√ 2n+ 1

4√ 2

ln n√ n + o

n∞

ln n

√n

.

Nature de la série

n1

ϕ(n) n²

Soit ϕ:N^∗−→N^∗injective. Montrer que la série

n1

ϕ(n)

n² diverge.

© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.

4.58

4.59

4.60

Du mal à démarrer ?

Il s’agit de séries à termes réels ^0.

Essayer d’appliquer (dans l’ordre) le théorème de majoration ou de minoration, le théorème d’équivalence, la règle n^αun, la règle de d’Alembert, une comparaison série/intégrale.

a) Majoration.

b) Expression conjuguée, puis minoration.

c) Majoration.

d) Équivalent.

e) Équivalent, puis majoration.

f) Équivalent, puis règle n^αun. g) Règle de d’Alembert.

h) Équivalent, si a=0.

Il s’agit d’exemples de séries de Bertrand

n2

1

n^α(ln n)^β, (α,β)∈R²fixé.

Mais le résultat général sur les séries de Bertrand n’est pas au programme.

Essayer d’appliquer : le théorème de majoration ou le théorème de minoration, la règle n^αun, une comparaison série/intégrale.

a), b) Majoration, minoration.

c), d) Règle n^αun.

e), f) Comparaison série/intégrale.

Faire apparaître des réels ⁰ et utiliser le théorème de majoration pour des séries à termes ^0.

Il s’agit de séries à termes 0. Remarquer d’abord : an−−−→

n∞ 0. Utiliser ensuite une majoration ou un équivalent.

Il s’agit de séries alternées.

a) Convergence absolue.

b) TSCSA.

c), d) Utiliser un développement asymptotique.

Utiliser le lien suite/série : la suite (un)n∈N^∗converge si et seulement si la série

n∈N^∗(u_n+1−un)converge.

1) Existence : Équivalent.

2) Calcul : Décomposition en éléments simples, puis télescopage.

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

Chapitre 4• Séries

150

a) Équivalent et règle de d’Alembert.

b) • Degrés successifs.

• Faire apparaître X(X−1)(X−2)dans P, puis faire apparaître X(X−1),…

c) Décomposer en somme de séries convergentes.

Il s’agit de séries à termes réels ^0.

Essayer d’appliquer (dans l’ordre) le théorème de majoration ou de minoration, le théorème d’équivalence, la règle n^αun, la règle de d’Alembert, une comparaison série/intégrale.

Si le terme général unfait intervenir un ou des paramètres, on pourra être amené à former un développement asymptotique de un, qui permettra, selon les valeurs des paramètres, d’obtenir un équivalent de un, ou une estimation de un.

a) Effectuer un développement asymptotique de n sin1 n,puis de un.

b) Traiter d’abord les cas λ <0, λ=0. Pour λ >0, utiliser la règle n^αun. c) Majoration et règle n^αun.

d), e), f), j) Former un développement asymptotique de unà la précision O

1 n²

. g), k) Règle de d’Alembert.

h) Séparer en cas selon la position de apar rapport à 1, à cause de la présence de xⁿdans l’intégrale. Utiliser ensuite une majo-ration ou une minomajo-ration.

i) Séparer en cas selon la position de aet bpar rapport à 1, et uti-liser des équivalents.

Il s’agit de séries à termes ^0.

Pour obtenir des inégalités sur un, vn, utiliser un encadrement de tan t, en montrant :

∀t∈[0;1], t^{tan t2t}.

Commencer par chercher un équivalent simple de n k=0

k!.

Puisque k!croît très vite, on peut conjecturer que n k=1

k!, est équivalent à n!lorsque l’entier ntend vers l’infini.

Utiliser la formule de Stirling :n!_n∼_∞ n

e n√

2πnpour déduire un développement asymptotique de ln un, puis un équivalent simple de unlorsque l’entier ntend vers l’infini.

• Montrer d’abord que, si la série

n

unconverge, alors nécessairement P est de degré 3et de coefficient dominant égal 1.

• Pour P=X³+aX²+bX+c, (a,b,c)∈R³, calculer un déve-loppement asymptotique de un.

b) Étudier un

1+un−un.

La présence de racines carrées dans une sommation (ou dans une intégrale) fait penser à l’inégalité de Cauchy et Schwarz. Appliquer celle-ci, dans R^N usuel, pour Nfixé, afin d’obtenir une majoration des sommes partielles.

Obtenir une majoration convenable de un. Traiter les cas immédiats a>b,a=b. Pour a<b, montrer que le TSCSA s’applique.

• Majorer |un|par le terme général d’une série géométrique convergente.

