2.4.1 Description fonctionnelle
Au vu de la façon de fonctionner des trois classes de modèles de remplacement que sont les surfaces de réponse, les modèles dérivés de la POD et les modèles réduits obtenus par identification, on peut dégager une manière commune de lier les entrées aux sorties.
Dans tous les cas, l’entrée du modèle n’est utilisée que pour calculer un faible nombre de fonctions scalaires. En référence aux méthodes de kriging ou aux RBF, ces fonctions sont appelées “fonctions de base”. Et en référence aux méthodes d’identification de modèles réduits, nous dirons également qu’elles sont les composantes de la variable d’état du modèle.
Et dans tous les cas, une transformation permet de passer de la variable d’état aux obser-vables. Nous dirons qu’elle est figée, dans la mesure où elle ne dépend jamais de l’entrée du modèle. Par abus de language, nous parlerons de projection, même si on ne fait pas référence à la notion mathématique de projecteur (p◦ p = p).
Puisque seules les fonctions de base sont dépendantes des entrées, leur nombre correspond au nombre de degrés de liberté du modèle réduit. Elle peuvent être définies :
– explicitement, comme c’est le cas des méthodes de surface de réponse : calculer la va-riable d’état réduite consiste alors à réaliser un petit nombre de calculs directs ;
– ou implicitement, en tant que solution d’un problème (POD-Galerkine, POD et corres-pondance de flux, ou méthodes d’identification de modèles réduits par exemple) : les calculs sont plus complexes, mais leur coût reste bas, grâce au faible nombre de degrés de liberté.
FIG. 2.6–Le modèle de remplacement et le modèle de référence nécessitent tous les deux le calcul d’une variable d’état, dont on tire les sorties du modèle. Le gain de temps associé au modèle d’ordre
faible est lié à la faible dimension de l’état associé, qui n’est plus lié au maillage de l’écoulement.
– un calcul de la valeur prise par l’état réduit relativement à une entrée u, – et une opération de projection directe, de l’état réduit vers les observables,
est notamment utilisée par Queipo et al. dans [18]. La figure 2.6 schématise brièvement cette dissociation.
Les différentes méthodes de réduction de modèle se distinguent alors par :
– le choix des formes de fonctions de base : fonctions de base radiales (RBF), solutions d’équations différentielles, splines cubiques, interpolations polynômiales, . . .
– le choix de la projection
– la méthode de construction des fonctions de base et de la projection : par exemple, cer-taines méthodes commencent par fixer la projection puis déterminent les fonctions de base pour reproduire les sorties du modèles de grande dimension. D’autres font l’inverse, commençant par fixer les fonctions de base, puis déterminent la projection adéquate. En reprenant les exemples de modèle de remplacement proposés plus haut, voyons mainte-nant comment chacun d’entre eux s’intègre dans cette formulation.
2.4.2 Exemples
2.4.2.1 Surfaces de réponse polynômiales
Dans le paragraphe 2.2.2.1, nous avions vu qu’une réponse de surface polynômiale s’écrit sous la forme générale de l’équation (2.3) :
y= f (u) =
n
∑
i=1
hiφi(u)
(monômes par exemple), qui sont les fonctions de base évoquées dans la section 2.4.1. Dans ce cas particulier, il n’y a pas de réglage spécifique des fonctions de base (des monômes de u) autre que d’en choisir le nombre, c’est-à-dire l’ordre du modèle.
Une fois concaténés, les coefficients hiforment la matrice de projection h. Une surface de réponse polynômiale est donc construite en commençant par fixer les fonctions de base, puis en déterminant la projection par rapport à celles-ci.
Les surfaces de réponse polynômiales sont aisées à mettre en œuvre. Il n’y a pas de contrainte particulière quant à la position des points d’échantillonnage, mais elles sont connues pour être peu efficaces lorsque la relation entre les entrées et les observables est fortement non linéaire, voire discontinue.
2.4.2.2 Surfaces de réponse par krigeage
On a vu dans la section 2.2.2.2 qu’une surface de réponse de type krigeage se met sous la forme (2.4) :
y∗(u) = f (u)β(Y∼) +τ(u) R (Y∼− Fβ)
Ici, la fonction de régression f(u) et les fonctions de corrélationτ(u) constituent les
fonc-tions de base. Les opérafonc-tions de projection sont déterminées par β, F et R (ces matrices ne dépendent pas de l’entrée du modèle).
Dans la méthodologie classique du krigeage, les fonctions de base et la projection sont dé-terminées conjointement à l’aide du paramètreθqui intervient dans l’expression des fonctions de corrélation.
Ainsi, la construction du modèle se fait en réglant par le biais du paramètreθ, à la fois les fonctions de base et la projection.
