Cours mathématiques méthodes et exercices – Cours et formation gratuit

(1)

Méthodes et exercices

MathéMati ues

Jean-Marie Monier

mp

Les méthodes à retenir Plus de 600 énoncés

d’exercices

Indications pour bien démarrer

Tous les corrigés détaillés

uploading by KAMAL-EDDINE RKE/

(2)

(3)

Jean-Marie Monier

MATHÉMATIQUES

MP MÉTHODES ET EXERCICES

Professeur en classe de Spéciales au lycée La Martinière-Monplaisir

à Lyon

(4)

Table des matières

IV

Table des matières

1. Espaces vectoriels normés 1

Les méthodes à retenir 2

Énoncés des exercices 8

Du mal à démarrer ? 16

Corrigés des exercices 20

2. Fonctions vectorielles

d’une variable réelle 43

3. Intégration

sur un intervalle quelconque 77

4. Séries 135

5. Suites et séries

d’applications 185

6. Séries entières 247

7. Séries de Fourier 311

8. Équations différentielles 335

(5)

Table des matières

9. Fonctions

de plusieurs variables réelles 377

10. Compléments

d’algèbre linéaire 397

11. Réduction

des endomorphismes

et des matrices carrées 427

12. Algèbre bilinéaire 471

13. Algèbre sesquilinéaire 519

14. Compléments

d’algèbre générale 527

15. Géométrie 545

Index alphabétique 557

(6)

VI

Pour bien utiliser cet ouvrage

− −

−

La page d’entrée de chapitre

Elle propose un plan du chapitre, les thèmes abordés dans les exercices, ainsi qu’un rappel des points essentiels du cours pour la résolution des exercices.

∗

· ·

−

∗

·

∗

Les méthodes à retenir

Cette rubrique constitue une synthèse des prin-

cipales méthodes à connaître,détaillées étape par

étape, et indique les exercices auxquels elles se

rapportent.

(7)

Énoncés des exercices

De nombreux exercices de difficulté croissante sont proposés pour s’entraîner. La difficulté de chaque exercice est indiquée sur une échelle de 1 à 4.

Corrrigés des exercices

Tous les exercices sont corrigés de façon détaillée.

−

∗

−

∗

∼

∗ ∼ −−−

−

∼

∗ ∼

−−−

− ∼

∗ ∼

−−−

−

∗

−−−

∗

−

−−−

−

− ₋

−

− −−

−

−−

−

− −

− − −

Du mal à démarrer ?

Des conseils méthodologiques sont proposés pour bien aborder la résolution des exercices.

− −

−

− α

−

−ππ

−

−−

−

(8)

Préface

VIII

Préface

Alors que, récemment, je feuilletais l’un des manuels de mathématiques qui servait de référence lorsque – voici quelques décennies ! – j’étais en prépa, me revinrent en mémoire certaines sensations : à la lecture des énoncés des exercices que j’avais jadis cochés, d’une concision à la fois élégante et provocante, je me rappelais le plaisir que j’avais éprouvé à la résolution de quelques-uns d’entre eux mais aussi, cette étrange amertume, pas encore totalement estom- pée aujourd’hui, que j’avais ressentie en abandonnant la recherche de quelques-uns, pourtant signalés d’un simple asté- risque, après de vains efforts et plusieurs tentatives avortées.

Les volumes Méthodes et Exercices (pour MP d’une part, PC-PSI-PT d’autre part) que J.-M. Monier nous présente aujourd’hui semblent tout spécialement écrits pour éviter ce traumatisme aux étudiants d’aujourd’hui et de demain.

Chacun de ces ouvrages se compose de deux parties éminemment complémentaires :

• Les méthodes constituent ce guide précieux qui permet à l’étudiant de passer, confiant, efficacement « coaché », du cours qu’il apprend à la recherche nécessaire et fructueuse des exercices. Si les théorèmes du cours sont les outils de l’artisan-étudiant, les méthodes et techniques proposées ici en sont les modes d’emploi. Évidemment, ces conseils sont particulièrement soignés et pertinents : ne sont-ils pas le fruit de la longue et multiple expérience de J.-M.

Monier, pédagogue avéré, interrogateur recherché et auteur apprécié de maints ouvrages reconnus ?

Pour une aide encore plus précise, chaque méthode est assortie de la liste des exercices dans lesquels sa mise en œuvre est souhaitable.

• Les exercices, nombreux, variés et souvent originaux, couvrent la totalité du programme, chapitre après chapitre. Ils répondent parfaitement à un triple objectif :

permettre d’assurer, d’approfondir et d’affiner, pendant son apprentissage, la compréhension du cours ;

consolider et enrichir ses connaissances par la résolution d’exercices plus substantiels et de questions plus déli- cates ;

réaliser des révisions efficaces et ciblées lors de la préparation des épreuves écrites ou orales des concours.

Ces exercices sont judicieusement classés en quatre niveaux de difficulté croissante, permettant ainsi aussi bien au néo- phyte de se mettre en confiance en traitant une application directe du cours (niveau 1) qu’à l’étudiant chevronné de se mesurer à des exercices plus difficiles et délicieusement subtils (niveau 4). On notera avec plaisir que chaque chapitre est couvert par des exercices des quatre niveaux. L’abandon douloureux devant une question trop abruptement posée, dont je parlais au début, ne saurait se produire avec l’ouvrage de J.-M. Monier : en effet, dans la rubrique « Du mal à démarrer », il apporte à l’étudiant(e) qui le souhaite une aide discrète, rappelant ici la méthode adéquate, donnant là une indication précieuse, ouvrant ailleurs une piste de recherche…

Pour chaque exercice, l’auteur s’est imposé la rédaction complète et appliquée d’un corrigé clair, précis, détaillé, osons le mot, exemplaire. S’il est louable et formateur de chercher, il est plus gratifiant de trouver ! Et, ici encore, le manuel permet à chacun, soit de constater que sa solution est celle qui est fournie (et il en éprouve un indicible plaisir !), soit de s’aider du corrigé pour parvenir, rassuré et guidé, à cette solution.

