Au cours de ce chapitre, nous avons vu qu’une façon d’aborder un problème d’ingénierie est de le considérer comme la mise en place et l’utilisation d’un modèle. Celui-ci établit une rela-tion entre des paramètres que l’on maitrise ou auxquels on a accès, les entrées, et les grandeurs qui définissent le problème d’ingénierie, les sorties. En CFD, on a classiquement recours à des modèles numériques à plusieurs centaines de milliers, voire plusieurs millions de degrés de li-berté. Pour éviter d’avoir à y recourir de façon répétée, l’ingénieur peut construire des modèles de remplacement dont le nombre de degrés de liberté, et par conséquent la difficulté d’utilisa-tion, seront très largement inférieurs à ceux du modèle numérique d’origine. Dans la mesure où l’objet de cette thèse est de proposer une méthode de construction de modèles de remplacement dans le cadre de l’aerothermie (voir le chapitre d’introduction), nous avons répertorié diverses méthodes utilisées dans le secteur de la CFD.
Nous avons présenté cinq familles de méthodes de construction de modèles de remplace-ment : trois surfaces de réponse (régression polynômiale, kriging et fonctions de base radiales), les méthodes dérivées de la décomposition orthogonale en modes propres (POD), ainsi que le méthodes d’identification modale. Ensuite, nous avons succintement répertorié leur utilisation classique en termes de catégories d’entrées et de sorties, avant d’en donner quelques exemples concrets d’application. Après avoir ainsi souligné leurs différences, nous avons montré qu’il est possible de voir ces modèles de façon unifiée, et qu’elles partagent un mode de fonctionnement commun. Ainsi, ayant mis en évidence les points communs et les spécificités de chaque mé-thode, nous pouvons justifier du choix de la méthode d’identification modale pour la poursuite de cette thèse.
Dans le chapitre suivant, nous présentons en détail le fonctionnement théorique de cette méthode.
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Réduction de modèle par identification
modale en convection forcée
Résumé
Ce chapitre est dévolu à l’écriture formelle des modèles réduits identifiés que nous utilisons dans cet ouvrage, et aux méthodes que nous employons pour les construire effectivement.
Dans un premier temps, nous résumons succintement le cheminement qui permet de construire ces modèles à partir de simulations CFD. Il s’agit de donner au lecteur une vue d’ensemble des différentes étapes de la méthode d’identification modale.
Puis nous justifions en détail le passage du modèle continu (écoulement fluide) à la forme que nous donnons au modèle réduit. En d’autres termes, à partir de la physique de l’écoulement, nous concevons une équation d’état de faible dimension. Nous montrons qu’on aboutit à des formes de modèles réduits différentes en fonction de l’écoulement (stationnaire, instationnaire, isotherme, anisotherme, . . . ). Pour chaque catégorie d’écoulement, nous présentons une forme de modèle réduit particulière.
Enfin, la construction effective du modèle réduit passe par un processus d’optimisation, que nous appelons l’identification. Dans la dernière partie, nous nous attardons sur :
1. les méthodes d’optimisation que nous avons développées,
2. l’importance de l’échantillonnage pour la réussite de la construction du modèle.
Sommaire
3.1 Introduction . . . . 36 3.2 La MIM, une méthode de réduction de modèle dynamique . . . . 36
3.2.1 Du problème physique au modèle détaillé . . . 36
3.2.2 Du modèle détaillé au modèle réduit . . . 37
3.2.3 Echantillonnage et obtention du modèle réduit . . . 38
3.2.4 Utilisation du modèle réduit . . . 39
3.3 Structures de modèles réduits d’écoulement . . . . 39
3.3.1 Objectifs de la section . . . 39
3.3.2 Cadre général - Topologie . . . 39
3.3.3 Approximation des dérivations spatiales . . . 40
3.3.4 Les termes linéaires . . . 42
3.3.5 Convection fluide . . . 42
3.3.6 Convection thermique . . . 43
3.3.7 Prise en compte du gradient de pression . . . 43
3.3.8 Formulation de la structure du Modèle Détaillé . . . 45
3.3.9 Formulation de la structure du Modèle Réduit . . . 48
3.3.10 Modèle réduit final . . . 49
3.4 Méthodologies . . . . 54
3.4.1 Echantillonnage . . . 54
3.4.2 Considérations sur l’optimisation . . . 56
3.4.3 Identification des modèles réduits stationnaires . . . 59
3.5 Conclusion . . . . 65 Bibliographie . . . . 67
3.1 Introduction
La résolution classique d’un problème scientifique commence généralement par l’expres-sion d’un problème continu : on définit le domaine d’étude, on choisit les grandeurs que l’on souhaite observer, on repère les variables et les grandeurs qui ont une influence sur le résultat et on détermine les équations, généralement aux dérivées partielles, dont sont solutions les gran-deurs à observer. Lorsque le problème est bien posé, on peut alors en rechercher une solution par le biais d’une résolution numérique. Celle-ci passe par la discrétisation de l’espace étudié, des grandeurs observées et éventuellement des équations aux dérivées partielles définissant le pro-blème. On cherche alors une solution discrète d’un problème discret en supposant qu’il s’agira d’une solution approchée de la solution du problème continu.
L’obtention de la solution approchée passe par la résolution d’un nombre N d’équations algébriques. Ce nombre est directement lié à la finesse de la discrétisation spatiale et au nombre de variables impliquées dans l’équation différentielle continue. On peut alors considérer que la solution est à trouver dans un espace de dimension N. De façon générale, la précision du calcul augmente avec N, mais son coût également.
Nous avons vu dans le chapitre précédent qu’une alternative à l’utilisation directe des codes de calcul consiste en l’utilisation de surrogate models et de modèles réduits. L’optique géné-rale des méthodes de réduction de modèle est de réduire le nombre d’équations algébriques à résoudre pour obtenir une solution approchée de qualité. De façon simplifiée, le principe d’une méthode de réduction de modèle est :
– de définir et de construire un espace de dimension petite devant N,
– de transposer le système d’équations algébriques dont on cherche une solution, dans l’es-pace de dimension réduite,
– de définir la façon dont est reconstruite la solution dans l’espace physique à partir de la solution dans l’espace réduit.
La Méthode d’Identification Modale propose, pour les systèmes dynamiques, de transcrire les équations dans un espace de dimension réduite en n’en conservant que la forme, ou structure. Un processus d’identification permet alors, à l’aide d’une base de données fournie par le modèle de référence, de calculer les paramètres d’un modèle réduit offrant la meilleure approximation des résultats de ce modèle de référence.
Au cours de ce chapitre, nous verrons comment, à partir d’un modèle de référence, identifier un modèle réduit. Dans un premier temps (section 3.2), nous énoncerons le problème global de la génération d’un modèle réduit identifié. Puis, (section 3.3) nous l’illustrerons dans le cas d’un écoulement. Enfin, nous verrons que la méthode présente des difficultés intrinsèques, et nous présenterons les moyens utilisés pour y remédier.