L’un des attraits principaux des méthodes de krigeage, est leur capacité d’accepter en entrée plusieurs dizaines de variables. Par contre, le placement des points d’échantillonnage est une opération critique. Par exemple, lorsqu’il existe des points d’échantillonnage proches
(cluste-ring), la matrice de corrélation devient singulière.
2.4.2.3 Surfaces de réponse par RBF
On avait vu dans la section 2.2.2.3 que les sorties d’un modèle de type RBF s’obtiennent par combinaison linéaire des valeurs prises par des fonctions de base radiales, comme l’exprime l’équation 2.9 : y(u) = ns
∑
i=1 wiKi(ku − cik)Comme il a été expliqué, la construction du modèle commence par la détermination des fonctions de base, les Ki(ku − cik), puis, une fois qu’elles sont fixées, on calcule la matrice de
projection formée des wipar régression, à l’aide des données d’échantillonnage.
La construction de ces surfaces de réponse est elle aussi particulièrement sensible au clus-tering.
2.4.2.4 Modèles à base de POD
Dans les modèles de remplacement dérivés de la POD, les modes spatiaux obtenus par POD sont linéairement combinés pour fournir la réponse du modèle (voir équation 2.15)
y(u) =
r
∑
k=1
ak(u)φk
Dans ce genre de modèle, les φk définissent une matrice de projection linéaire, de l’espace d’arrivée des fonctions de base ak à l’espace des observables :
y(u) =Φ A (u) (2.24)
Les différentes méthodes de réduction de modèle basée sur la POD vont se distinguer dans la façon d’évaluer les fonctions de base ak. Mais dans tous les cas, à la construction du modèle, la projection est fixée par une méthode statistique, et les fonctions de base sont adaptées à cette projection pour définir le modèle.
Les méthodes de réduction de modèle par POD sont en général conçues et adaptées pour des écoulements instationnaires comme des sillages, des décollements ou des profils vibrants. Dans ces cas, un petit nombre de modes POD suffisent généralement à décrire la dynamique de l’écoulement (voir [21, 22, 23] par exemple). Par contre, l’une des problématiques récurrentes de la POD, est la façon de déterminer la projection (les modes POD) pour qu’elle reste valable lorsque l’on s’éloigne des points d’échantillonnage. Les méthodes de réduction de type POD Galerkine, sont également connues pour connaître des problèmes de stabilité [8, 24].
2.4.2.5 Méthodes d’identification de modèle
Comme nous l’avons dit dans la section 2.2.4.1, ces modèles fonctionnent en deux étapes. Une équation différentielle de faible dimension est résolue en fonction de l’entrée, puis la solu-tion est projetée sur l’espace des observables à l’aide d’une matrice h.
Ici les fonctions de base (la solution de l’équation aux dérivées partielles en fonction de l’entrée) ne sont pas explicites, mais restent malgré tout déterminées par les matrices qui inter-viennent dans l’expression de l’équation. L’objet du processus d’identification est de déterminer conjointement les fonctions de base et la projection, de telle manière qu’elles soient adaptées les unes aux autres pour reproduire au mieux les données d’échantillonnage.
Cette co-adaptation est ce qui distingue les méthodes d’identification de modèle de la plupart des méthodes de réduction ou de surface de réponse. Les fonctions de base et la projection sont construites conjointement par optimisation pour travailler main dans la main. Mais le principal défaut de la méthode tient dans le fait qu’elle se fait au prix d’un processus d’optimisation qui peut coûter cher. D’autre part, elle n’est developpée qu’au sein du Laboratoire. En conséquence elle est moins répandue que d’autres, dans le domaine de la mécanique des fluides.
2.4.3 Autres avantages des méthodes d’identification
Malgré ce manque de cas d’application, il ne faut pas omettre quatre autres aspects qui la rendent particulièrement attrayante et simple à mettre en pratique :
1. elle est conçue pour prendre des conditions aux limites ou des termes sources comme entrées ;
2. grâce à l’utilisation d’une équation d’état, il est facile d’implémenter des modèles insta-tionnaires avec des conditions aux limites transitoires ;
3. elle est très flexible relativement aux observables : le nombre et le type des observables correspondent aux choix de l’utilisateur. Et une fois qu’un modèle a été construit pour certaines sorties, il est rapide et aisé de l’adapter à d’autres ;
4. elle n’est pas sensible au clustering : la principale contrainte par rapport à l’échantillon-nage tient, comme pour toutes les méthodes de surface de réponse, dans la nécessité de fournir suffisament d’informations quant à la description et à l’apparition de tous les phé-nomènes que l’on veut prédire dans le domaine de validité. Contrairement aux méthodes de krigeage ou utilisant des surfaces de base radiales, peu importe si deux points d’échan-tillonnage sont proches l’un de l’autre. Cela peut ouvrir la voie à des dévelopements ultérieurs liés au raffinement automatique des zones jugées d’importance.
Pour ces quatre raisons, les méthodes d’identification de modèle ont été retenues dans le cadre de cette thèse.