Qu’il me soit aussi permis d’insister sur l’ampleur de ces volumes, liée à la grande variété des exercices choisis, et qui

est rare à ce niveau d’études, en même temps que sur leur prix très modique !

(9)

Préface

Ces ouvrages de consultation particulièrement agréable constituent l’outil efficace et complet qui permettra à chacun, à son rythme mais en magnifiant ses propres aptitudes, de développer son goût pour les mathématiques et ses compé- tences et, tout à la fois, de forger son succès.

Quant à moi, un regret est en train de m’assaillir : pourquoi n’ai-je pas attendu la rentrée prochaine pour commencer ma prépa ?

H. Durand,

professeur en Mathématiques Spéciales PT*

au lycée La Martinière Monplaisir à Lyon.

(10)

Index alphabétique

X

Remerciements

Je tiens ici à exprimer ma gratitude aux nombreux collègues qui ont accepté de réviser des parties du manuscrit : Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Gérard Bourgin, Jean-Paul Charroin, Jean-Paul Christin, Carine Courant, Hermin Durand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, André Laffont, Cécile Lardon, Ibrahim Rihaoui, René Roy, Marie-Dominique Siéfert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier.

Jean-Marie Monier

(11)

1 CHAPITRE 1

Espaces vectoriels normés

Thèmes abordés dans les exercices

•

Montrer qu'une application est une norme

•

Obtention d’inégalités portant sur des normes

•

Montrer que deux normes sont (ne sont pas) équivalentes

•

Montrer qu’une partie d’un evn est (n’est pas) fermée, est (n’est pas) ouverte

•

Manipulation d’adhérences, d’intérieurs, de fermés, d’ouverts

•

Calcul de la distance d’un point à une partie

•

Utilisation de la continuité, de la continuité uniforme, du caractère lipschitzien

•

Montrer qu’une application linéaire f est continue, calculer

|||f|||

•

Montrer qu’une partie est (n’est pas) compacte, manipulation de parties com- pactes

•

Utilisation d’une suite de Cauchy

•

Montrer qu’une partie est (n’est pas) complète, manipulation de parties com- plètes

•

Montrer qu’une partie est (n’est pas) connexe par arcs, manipulation de parties connexes par arcs

•

Montrer qu’une application est un produit scalaire

•

Déterminer l’orthogonal d’une partie d’un espace préhilbertien

Points essentiels du cours

pour la résolution des exercices

•

Définition de norme, espace vectoriel normé, distance associée à une norme, inégalité triangulaire renversée, normes équivalentes

•

Définition de boule ouverte, boule fermée, parties bornées

•

Définition et propriétés de : ouvert, fermé, adhérence, intérieur, point adhérent, point intérieur

•

Définition de la distance d’un point x à une partie A d’un evn E, caractérisa- tion de d

(x,A)=

0

•

Définition et propriétés de la convergence des suites, suites extraites, valeurs d’adhérence d’une suite

Les méthodes à retenir 2 Énoncés des exercices 8 Du mal à démarrer ? 16

Corrigés 20

Plan

(12)

Chapitre 1• Espaces vectoriels normés

2

Les méthodes à retenir

•

Définition et propriétés des limites, de la continuité en un point, de la conti- nuité sur une partie

•

Définition de la continuité uniforme, du caractère lipschitzien, liens entre continue, uniformément continue, lipschitzienne

•

Caractérisation des applications linéaires continues parmi les applications linéaires, définition et propriétés de la norme

|||.|||

•

Définition séquentielle de la compacité, liens entre compact et fermé, liens entre compact et fermé borné, produit cartésien de deux compacts, image continue d’un compact, théorème de Heine, équivalence des normes en dimension finie

•

Définition d’une suite de Cauchy, d’une partie complète, lien entre compact et complet, liens entre complet et fermé, tout evn de dimension finie est complet

•

Définition de connexe par arcs, lien avec la convexité, connexes par arcs de

R

, image continue d’un connexe par arcs, théorème des valeurs intermédiaires

•

Définition d’un produit scalaire (réel ou complexe), d’un espace préhilbertien, inégalité de Cauchy et Schwarz et cas d’égalité, inégalité de Minkowski et cas d’égalité

•

Définition et propriétés de l’orthogonalité dans un espace préhilbertien, théo- rème de Pythagore, procédé d’orthogonalisation de Schmidt, théorème de pro- jection orthogonale sur un sev de dimension finie.

On abrège :

espace vectoriel en ev sous-espace vectoriel en sev espace vectoriel normé en evn.

Pour montrer qu’une application

N : E−→R

est une norme sur un

K

-espace vectoriel E

Pour exprimer la distance d

associée à une norme sur un

K

-ev E à partir de cette norme, ou pour exprimer une norme à partir de la distance associée d sur E

Revenir à la définition.

Ne pas oublier de montrer que, pour tout x

∈E , N(x)

existe, en par- ticulier lorsque N

(x)

est donnée par une borne supérieure ou une intégrale.

