Formalisme des matrices-T

La physique qui nous intéresse dans cette étude apparaît dans la limite 0  U . Cependant, le cas U = 0 est tout de même pertinent pour nous aider à interpréter les résultats. Dans le cas sans interactions, il est possible d’obtenir une solution analytique simple. La technique présentée ici est connue sous le nom du formalisme de matrice-T et a été utilisée plusieurs fois dans l’étude d’impureté dans le graphène [93–95].

Dans cette section, nous allons nous concentrer sur le formalisme des fonctions de Green retardées à température nulle. Puisque la cellule unité du graphène contient deux sites, il est

nécessaire d’écrire la fonction de Green comme une matrice 2 × 2 : gmn(ω) = gaa mn(ω) gmnab (ω) g_mnba (ω) g_mnbb (ω) ! (5.2)

où a et b réfèrent aux deux sous-réseaux et m et n identifient les différentes cellules unités. Si on prend U = 0 dans l’hamiltonien (5.1) et qu’on l’exprime sous forme matricielle (comme à la section 1.2, mais en gardant explicite les indices de sous-réseau), nous pouvons obtenir la fonction de Green sans interactions et sans impureté g0_mn(ω) (voir Éq. (1.17) au chapitre1) :



ω + iη − t0_mng0_mn(ω) =1. (5.3)

Ici, le t0_mn est le terme cinétique de l’hamiltonien où les indices de sous-réseau sont explicités ; l’indice 0 indique qu’il n’y a pas d’impureté. Nous utilisons la même convention pour les fonctions de Green g0_mn(ω). Pour la fonction de Green sans interactions, mais avec impureté gmn(ω), nous avons besoin de l’hamiltonien avec impureté tmn ≡ t0mn+ Vmn. Or Vmn est

toujours nulle excepté pour la cellule unité où m = n = 0 :

V00≡

0 0 0 0

!

. (5.4)

La fonction de Green avec impureté, mais sans interactions gmn(ω) peut être obtenue à partir

de l’équation (1.17) en utilisant tmn au lieu de t0mn. En réorganisant, nous obtenons :



ω + iη − t0_mng_mn(ω) =1 + V_mng_mn(ω). (5.5) En insérant, dans cette équation, des identités telles que définies en (5.3), nous avons :



ω + iη − t0_mng_mn(ω) =ω + iη − t0_mn g0_mn(ω) + g0_mn(ω)V_mng_mn(ω). (5.6) Après quelques simplifications, nous retrouvons l’équation suivante :

gmn(ω) = g0mn(ω) + g0m0(ω)V00g0n(ω). (5.7) Si nous utilisons l’équation (5.7) avec m = 0 et que nous la réinjectons dans (5.7), nous pouvons isoler gmn(ω) :

gmn(ω) = g0mn(ω) + g0m0(ω)T00(ω)g00n(ω) (5.8) où la matrice T₀₀est donnée par :

T00(ω) ≡ V00(1 − V00g000(ω)) −1

. (5.9)

La seule inconnue qu’il nous reste à déterminer dans ces équations est la fonction de Green sans impureté ni interactions g0_mn(ω). Or, l’hamiltonien sans interactions se résout simplement en prenant la transformée de Fourier spatiale de celui-ci. En appliquant la théorie des bandes,

nous pouvons retrouver la solution du système et donc la fonction de Green sans interactions g0(k, ω). Remarquons que la matrice de dimensions 2 × 2 combinée à l’indice k est équivalente à la base mixte discutée au chapitre2pour un amas de deux sites. Dans cette base, la fonction de Green s’exprime naturellement :

g0(k, ω) = z tφk tφ∗_k z !−1 (5.10) φk≡ 1 + eik·a1 + eik·a2 (5.11) z ≡ ω + iη + µ. (5.12)

Les trois termes dans φ_k correspondent aux trois voisins immédiats : le premier terme sans phase est l’amplitude de saut à l’intérieur de la cellule unité et les deux termes avec phases sont les sauts aux deux premiers voisins qui se trouvent dans des cellules unités avoisinantes, séparées par les vecteurs de base a₁et a₂, respectivement. Lors de l’application de ces formules, afin de bien déterminer quel site correspond à quelle fonction de Green, il est important de se rappeler que le choix de ces deux vecteurs indépendants détermine quelle base nous choisissons comme maille élémentaire : il définit la bijection i ↔ (m, α).

