Formation du sillage

Lorsqu’un écoulement uniforme rencontre une obstruction composée de deux cylindres en formation cruciforme, un écoulement tridimensionnel et turbulent est créé (Fox, 1991). Il peut être divisé en deux régions caractéristiques. La région interne (« inner region ») où l’écoulement est fortement tridimensionnel entre les deux cylindres et la région externe (« outer region ») (Fox, 1991). Cette région est située au pourtour de la région interne et se comporte comme s’il n’y avait qu’un seul cylindre.

Les premières études avaient caractérisé trois régimes d’écoulement distincts qui dépendaient de l’espacement entre les cylindres. Soit le cas où l’espacement est nul, celui où il y a un espacement (𝐿) entre 1𝐷 et 3𝐷 et finalement, celui où il y a un espacement supérieur à 3𝐷. Dans les deux premiers régimes, il est possible de déterminer que les TV sont présents et se développent à une distance d’environ 1.75𝐷 du point de contact. Ceci est compatible avec les pics de succion observés (Fox, 1991). En général, si la distance est moindre que 3𝐷, le sillage est dominé par 4 TV, soit un dans chaque quadrant de la géométrie ainsi que par une paire de NV générée autour du cylindre en aval. Ces derniers ont une grande influence sur la destruction des vortex de von Kármán dans la région interne. Cependant, en s’éloignant

du point de contact entre les deux cylindres, l’écoulement est celui d’un cylindre unique puisque les effets des écoulements secondaires ne sont plus significatifs (Fox, 1991).

Par la suite, des études subséquentes ont mis en évidence qu’il y avait, pour de très faibles espacements, d’autres régimes apparents. La Figure 2.4 montre plus précisément ce qui se passe pour les espacements inférieurs à 0.5𝐷 en ce qui a trait à la formation de vortex. Cette figure permet également de montrer individuellement les deux types de vortex longitudinaux présents lorsque l’espacement (𝐿) entre les deux cylindres est inférieur à 3𝐷. À noter que seulement la moitié des vortex est exposée, soit celle dans le cadran supérieur afin d’alléger la figure. Toutefois, les vortex sont similaires de part et d’autre du cylindre horizontal.

Figure 2.4:Schématisation des vortex longitudinaux à un nombre de Reynolds d’environ 900. À gauche, les "trailing vortices" et à droite, les "necklace vortices". Figure basée sur les travaux de Takahasi & Baranyi (1999) et Nguyen et al. (2010).

Comme mentionné plusieurs fois préalablement, lorsque l’espacement se situe entre 𝑠 = 0 et 𝑠 = 0.25𝐷, l’éjection de vortex longitudinaux est constituée de « trailing vortex » oscillant à des fréquences dépendantes du nombre de Reynolds. Par la suite, des « necklace vortex » se forment pour des espacements entre 𝑠 = 0.25𝐷 et 𝑠 = 0.5𝐷 oscillant à une fréquence indépendante du nombre de Reynolds. Ces deux vortex peuvent exister en même temps lorsque l’espacement est autour de s = 0.25𝐷 (Shirakashi, et al., 1994; Takahashi & Baranyi, 1999). Quand l’espacement (𝐿) est plus grand que 3𝐷, le cylindre en aval n’est plus positionné dans la zone de formation de vortex. Conséquemment, l’éjection tourbillonnaire se retrouve à être similaire à celle d’un seul cylindre puisque les vortex longitudinaux ne sont plus créés (Fox & Toy, 1988; Shirakashi, et al., 1989; Fox, 1992). Toutefois, jusqu’à une distance de 7𝐷, la fréquence d’éjection de vortex est modifiée (Fox, 1992). Une seconde étude, mais celle-ci numérique,

renchéri que les effets d’un second corps dans le sillage se font sentir jusqu’à un espacement de 10𝐷 (Schulz, et al., 2005).

Une étude seulement se concentre sur la formation des vortex à de très bas nombres de Reynolds (entre 100 et 500). Il s’agit d’une étude purement numérique avec deux cylindres fixes. Les écarts (𝑠) identifiés pour les TV et NV ne sont plus les mêmes que ce qui a été observé précédemment, principalement puisque les autres études ont été faites à des nombres de Reynolds beaucoup plus élevés (Zhao & Lu, 2018). Le terme SG, dans cette étude, signifie « vortex shedding in the gap » et correspond vraisemblablement à une éjection presque normale, c’est-à-dire, se rapprochant des caractéristiques d’un cylindre unique. La Tableau 2.1 montre les différents types de vortex observés en fonction du ratio d’espacement ainsi que du nombre de Reynolds de quelques simulations effectuées par les auteurs.

Il appert des résultats que tous les types de vortex sont observés pour 𝑅𝑒 ≤ 200 avec des espacements (𝑠) supérieurs à 0.5D. De plus, comme pour les nombres de Reynolds plus élevés, la transition se fait selon l’ordre suivant lorsque l’espacement augmente : TV, NV et ensuite SG. La transition à un nombre de Reynolds de 200 peut s’expliquer par le fait que l’écoulement autour d’un cylindre à ce régime est laminaire, cependant, avec un cylindre en aval, l’écoulement devient rapidement tridimensionnel (Zhao & Lu, 2018).

En augmentant le nombre de Reynolds, la séparation de la couche limite se produit de plus en plus tôt pour les nombres de Reynolds inférieurs à 500 (Zhao & Lu, 2018). Aussi, augmenter l’écart diminue généralement l’angle auquel se sépare la couche limite. C’est-à-dire que la couche limite reste attachée plus longtemps au cylindre lorsqu’il y a un corps placé dans le sillage. La couche limite restant attachée plus longtemps, la traînée du cylindre est donc moins élevée que celle d’un cylindre unique. Puisque les effets du second cylindre ne se font pas sentir également sur tout le corps amont, la couche limite se détache plus tôt à l’extrémité du cylindre.

Tableau 2.1: Formation des vortex dans l'espacement entre les deux cylindres selon le nombre de Reynolds (𝑅𝑒) et l’espacement (𝑠/𝐷). Tableau adapté de Zhao & Lu (2018).

𝒔/𝑫 𝑹𝒆 150 250 500 0,5 TV NV NV 1 NV NV NV 2 SG SG SG 4 SG SG SG

Lorsque le cylindre est placé sur un support élastique, le sillage reste très similaire par rapport à ce qui a été observé précédemment, particulièrement en ce qui a trait aux TV et aux NV avec un espacement 𝑠 < 0.5𝐷. La plage à laquelle ils apparaissent est identique ainsi que leur comportement général. Encore une fois, les observations visuelles montrent que les zones de basse pression sur le cylindre en amont correspondent au pied des « trailing vortex » (Zdravkovich, 1983; Shirakashi, et al., 1994; Fox, 1991).