➥ Exercices 1.28 a), 1.32, 1.46.

Utiliser les formules :

∀(x,y)∈E², d(x,y)=N(x−y),

∀x∈ E, N(x)=d(

0

,x).

(13)

Les méthodes à retenir

Essayer d’appliquer l’inégalité triangulaire :

∀(x,y)∈E², ||x+y||||x|| + ||y||,

ou l’inégalité triangulaire renversée :

∀(x,y)∈ E², ||x|| − ||y||||x−y||.

➥ Exercices 1.1, 1.44.

Pour établir une inégalité faisant intervenir

une norme

||.||

sur un

K

-ev

Pour montrer que deux normes

N,N

sur un

K

-espace vectoriel E sont équivalentes

Pour montrer que deux normes

N,N

sur un

K

-espace vectoriel E ne sont pas équivalentes

Pour montrer

qu’une partie A d’un evn E est fermée dans E

• Lorsque E n’est pas nécessairement de dimension finie, revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :

∃(α,β)∈(R^∗₊)²,∀,x∈ E, αN(x)N (x)βN(x).

➥ Exercices 1.4, 1.32, 1.46

• Si E est de dimension finie, d’après le cours, toutes les normes sur E sont équivalentes.

Chercher une suite

(fn)ⁿ

dans E

− {

0

}

telle que :

N(fn)

N(fn) −−→

n∞ + ∞

ou

N(fn) N(fn)−−→

n∞ + ∞.

➥ Exercices 1.18, 1.46.

• Si on peut faire intervenir la notion de suite, utiliser la caractérisa- tion séquentielle des fermés :

la partie A de E est fermée dans E si et seulement si, pour toute suite

(an)ⁿ

dans A convergeant vers un élément x de E, on a : x

∈ A.

➥ Exercices 1.3 a), 1.16, 1.17, 1.48

• Essayer de montrer que :

∗ A est une intersection de fermés de E

∗ A est une réunion d’un nombre fini de fermés de E

∗ A est un produit cartésien d’un nombre fini de fermés

• Essayer de montrer que A est l’image réciproque d’un fermé par une application continue.

➥ Exercice 1.34.

• Si le contexte fait intervenir des ouverts, essayer de montrer que

^E(A)

est ouvert dans E

.

Pour montrer

qu’une partie Ω d’un evn E est ouverte dans E

• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :

∀x∈Ω,∃r >

0

, B(x;r)⊂.

• Montrer que

^E(Ω)

est un fermé de E

(14)

4

• Essayer de montrer que :

∗Ω

est une réunion d’ouverts de E

➥ Exercice 1.5 b)

∗Ω

est une intersection d’un nombre fini d’ouverts de E

∗Ω

est un produit cartésien d’un nombre fini d’ouverts

• Essayer de montrer que Ω est l’image réciproque d’un ouvert par une application continue.

➥ Exercices 1.5 a), 1.33, 1.34.

Pour montrer qu’un point x d’un

K

-evn E est adhérent à une partie A de E

Pour montrer qu’un point x d’un

K

-evn E est intérieur à une partie A de E

Pour manipuler des adhérences et/ou des intérieurs de parties d’un

K

-evn E

• Montrer qu’il existe une suite

(an)ⁿ

dans A convergeant vers x

.

➥ Exercices 1.2, 1.29, 1.30 a)

• Montrer, pour tout voisinage V de x dans E : V

∩ A=/ ∅.

➥ Exercice 1.31.

Montrer qu’il existe r

>

0 tel que : B

(x;r)⊂A.

➥ Exercices 1.2, 1.29.

• Utiliser les propriétés ensemblistes (globales) des adhérences et des intérieurs :

1)∗ A^◦

est ouvert dans E

∗

si Ω

⊂A et si Ω

est ouvert dans E, alors Ω

⊂A^◦

∗ A^◦◦= A^◦, E^◦=E, ∅^◦=∅

∗ A⊂B⇒ A^◦⊂B^◦ 2)∗ A est fermé dans E

∗

si A

⊂F et si F est fermé dans E, alors A⊂F

∗ A=A, E =E, ∅=∅

∗ A⊂B⇒ A⊂B 3)^E(A)=

^E(A)◦

, ^E(A^◦)=^E(A).

➥ Exercice 1.45

• On ne se résoudra à faire intervenir les éléments de E que lorsque des calculs globaux ne seront pas réalisables.

➥ Exercices 1.15, 1.45.

Pour manipuler la distance d

(x,A)

d’un point x d’un

K

-evn E à une partie non vide A de E

Utiliser la définition :

d(x,A)=

Inf

a∈Ad(x,a),

ce qui revient à :

∀a∈ A, d(x,A)d(x,a)

∀k∈R+,

∀,a∈ A, kd(x,a)

⇒kd(x,A) .

On fera souvent alors intervenir l’inégalité triangulaire ou l’inégalité triangulaire renversée.

➥ Exercice 1.17.

(15)

• Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la conti- nuité en un point.

➥ Exercice 1.19

• Si f est à valeurs dans un produit cartésien, montrer que chaque fonc- tion-coordonnée de f est continue en a.

• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :

∀ε>

0

,∃η>

0

,∀x∈ A,

dE(x,a)η⇒dF

f(x),f(a)

ε

.

• Utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité, c’est-à-dire montrer que, pour toute suite

(an)ⁿ

dans A convergeant vers a, la suite

f(an)

n

converge vers f

(a).