• Évaluer ln|vn|et montrer que ln|vn|ne tend pas vers 1lorsque l’entier ntend vers l’infini.

1) Existence : Équivalent.

2) Calcul : En utilisant une expression conjuguée, amener un télescopage dans le calcul des sommes partielles.

1) Existence : Équivalent.

2) Calcul : Amener un télescopage dans le calcul des sommes partielles.

a) Récurrence sur n, ou télescopage.

b) D’après a), la suite des sommes partielles de la série de terme général vnest majorée (par 1).

Calculer 3 p n=1

un,puis déterminer sa limite lorsque l’entier p tend vers l’infini, par exemple en utilisant le théorème sur les sommes de Riemann.

Relier avec

3 p+1 n=1

unet avec

3 p+2 n=1

un.

Effectuer une comparaison série/intégrale, à l’aide, pour x∈]0; +∞[fixé, de l’application

[1; +∞[−→R, t−→ 1 t(t+x).

• Montrer : +∞

k=n

1 k! _n∞∼ 1

n!.

• En utilisant la formule de Stirling n!_n∞∼ n

e n√

2πn,en dédui-re un équivalent simple de unlorsque l’entier ntend vers l’infini.

4.8

4.9

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4.11

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4.16 4.17

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4.22

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4.24

Du mal à démarrer ?

© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.

a) Étudier, pour la suite (un)n∈N : existence, situation, monotonie éventuelle, majoration/minoration.

b) Utiliser le lien suite/série.

a) Remarquer que pet qjouent des rôles symétriques dans 1

√pq,d’où 2Sn=

1p=qn

√1pq,puis rajouter et retran-cher les termes correspondant à p=q.

b) Par comparaison somme/intégrale, obtenir des équivalents pour Anet pour Bn.

Utiliser le lien suite/série et la règle de d’Alembert.

Utiliser la formule de Taylor-Young pour obtenir un déve-loppement asymptotique de unlorsque l’entier ntend vers l’in-fini.

a) Montrer, par récurrence :∀n∈N, un⁵.

Ayant montré que (un)n∈N est croissante, pour obtenir un−−−→

n∞ + ∞, raisonner par l’absurde, en supposant un−−−→

n∞ ∈R.

c) Faire apparaître un télescopage dans le calcul des sommes partielles de la série, en utilisant b).

Il s’agit d’abord d’obtenir un équivalent simple de un

lorsque l’entier ntend vers l’infini. À cet effet, obtenir des ren-seignements de plus en plus précis sur un:

un= O

n∞(n),puis (en réinjectant) un= O

n∞(1), puis un−−−→

n∞ 0, puis un_n∼_∞1 n.

a) Exprimer u²_nà l’aide de u²_n−1, puis sommer pour faire apparaître un télescopage.

Rappeler : Hn= n k=1

1 k _n∼_∞ ln n. Obtenir :un _n∞∼ √

ln n.

b) 1) La première série est à termes ⁰: utiliser un équivalent.

2) La deuxième série relève du TSCSA.

a) Montrer que (un)n0est croissante et ne peut pas avoir de limite finie.

b) Amener un télescopage dans le calcul des sommes partielles, en calculant 1

u_n+1−1− 1 un−1. 1) Existence : Équivalent.

2) Calcul : Amener un télescopage dans le calcul des sommes partielles, en utilisant une décomposition en éléments simples.

a) Récurrence sur n(d’autres méthodes sont possibles).

c) Faire apparaître un télescopage dans le calcul des sommes partielles, en utilisant b).

a) Noter an=(7+4√

3)ⁿet considérer bn=(7−4√ 3)ⁿ. Évaluer an+bnen utilisant la formule du binôme de Newton, et en déduire :un= −tan bn.

b) Il s’agit d’évaluer 1+x+ · · · +xⁿ. Le remplacement par 1−xⁿ⁺¹

1−x ne semble pas simplifier la question. Utiliser la com-paraison entre la moyenne arithmétique et la moyenne géomé-trique, pour obtenir :

1+x+ · · · +xⁿ(n+1)xⁿ⁺¹² .

c) Écrire unsous une autre forme, avec changement d’indice, pour faire apparaître une somme de Riemann.

Il s’agit de comparer wnavec une expression simple formée à partir de unet vn. Obtenir :w²n^un_ab^+vn.

Exprimer n k=0

(−1)^k

k+1à l’aide d’intégrales, en utilisant : 1

k+1= 1

0

t^kdt.

En déduire :un=2an+o(a²_n), où an=(−1)ⁿ 1

0

tⁿ⁺¹ 1+tdt. Remarquer d’abord :un−−−→

n∞ 0.

