5.3 Quelques exemples
5.3.3 La forme de Herbrand du buveur
On considère ici la formule∃x(Rx→ Rϕ(x)). Cette formule est valide puis- qu’il suffit de définir x comme étant un individu tel que ¬R(x) s’il en existe
un, tout x convenant sinon. Il s’agit de la forme de Herbrand de la formule précédente, telle qu’elle est définie dans la section7.2. Celle-ci est démontrable en logique intuitionniste.
Théorème 5.3.3.
La quasi-preuve λz(z)λx(z)λg x réalise ∀R{∀x((Rx →Rϕ(x)) → ⊥) → ⊥}.
124 Les jeux en réalisabilité g : Rx0, x : Rϕ(x0) ⊢x : Rϕ(x0) x: Rϕ(x0) ⊢λg x: Rx0→Rϕ(x0) Z⊢z :∀x{(Rx→Rϕ(x)) → ⊥} Z⊢z:(Rx0→ Rϕ(x0)) → ⊥ Z, x : Rϕ(x0) ⊢ (z)λg x :⊥ Z, x : Rϕ(x0) ⊢ (z)λg x : Rϕ2(x0) Z⊢λx(z)λg x : Rϕ(x0) →Rϕ2(x0)
Ce qui permet de conclure comme suit :
... Z⊢ λx(z)λg x: Rϕ(x0) →Rϕ2(x0) Z⊢z:∀x{(Rx→Rϕ(x)) → ⊥} Z⊢z:(Rϕ(x0) →Rϕ2(x0)) → ⊥ Z⊢ (z)λx(z)λg x:⊥ ⊢ λz(z)λx(z)λg x :∀x{(Rx→Rϕ(x)) → ⊥} → ⊥ ⊢ λz(z)λx(z)λg x:∀R(∀x{(Rx→Rϕ(x)) → ⊥} → ⊥)
La constante d’interaction associée à ∀x(Rx → Rϕ(x)) → ⊥ sera notée κh, elle possède la règle d’exécution suivante :
κh⋆ξ·π ≻ξ⋆κRi·π
Rϕ(i)
où l’individu i est choisi par la joueuse. Considérant un processus p, celle-ci l’emporte dans la partie associée si l’exécution se termine sur un processus de la forme κRi⋆πRi.
On peut décrire l’exécution du terme associé à la preuve standard de ce théorème : λz(z)λx(z)λg x⋆κh·π ≻ κh⋆λx(κh)λgx·π ≻ λx(κh)λg x⋆κRi 1 ·πRϕ(i1) ≻ κh⋆λg κRi 1·πRϕ(i1) ≻ λg κRi1⋆κRi 2·πRϕ(i2) ≻ κRi1⋆πRϕ(i2)
On voit que la stratégie gagnante de ∃ est de jouer i1 = ϕ(i2); la figure 5.2
représente les parties où elle applique celle-ci.
Le passage d’une formule à sa forme de Herbrand a pour effet sur les jeux associés de faire disparaître∀de la partie : tout se passe comme si∃ jouait face à une machine, laquelle répond « fonctionnellement » à ses choix. A chaque fois que ∃ joue l’individu x, ∀ répondra par le choix de ϕ(x). Dans le cas général, le rôle de l’opposant n’est que restreint, puisque celui-ci aura encore à choisir des formules dans l’ensemble V .
5.3 Quelques exemples 125
∃ ∀
ϕ(i) ϕ2(i)
i ϕ(i)
Fig. 5.2 – Partie associée à la quasi-preuve λz(z)λx(z)λg x.
Interprétation : La session décrite par le terme λz(z)λg(cc)z correspond à l’échange d’un message, mais l’on peut interpréter la connexion établie comme étant défectueuse puisque l’acquittement accepté par le serveur a été envoyé avant les données !
Dans le chapitre7, nous réaliserons la formule
∀R∃x(Rx→ Rϕ(x)) → ∀R∃x∀y(Rx→ Ry)
qui est un cas particulier du théorème de Herbrand. Nous obtiendrons donc un terme permettant de transformer une stratégie gagnante face à un adversaire se comportant de manière fonctionnelle, en une stratégie gagnante face à un adversaire quelconque.
Chapitre
6
L’axiome du choix au premier ordre
6.1 Enoncé et mode opératoire
L’axiome du choix dépendant a été réalisé dans [25]. On trouvera dans [16] comment réaliser l’axiome du choix sous sa forme la plus générale.
Ce chapitre se réfère à [17], où est réalisé un axiome dit du choix non-extensionnel
au second ordre. On montre ici que l’instruction utilisée pour réaliser cet axiome
permet également de réaliser une formulation de l’axiome du choix au niveau des individus d’un modèle. Celle-ci sera utilisée dans le chapitre7pour réaliser un cas particulier du théorème de Herbrand.