Pour montrer qu’une application

f : X⊂E−→F

est continue en un point a de X

Pour montrer qu’une application

f : X⊂E−→F

est continue sur X

• Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la conti- nuité sur une partie.

➥ Exercice 1.6

• Montrer que f est continue en chaque point de X, en se ramenant aux méthodes vues plus haut.

• Montrer que l’image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de X, ou montrer que l’image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de X

.

• Se souvenir que le caractère lipschitzien ou l’uniforme continuité entraînent la continuité.

Pour montrer qu’une application

f : X⊂E−→F

est uniformément continue sur X

Pour manipuler une application

f : X⊂E−→F k-lipschitzienne

Pour montrer qu’une application linéaire f

∈L(E,F)

est continue

• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :

∀ε>

0

,∃η>

0

,∀(x,x)∈ X²,

dE(x,x)η⇒dF

f(x),f(x)

ε

.

• Se rappeler que, si f est lipschitzienne, alors f est uniformément continue.

• Se rappeler le théorème de Heine : si f est continue sur X et si X est compact, alors f est uniformément continue sur X

.

Utiliser la définition :

∀(x1,x2)∈ X², dF

f(x1),f(x2)

k d(x1,x2).

➥ Exercice 1.7

• Exprimer f comme combinaison linéaire ou composée d’applica- tions linéaires continues.

• Montrer qu’il existe M

∈R+

tel que :

∀x∈ E, ||f(x)||^F M||x||^E.

➥ Exercices 1.8, 1.12, 1.35, 1.36

• Se rappeler que, si E est de dimension finie, alors toute application linéaire f : E

−→F est continue.

(16)

6

Pour calculer la norme

|||f|||

d’une application linéaire continue

f∈LC(E,F)

Montrer d’abord qu’il existe M

∈R+

tel que :

∀x∈ E, ||f(x)||^F M||x||^E,

et on a alors

|||f|||M,

où, par définition :

|||f||| =

Sup

x∈E−{0}

||f(x)||^F

||x||^E =

Sup

x∈B(0;1)||f(x)||^F.

On peut espérer, si M a été convenablement obtenu, que l’on ait :

|||f||| =M.

La borne supérieure définissant

|||f|||

peut être atteinte ou non.

Si E est de dimension finie, alors la borne supérieure est atteinte et on cherchera donc x

0∈ E− {

0

}

de façon que

||f(x₀)||^F

||x₀||^E =M.

Si E n’est pas de dimension finie, la borne supérieure peut être attein- te ou non. Essayer :

∗

soit de chercher x

0∈ E− {

0

})

de façon que

||f(x0)||^F

||x0||^E =M

➥ Exercices 1.8, 1.20, 1.35, 1.36

∗

soit de chercher une suite

(xn)ⁿ

dans E

− {

0

}

de façon que :

||f(xn)||^F

||xn||^E −→_n_∞ M.

Dans un contexte de compacité, pour établir une inégalité stricte

Dans un contexte de compacité

Pour montrer

qu’une partie X d’un evn E est compacte

Essayer de faire intervenir une application continue sur un compact et à valeurs dans

R^∗₊.

➥ Exercice 1.38.

Un raisonnement par l’absurde peut permettre de construire une suite, puis d’appliquer la compacité pour obtenir une suite convergente et amener une contradiction.

➥ Exercice 1.22.

• Essayer de faire apparaître X comme image directe d’un compact par une application continue.

➥ Exercice 1.9

• Essayer de montrer que X est fermé dans un compact.

• Si E est de dimension finie, montrer que X est fermée et bornée.

➥ Exercices 1.10, 1.21, 1.39, 1.41.

(17)

Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :

∀ε>

0

,∃N ∈N,∀(p,q)∈N²,

pN

qN ⇒d(up,uq)ε .

➥ Exercices 1.11, 1.24, 1.50.

Pour montrer

qu’une suite

(un)ⁿ

d’un evn E est de Cauchy

Pour montrer

qu’une partie X d’un evn E est complète

Pour montrer

qu’une partie A d’un evn E est connexe par arcs

• Montrer que X est fermée et qu’il existe une partie Y de E telle que

X ⊂Y et que Y soit complète.

• Se rappeler que, si X est compacte, alors X est complète.

• Se rappeler que, si E est de dimension finie et si X est fermée dans E, alors X est complète.

• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer que toute suite de Cauchy dans X converge dans X

.

• Se rappeler d’abord que :

∗

toute partie convexe est connexe par arcs

∗

les parties connexes par arcs de

R

sont les intervalles.

➥ Exercice 1.51.

• Montrer que A est l’image directe d’une partie connexe par arcs par une application continue.

➥ Exercices 1.25, 1.51.

• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer que, pour tout

(x,y)∈ A²,

il existe un chemin joignant continument x et y en res- tant dans A

,

c’est-à-dire montrer qu’il existe une application conti- nue γ : [0

;

1]

−→A telle que :

γ(

0

)=x, γ(

1

)=y

∀t ∈

[0

;

1]

, γ(t)∈ A.

➥ Exercice 1.26.

Pour exploiter la connexité par arcs

Pour montrer qu’une application

ϕ

: E

×E−→R

est un produit scalaire, où E est un

K

-ev Pour relier un produit scalaire

ϕ

: E

×E−→K

et la forme quadratique

φ

: E

−→R

associée

Essayer d’utiliser le théorème des valeurs intermédiaires :

si A est connexe par arcs et si f : A

−→R

est continue, alors f atteint tout réel entre deux réels qu’elle atteint déjà.