Pour retrouver la version spatiale de cette fonction de Green, nous effectuons la transformée de Fourier suivante : g0_mn(ω) = 2 N X k e−ik·(rm−rn)_g0_{(k, ω) (5.13)}

où N est le nombre d’atomes dans la feuille de graphène. Finalement, nous pouvons calculer la densité d’états locale, qui est définie comme la partie locale et imaginaire de la fonction de Green avec impureté gmn(ω) obtenue à partir des équations (5.8) à (5.13) :

Aii(ω) = −

1

π Im g

αα

mm(ω) = A0ii(ω) + δAii(ω) (5.14)

où A0_ii(ω), qui vient du premier terme de l’équation (5.8), est la densité d’états du graphène pur et δAii(ω), qui vient du deuxième terme de l’équation (5.8), est la déviation causée par

l’impureté.

Sans impureté (₀ = 0), la déviation est nulle (δA_ii(ω) = 0). Plus nous augmentons ₀, plus la déviation δAii(ω) devient importante. Des pôles, qui ne sont pas présents dans g0mn(ω),

apparaissent dans g_mn(ω). Ils proviennent du dénominateur de T₀₀(ω) autour des fréquences qui satisfont la condition 1 = ₀g0,aa₀₀ (ω). Puisque la densité A0_ii(ω) est petite autour du niveau de Fermi ω = 0, ces nouveaux pôles peuvent créer des pics très pointus (donc des états très localisés) près du niveau de Fermi.

La figure5.2 montre l’évolution de A_ii(ω) en fonction du potentiel de l’impureté, de ₀ = 0 à 10, pour les sites dans les alentours de l’impureté.

-2 0 2 4 6 8 10 ω 0.0 0.2 0.4 (d) 0.0 0.2 0.4 (c) 0.0 0.2 0.4 0.6 (b) 0.0 0.2 0.4 (a) 0.5 8.0 16.0 0= 0 0= 10

Figure 5.2 – Évolution de la densité d’états locale en fonction du potentiel de l’impureté ₀ (a) au site de l’impureté, (b) au site voisin de l’impureté, (c) au deuxième voisin et (d) au troisième voisin. Notons que l’axe des ordonnées en (a) est brisé et que l’échelle est beaucoup plus grande sur le panneau du haut, dans le but d’accommoder la très grande amplitude des pics qui correspondent à l’état anti-lié. L’état lié se voit surtout sur le sous-réseau b (panneaux (b) et (d)) près de ω = 0.

La seule différence entre la courbe où l’impureté est nulle (0 = 0) et la densité d’états analytique du graphène obtenue par Hobson & Nierenberg [40] provient de l’élargissement lorentzien de η = 0.02 que nous avons utilisé afin de permettre l’évaluation de la fonction de Green retardée. Pour 0  1, un état lié apparaît tout juste au-dessous du niveau de Fermi (ω = 0) et un état anti-lié apparaît tout juste au-dessus de la fréquence ω = ₀. Lorsque

0 → ∞, la densité d’états au site de l’impureté devient nulle dans l’intervalle −3 < ω < 3, comme dans le cas d’une lacune. Remarquons que l’état lié se manifeste dans la densité d’états seulement pour les sites du sous-réseau b, soit le sous-réseau où il n’y a pas d’impureté. La symétrie particule-trou est présente à ₀ = 0 et nous la perdons lorsque ₀ devient fini. Cependant, nous la retrouvons à nouveau dans la limite où l’impureté devient une lacune, soit à 0 → ±∞. Notons que la densité d’états locale pour impureté attractive s’obtient simplement avec la substitution ω → −ω.