On considère le schéma d’axiome suivant, qui exprime l’axiome du choix sur les individus du modèle considéré :
Pour toute formule F(x, y) à deux variables libres x et y, il existe une application φ
telle que
∀x[∃yF(x, y) → F(x, φ(x))].
Celui-ci est évidemment conséquence de l’axiome de récurrence, puisqu’on peut alors définir φ(x) comme étant le plus petit entier z tel que F(x, z) si un tel entier existe, n’importe quel entier convenant sinon. Mais l’axiome de récurrence n’est pas satisfait dans les modèles de la réalisabilité.
Ce schéma implique le choix dépendant sur les individus. Il suffit en effet d’itérer l’application φ :
Si la formule ∀x∃yF(x, y) est vraie, alors il existe une application φ telle que pour
tout individu x et tout entier n, la formule F(φn(x), φn+1(x))est encore vraie.
Néanmoins, le schéma considéré n’implique pas l’existence d’un bon ordre sur les individus.
128 L’axiome du choix au premier ordre d’axiome. Il faudra pour cela considérer de nouvelles instructions.
On considère un ensemble N isomorphe au modèle standard de l’arithmé- tique, qui est l’ensemble des termes donnés par la grammaire suivante :
τ :=a|ϕ(τ)
Définition 6.1.1.
Pour tout x ∈ N , on notera x l’entier de Church associé à l’unique entier n tel que
x = ϕn(a).
Il est clair que si x ∈ N , l’entier de Church x réalise la formule suivante, notée Ent(x):
∀X{∀y(Xy→ Xϕ(y)), Xa→Xx}.
Si M est alors un modèle de la réalisabilité, on appellera entier du modèle tout élément d’un tel modèle pour lequel la formule Ent est vérifiée.
Définition 6.1.2.
On note⊳l’ordre total défini sur N par
x ⊳y ssi ∃m ∈ N∗, ϕm(x) = y.
On fixe ensuite une bijection :
N → Π
x 7→ πx
et l’on considère une instruction σ possédant la règle d’exécution suivante : σ⋆t·π ≻t⋆x·π où x ∈N est tel que π =πx
Cette instruction permet de réaliser l’expression au second ordre du schéma considéré, pour les ensembles⊥⊥saturés pour celle-ci.
Lemme 6.1.3.
Soit F une formule avec deux variables libres, et⊥⊥un ensemble saturé pour σ. Il existe
une application f : N 2 →N telle que σ réalise
∀x ∀n Ent(n) → F(x, f(x, n)) → ∀yF(x, y)
Démonstration. On considère d’abord une application f possédant la propriété
suivante
∀x ∈N ,∀z ∈N , πz ∈ ||∀yF(x, y)|| =⇒ πz ∈ ||F(x, f(x, z))||.
Une telle application se construit par une application directe de l’axiome du choix dénombrable dans N . En effet, on a||∀yF(x, y)|| = S
y∈N
6.1 Enoncé et mode opératoire 129 peut donc définir f(x, z) comme étant un individu y tel que πz ∈ ||F(x, y)||si un tel individu existe, n’importe quel individu sinon.
On fixe alors x ∈ N , un terme t réalisant ∀n[Ent(n) → F(x, f(x, n))] ainsi qu’une pile π =πzdans||∀yF(x, y)||. On doit montrer que le processus σ⋆t·πz est dans ⊥⊥. Mais celui-ci se réduit en t⋆z·πz, avec πz dans ||F(x, f(x, z))||
par définition de f , et ce dernier processus est dans ⊥⊥ puisque t réalise Ent(z) → F(x, f(x, z)). Considérant que ⊥⊥ est saturé pour σ, on en déduit le résultat.
L’axiome du choix dépendant au premier ordre se déduit en logique classique de la formule ∀x ∀n Ent(n) → F(x, f(x, n)) → ∀yF(x, y) : il suffit de dé- finir φ(x) comme étant f(x, n), pour n le plus petit des entiers l du modèle tel que ¬F(x, f(x, l)) s’il en existe un, et 0 sinon. On obtient alors le schéma
suivant :
∀x(F(x, φ(x)) → ∀yF(x, y)),
ce qui donne le schéma considéré après contraposition. Néanmoins, l’applica- tion φ ne sera plus représentée par un symbole de notre langage mais par un prédicat binaire fonctionnel.
On peut donc, en utilisant le lemme d’adéquation, écrire une quasi-preuve contenant σ qui réalisera cet axiome, et considérer que l’instruction σ représente le contenu opérationnel de celui-ci. Nous allons détailler cette construction dans la partie suivante, afin d’obtenir un terme le plus simple possible.
Interprétation : On peut interpréter l’instruction σ comme étant un algorithme de signature. Elle permet en effet d’associer à chaque pile un entier de manière univoque, sans que l’application réciproque soit utilisable.
Remarque : On pourrait également utiliser une instruction σ′ numérotant les
termes en lieu et place des piles, mais cela donnerait in fine une quasi-preuve plus complexe.
130 L’axiome du choix au premier ordre