Revenir à la définition.

➥ Exercice 1.43.

Utiliser la formule qui exprime φ à l’aide de ϕ :

∀x∈ E, φ(x)=ϕ(x,x),

(18)

8

ou, si

K=R

, une des formules exprimant ϕ à l’aide de φ :

∀(x,y)∈ E², ϕ(x,y)=

1 2

φ(x+y)−φ(x)−φ(y) ,

∀(x,y)∈ E², ϕ(x,y)=

1 4

φ(x+y)−φ(x−y) .

Pour obtenir des inégalités dans un contexte

d’espace préhilbertien

E,(.|.)

Pour manipuler

des orthogonaux de parties dans un espace préhilbertien

E,(.|.)

Utiliser l’inégalité de Cauchy et Schwarz :

∀(x,y)∈ E², |(x|y)|||x|| ||y||,

ou l’inégalité de Minkowski, c’est-à-dire l’inégalité triangulaire pour la norme associée au produit scalaire :

∀(x,y)∈E², ||x+y||||x|| + ||y||.

➥ Exercice 1.52.

• Revenir à la définition de l’orthogonal d’une partie A de E :

A^⊥= x∈ E; ∀a∈ A, (x|a)=

0

.

• Utiliser les propriétés ensemblistes (globales) de l’orthogonalité :

∗ A⊂B⇒ A^⊥⊃B^⊥

∗ A^⊥=

Vect

(A)⊥

∗ A⊂A^⊥⊥, E^⊥= {

0

}, {

0

}^⊥=E

∗ A ∩ A^⊥⊂ {

0

}.

➥ Exercice 1.27.

• Se rappeler que, d’après le théorème de projection orthogonale sur un sev de dimension finie, si F est de dimension finie, alors :

F⊕F^⊥=E.

Énoncés des exercices

Inégalité sur des normes

Soient (E,||.||)un evn, x,y,z,t∈ E.Montrer :

||x−y|| + ||z−t||||x−z|| + ||y−t|| + ||x−t|| + ||y−z||.

Adhérence, intérieur d’un produit cartésien de deux parties Soient E,F deux evn, A⊂E,B⊂F.Montrer :

a) A×B=A×B b)(A×B)^◦=A^◦×B^◦.

1.1

1.2

(19)

Énoncés des exercices

Une partie est-elle fermée, est-elle ouverte ?

On note E le R-ev des applications continues bornées de Rdans R, muni de ||.||∞. a) Est-ce que F= f ∈ E; ∀x∈R, f(x)0

est fermée dans E ? b) Est-ce que U=

f ∈E; ∀x∈R, f(x) >0

est ouverte dans E ?

Exemple de deux normes équivalentes On note E=C¹

[0;1];R

et ν1,ν2les applications de E dans Rdéfinies, pour toute f ∈E , par : ν1(f)= |f(0)| +2

1

0 |f(t)|dt, ν2(f)=2|f(0)| + 1

0 |f(t)|dt. Montrer que ν1et ν2sont des normes sur E et qu’elles sont équivalentes.

Somme d’une partie et d’un ouvert Soient E un evn,Ωun ouvert de E.

a) Montrer que, pour tout a∈E,la partie {a} +^Ω= a+x;x∈^Ω

est un ouvert de E. b) En déduire que, pour toute partie A de E,la partie A+^Ω= a+x;(a,x)∈ A×^Ω

est un ouvert de E.

Fonction continue à deux variables

Soient E,F,G des evn, A⊂E telle que A=/ ∅, B⊂F telle que B=/ ∅, et f : A−→G,g : B−→G deux applications.

On note : ϕ: A×B−→G, (x,y)−→ϕ(x,y)= f(x)+g(y).

Montrer que ϕest continue sur A×B si et seulement si : f est continue sur A et g est continue sur B.

Exemple d’application lipschitzienne

Soit (a,b)∈(R+)². On munit R² de la norme ||.||¹ définie, pour tout (x,y)∈R², par :

||(x1,x2)||¹= |x1| + |x2|. On note f :R²−→R², (x1,x2)−→ f(x1,x2)=(ax2,bx1).

Montrer que f est lipschitzienne.

Étude d’une application linéaire continue sur un espace de fonctions, calcul de sa norme On note E=C

[0;1];R

, muni de ||.||1définie par : ∀f ∈E, ||f||1= 1 0

|f(t)|dt

et on considère l’application : φ: E−→R, f −→φ(f)= 1 0

f(t)dt. Montrer φ∈LC(E,R)et calculer |||φ|||.

Somme de deux compacts

Soient E un evn, K,L deux compacts de E.Montrer que K+L est compact.

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

(20)

10

Une partie est-elle compacte, non compacte ?

On considère l’application f :R−→R, x−→ f(x)=



 sin x

x si x=/ 0

1 si x=0

et on note : A= x∈R; f(x)=0

, B=

x∈R; f(x)1 2 .

Est-ce que A est compacte ? Est-ce que B est compacte ? Suite proche d’une suite de Cauchy

Soient (E,||.||)un evn, d la distance associée à ||.||, (un)ⁿ∈N, (vⁿ)ⁿ∈N deux suites dans E telles que : d(un,vn)−→

n∞ 0.Montrer que, si l’une des deux est de Cauchy, alors l’autre l’est aussi.