Grouper les termes deux par deux.

a) En notant Rn=^+∞

k=1

uk,et en utilisant la décroissance de la suite (un)ⁿ1, évaluer 2nu2net (2n+1)u2n+1.

b) Remarquer vn=(nun)unet wn _n∼_∞ un.

a) Réitérer l’inégalité de l’énoncé et utiliser le théorème de majoration pour des séries à termes ^0.

b) Former un développement asymptotique de un+1

un

et un développement asymptotique de

n n+1

a

.Choisir convena-blement apour pouvoir appliquer le résultat de la question a).

Chercher un équivalent simple de Rn=^+∞

k=n

1 k! lorsque l’entier ntend vers l’infini.

En utilisant la formule de Stirling n!_n∼_∞ n

e n√

2πn, en déduire un développement asymptotique de ln un, puis un équivalent de un.

4.25

4.26

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4.40

4.41

Chapitre 4• Séries

152

Traiter d’abord le cas α0, d’étude immédiate.

Pour α >0, grouper les termes quatre par quatre, puisque la suite

(−1)^n(n+1)2

n0est périodique de période 4.

En notant, pour tout n∈N,un= ₍n+1)π

nπ f, montrer d’abord que l’intégrabilité de fest équivalente à la convergence de la série

n0

un.

Évaluer unpar changements de variables et inégalités.

Exprimer Rn à l’aide d’une intégrale, en utilisant 1

k puis en faisant tendre pvers l’infini.

Pour déterminer un équivalent simple de 1

0

tⁿ

1+tdt, utiliser une intégration par parties.

b) Remarquer d’abord que (un)n0 ne peut pas être

1) Existence : Équivalent, par l’intermédiaire d’un dévelop-pement limité.

2) Écrire une somme partielle, amener un télescopage, et utiliser la formule de Stirling :n!_n∞∼n

e n√

2πn. 1) Existence : Équivalent.

2) Calcul : Utiliser une décomposition en éléments simples et la constante d’Euler :

L’existence et le calcul se montrent simultanément, en uti-lisant le théorème d’interversion de deux sommations, dans le cas des réels 0. Utiliser une décomposition en éléments simples du terme général.

Montrer d’abord que la série

k

√k 2^−kconverge.

Considérer, pour tout n∈N:vn=un−un+1et utiliser un théo-rème de sommation des relations de comparaison.

En notant un=eⁿ

n,étudier u_n+1−unet utiliser un théo-rème de sommation des relations de comparaison.

Commencer par transformer l’écriture de Snde façon que Arctan s’applique à un élément près de 0. Utiliser ensuite un théorème de sommation des relations de comparaison.

a) Étudier la nature de la série

Utiliser un théorème de sommation des relations de com-paraison, pour obtenir des équivalents des différentes somma-tions qui apparaissent dans l’énoncé.

Remarquer : 1

pn _n∼_∞ ln 1 1− 1

pn

,

et étudier les sommes partielles de la série de terme général ln 1

en série géométrique et en utilisant la décomposition de tout entier (2) en produit de nombres premiers.

converge et déduire une contradiction, en utilisant

un

En utilisant des développements limités, montrer que la série

Du mal à démarrer ?

© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.

a) Remplacer, dans Rn,1 kpar

1 0

x^k−1dx. b) Se déduit de a).

c) 1) Pour calculer n k=0

ρk,raisonner comme en b).

2) Ne pas oublier que (−1)ⁿρnest, en fait, de signe fixe.

Faire apparaître une série double, en remplaçant ch(2n+1)a par son expression à l’aide d’exponentielles, et appliquer le théorème de Fubini.

a) Montrer d’abord que (un)n0est croissante. Raisonner ensuite par l’absurde.

b) Montrer :u²_n+1−u²_{n n}∼_∞ 2

et utiliser un théorème de sommation des relations de compa-raison.

c) Considérer vn=u²_n−2n, former vn+1−vnet utiliser encore un théorème de sommation des relations de comparaison.

Minorer convenablement 2n k=n+1

ϕ(k)

k pour déduire que cette somme ne tend pas vers 0lorsque l’entier ntend vers l’in-fini.

4.58

4.59

4.60 4.57

a) On a : 0^{|sin n|} n^{2 1}

n².

D’après l’exemple de Riemann (2>1 ) et le théorème de ma-joration pour des séries à termes 0, on conclut que la série

n

unconverge.

b) On a, en utilisant une expression conjuguée : u_n=√ mi-noration pour des séries à termes 0, on conclut que la série

Par théorème de majoration pour des séries à termes ^{0, on} conclut que la série

D’après l’exemple de Riemann (2>1 ) et le théorème

D’après l’exemple de Riemann (2>1 ) et le théorème

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