Exemple d’application diminuant strictement les distances, dans un evn complet, et sans point fixe

Donner un exemple d’application f :R−→Rtelle que :

∀(x,y)∈R²,

x=/ y⇒ |f(x)− f(y)|<|x−y| et que, cependant, f n’a pas de point fixe.

Caractérisation de l’égalité de deux boules pour deux normes

Soient E un K-evn, N1,N2deux normes sur E.On note, pour tout i∈ {1,2}: Bi= x∈E;Ni(x) <1

, B_i= x∈E;Ni(x)1 ,

qui sont la boule ouverte et la boule fermée de E,de centre 0, de rayon 1, pour la norme Ni. Montrer :

a) B₁=B₂⇐⇒N1=N2 b) B1=B2⇐⇒N1=N2. Intérieur d’un sous-espace vectoriel

a) Soient E un evn, F un sev de E . Montrer que, si F^◦ =/ ∅, alors F=E . b) On note E le R-ev C

[0;1],R

muni de || · ||∞, E1(resp. P) la partie de E formée des appli- cations de classe C¹(resp. polynomiales). Montrer : E^◦1=P^◦=∅.

Adhérence d’une boule ouverte, intérieur d’une boule fermée Soient (E,||.||)un evn, a∈E,r∈R^∗₊.Montrer :

a) B(a;r)=B(a;r) b)

B(a;r)◦

=B(a;r).

Exemple de partie fermée dans un espace de fonctions

On note E le R-ev des applications de [0;1] dans Rbornées, muni de la norme ||.||∞, et on consi- dère A= f ∈E; ∀x∈[0;1], e^f⁽^x⁾2+f(x)

. Montrer que A est une partie fermée, non bornée, de E.

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

(21)

Énoncés des exercices Exemple de calcul de la distance d’un point à une partie

On note E=C

[0;1];R

,muni de ||.||∞. a) On note A=

f ∈E; f(0)=1 et 1

0

f =0

. 1) Montrer que A est une partie fermée de E.

2) Calculer d(0,A).Cette distance est-elle atteinte ? b) Mêmes questions pour B=

f ∈ E; f(0)=0 et 1

0

f =1

.

Exemple de trois normes deux à deux non équivalentes On note E=C²

[0;1];R

et N_∞,N_∞,N_∞ les applications de E dans Rdéfinies, pour toute f ∈E , par :

N_∞(f)= Sup

x∈[0;1]|f(x)|, N_∞(f)= |f(0)| + Sup

x∈[0;1]|f (x)|, N_∞(f)= |f(0)| + |f (0)| + Sup

x∈[0;1]|f(x)|.

a) Montrer que N_∞,N_∞,N_∞ sont des normes sur E.

b) Comparer les normes N_∞,N_∞,N_∞ pour la relation d’équivalence entre normes.

Exemple d’application continue

Soit (E,||.||)un evn. On considère l’application f : E−→E, x−→ f(x)= x 1+ ||x||². Montrer : a) f est continue sur E b) f(E)=B

0; 1

2

.

Étude d’une application linéaire continue sur un espace de suites

On note ^∞ l’evn formé des suites réelles bornées x=(xn)ⁿ∈N, muni de || · ||∞ définie par

||x||∞=Sup

n∈N|xn|, et on considère l'opérateur de différence :^∞−→^∞défini par (x)=y où y=(yn)ⁿ∈Nest définie par :

∀n∈N, y_n=x_n+1−x_n. Montrer ∈LC(^∞), et calculer ||||||.

Exemple de partie compacte de R² La partie E=

(x,y)∈R²;x²(x−1)(x−3)+y²(y²−4)=0

de R²est-elle compacte ? Suites, dans un compact, n’ayant qu’une seule valeur d’adhérence

Soient E un evn, K une partie compacte de E ,(u_n)n∈Nune suite dans K ; montrer que, si (u_n)nn’a qu’une seule valeur d’adhérence, alors (un)nconverge.

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

(22)

12

Exemple d’evn non complet Montrer que C

[0;1];R

, muni de ||.||1, est un evn non complet.

Étude de la distance d’un point fixé aux points d’une suite de Cauchy

Soient (E,||.||)un evn, d la distance associée à ||.||, (un)ⁿ∈Nune suite de Cauchy dans (E,||.||).

a) Montrer que, pour tout a∈E,la suite d(a,un)

n∈Nconverge dans R.

On note f : E−→E, a−→ f(a)=lim

n∞d(a,un).

b) Montrer Inf

a∈E f(a)=0, et que cette borne inférieure est atteinte si et seulement si la suite (un)ⁿ∈Nconverge.

Somme de deux parties connexes par arcs

Soient E un evn, A,B deux parties connexes par arcs de E.Montrer que A+B est connexe par arcs.

Toute partie étoilée est connexe par arcs, exemple

a) Soient (E,||.||)un evn, A une partie étoilée de E,c’est-à-dire une partie de E telle qu’il exis- te a∈E tel que :∀x∈ A, [a;x]⊂A,où [a;x]= (1−t)a+t x;t∈[0;1]

est le seg- ment joignant a et x dans E.

Montrer que A est connexe par arcs.

b) Exemple : l’ensemble _Ddes matrices de Mn(R)diagonalisables dans Mn(R)est connexe par arcs.

Exemple de sev F d’un ev préhilbertien E ,

tel que F^⊥ne soit pas un supplémentaire de F dans E

On note E=C

[0;1];R

, muni du produit scalaire (f,g)−→< f,g>= 1

0

f g et on considère F= f ∈E; f(0)=0

.

Montrer : a) F^⊥= {0} b) F⊕F^⊥=/ E.

Exemple de norme sur R², détermination d’une boule On note N :R²−→R, (x,y)−→Sup

t∈R

|x+t y| 1+t+t². a) Montrer que N est une norme sur R².

b) Représenter graphiquement la boule B_N(0;1)= (x,y)∈R²;N(x,y)1

dans le plan usuel.

c) Calculer l’aire (dans le plan usuel) de B_N(0;1).

Adhérence et intérieur d’une partie convexe d’un evn Soient E un evn, C une partie convexe de E.

Montrer que C et C^◦sont convexes.

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

(23)

Énoncés des exercices Adhérence de la somme de deux parties

a) Soient E un evn, A,B des parties de E.Montrer : A+B⊂A+B.

b) Montrer, par un exemple, qu’il peut ne pas y avoir égalité dans l’inclusion de a).

Adhérence d’une intersection

a) Soient E un evn, A un ouvert de E,B une partie de E.Montrer : A ∩ B=A ∩ B. b) Soient E un evn, A une partie de E. On suppose que, pour toute partie B de E, on a

A∩ B⊂A ∩ B.Montrer que A est un ouvert de E.

c) Donner un exemple d’ouverts A,B de R tels que les cinq ensembles A ∩ B, A∩ B, A∩ B,A ∩ B, A ∩ B soient deux à deux distincts.

Exemple de deux normes équivalentes

On note E le R-ev des applications f : [0;1]−→R de classe C¹ sur [0;1] et telles que f(0)=0 . Pour f ∈E , on note N(f)= Sup

x∈[0;1]|f(x)| + Sup

x∈[0;1]|f (x)| et ν(f)= Sup

x∈[0;1]|f(x)+ f (x)|. Montrer que N et νsont des normes sur E , et qu’elles sont équi- valentes.

Séparation de deux fermés disjoints par deux ouverts disjoints

Soient E un evn, F,G deux fermés de E tels que F∩G=∅. Montrer qu’il existe deux ouverts U,V de E tels que : F⊂U, G⊂V, U∩V =∅.

Diverses caractérisations de la continuité

Soient E,F deux evn, f : E−→F une application. Montrer que les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :

(i) f est continue

(ii) ∀A∈P(E), f(A)⊂ f(A) (iii) ∀B∈P(F), f⁻¹(B)⊂ f⁻¹(B) (iv) ∀B∈P(F), f⁻¹(B^◦)⊂

f⁻¹(B)◦

.

Exemple d’application linéaire continue sur un espace de suites, calcul de sa norme On note ^∞le R-ev des suites réelles bornées (indexées par N^∗), muni de ||.||∞.On considère l’ap- plication T :^∞−→^∞qui, à tout élément (un)ⁿ1de ^∞associe la suite

un

n

n1

. a) Montrer que T est correctement définie, que T∈LC(^∞), et calculer |||T|||.

b) Déterminer Ker(T),Im(T).Est-ce que T est injective ? surjective ?

Exemple d’application linéaire continue sur un espace de fonctions, calcul de sa norme On note E=C

[0;1];R

,muni de ||.||∞.

Soient p∈N^∗,a1,. . . ,ap∈[0;1] deux à deux distincts,λ1,. . . ,λp∈R.

On note :φ: E−→R, f −→φ(f)= p k=1

λkf(ak).

Montrer φ∈LC(E,R)et calculer |||φ|||.

1.30

1.31

1.32

1.33

1.34

1.35

1.36

(24)

14

Somme d’un fermé et d’un compact

Soient E un evn, F est un fermé de E , K un compact de E . Montrer que F+K est fermée dans E .

Application diminuant strictement les distances sur un compact

Soient E un evn, K une partie compacte de E , f : K −→K une application telle que :

∀(x,y)∈K²,

x=/ y⇒d

f(x),f(y)

<d(x,y) où d est la distance sur E . Montrer que f admet un point fixe et un seul.

Applications continues de limites infinies en +∞et en −∞

Soit f :R−→Rune application continue. Montrer que les trois propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :

(i) L’image réciproque par f de tout compact de Rest un compact de R (ii)lim

−∞|f| = +∞ et lim

+∞|f| = +∞

(iii)

lim−∞ f = −∞ou lim

−∞ f = +∞

et

lim+∞ f = −∞ou lim

+∞f = +∞

.

Réunion d’une famille de boules fermées de même rayon indexée par un compact Soient E un evn, K une partie compacte de E,r ∈R^∗₊.On note F=

x∈K

B(x;r).Montrer que F est fermé dans E.

Ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite bornée dans un evn de dimension finie Soient (E,||.||)un evn de dimension finie,(un)ⁿ∈Nune suite bornée dans E.On note V l’ensemble des valeurs d’adhérence de (un)n∈Ndans E.Montrer que V est une partie compacte non vide de E. Natures différentes pour [0;1]²et [0;1]

Montrer qu’il n’existe aucune application continue injective de [0;1]²dans [0;1]. Exemple de norme issue d’un produit scalaire

On note E =C¹

[0;1];R

et N : E−→Rl’application définie par :

∀f ∈E, N(f)= ¹

0

f²+f(0)f(1) ¹₂

.

Montrer que N est une norme sur E. Inégalité sur des normes

Soient (E,||.||)un evn, x,y∈E− {0}.Démontrer :

x

||x||− y

||y||

_Max²^||_(||^x_x⁻_||,^y_||^||_y_||). Intersection de deux ouverts partout denses

Soit E un evn.

a) Montrer, pour tous ouverts U,V de E : U=V =E⇒U∩V =E. b) En déduire, pour tous fermés F,G de E :F^◦=G^◦ =∅⇒(F∪G)^◦=∅.

1.37

1.38

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1.40

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1.42

1.43

1.44

1.45

(25)

Énoncés des exercices Exemple de norme paramétrée par une fonction

On note E=C [0;1],R

et, pour ϕ∈E, Nϕ: E−→Rl’application définie par :

∀f ∈E, N_ϕ(f)= ||fϕ||∞. a) Montrer que Nϕest une norme sur E si et seulement si

ϕ⁻¹({0})◦=∅.

b) Montrer que Nϕet || · ||∞sont des normes sur E équivalentes si et seulement si ϕ⁻¹({0})=∅.

Endomorphismes continus tels que u◦v−v◦u=e Soit E un evn distinct de {0}.On note e=Id_E. On suppose qu’il existe (u,v)∈

LC(E)2

tel que : u◦v−v◦u=e. a) Montrer :∀n∈N, u◦vⁿ⁺¹−vⁿ⁺¹◦u=(n+1)vⁿ.

b) En déduire :∀n∈N, (n+1)|||vⁿ|||²|||u||| |||v||| |||vⁿ|||.

c) Conclure.

Image d’un fermé de Cpar une application polynomiale

Soit P∈C[X].Montrer que l’image par P de tout fermé de Cest un fermé de C.

Image de l’intersection d’une famille décroissante de parties fermées dans un compact, par une application continue

Soient E un evn, K une partie compacte de E, (Fn)ⁿ∈Nune suite décroissante (pour l’inclusion) de parties fermées de K,et f : K−→K une application continue. Montrer :

f

n∈N

Fn

=

n∈N

f(Fn).

Théorème du point fixe

Soient (E,||.||)un evn, F⊂E , et f : F−→F une application.

On suppose que F est complète et que f est contractante, c’est-à-dire qu’il existe k∈[0;1[ tel que :∀(x,y)∈R², ||f(x)−f(y)||^k||x−y||.

On se propose de montrer que f admet un point fixe et un seul.

a) Montrer l’unicité d’un éventuel point fixe de f.

b) On considère, pour a∈F fixé, la suite (un)ⁿ∈Ndéfinie par u0=a et :∀n∈N, un+1= f(un).

Montrer que la suite (un)n∈Nconverge et que sa limite est un point fixe de f.

c) Conclure que f admet un point fixe et un seul.

Théorème de Darboux

Soient I un intervalle de R,non vide ni réduit à un point, et f : I−→Rune application dérivable sur I.Démontrer que f(I)est un intervalle de R.

1.46

1.47

1.48

1.49

1.50

1.51

(26)

16

Théorème de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel complet d’un espace préhilbertien

Soient (E,<·,·>)un espace préhilbertien, F un sev complet de E .

a) Montrer que, pour tout x de E , il existe un élément z de F et un seul tel que x−z∈F^⊥. On note pF: E−→E

x−→z l’application ainsi définie.

b) Montrer : 1) p_F ∈LC(E) 2) pF◦pF=pF

3) pFadmet un adjoint, et p^∗_F =pF.

Ce résultat généralise le théorème de projection orthogonale sur un sev de dimension finie, figu- rant dans le cours.

1.52 Du mal à démarrer ?

Appliquer convenablement, plusieurs fois, l’inégalité triangulaire.

a) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle de l’adhérence.

b) Séparer en deux inclusions et, par exemple, utiliser la caracté- risation d’un point intérieur par l’existence d’ouverts conve- nables.

a) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle des fermés.

b) Montrer que Un’est pas ouvert, en trouvant f ∈Utelle que, pour tout ε∈R^∗₊,B(f;ε)U.

1) Montrer que ν1est une norme sur Een revenant à la définition d’une norme.

2) De même pour ν2.

3) Remarquer que, pour toute f ∈E:

ν1(f)²ν2(f) et ν2(f)²ν1(f).

a) Considérer, par exemple, pour a∈Efixé, la translation de vecteur −a:

τ−a: E−→E, y−→y−a. b) Exprimer A+^Ωà l’aide des {a} +^Ω,a∈A.

1) Si ϕest continue sur A×B,exprimer fà l’aide de ϕ, pour déduire que fest continue sur A.

2) Si fest continue sur Aet gest continue sur B,exprimer ϕà l’aide de f,get des projections canoniques, pour déduire que ϕ est continue sur A×B.

Évaluer, pour (x1,x2), (y1,y2)∈R²:

||f(x1,x2)− f(y1,y2)||1.

• Voir d’abord la linéarité de φ.

• Majorer convenablement |φ(f)|à l’aide de ||f||1, pour toute f ∈E.

• Montrer que la borne supérieure définissant |||φ|||est atteinte par une fonction simple de E.

Considérer l’application

f : E×E−→E, (x,y)−→x+y.

1)An’est pas bornée.

2)Best fermée et bornée.

Majorer d(vp,vq)en intercalant upet uqet utiliser les deux hypothèses : la suite (un)n∈Nest de Cauchy et d(un,vn)−→_n∞0.

Considérer, par exemple : f :R−→R, x−→

x²+1. a) • Un sens est immédiat.

• Si B₁=B₂, pour x∈E− {0}, considérer 1

N1(x)x, qui est dans B₁, donc dans B₂.

1.1

1.2

1.3

1.4

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1.7

1.8

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1.13