Maintenant, on va prendre un ressort auquel on accroche un poids. Si on tire sur le poids, et bien le ressort va se tirer et on sait très bien que dès qu'on l'aura lâché, le poids va remonter. Mais comment modéliser tout ça ?
Et bien, on est ici face à un oscillateur, on les étudiera pleinement plus tard.
Voilà donc notre problème, nous cherchons à trouver l'expression de Fr :
Alors là, pas trop la peine de se casser la tête. Il semble logique que cette force soit proportionnelle à l'étirement du ressort. En effet, plus on tire sur un ressort (on reste dans de petits allongements, forcément, si vous tirez comme un bourrin... Le ressort ne sera plus un ressort ), plus il tire de son côté. On définit alors une nouvelle valeur, l'allongement .
Le bâti est une structure qui n'est pas à même de bouger. Elle est fixée, un mur en quelque sorte.
Avec ce schéma, on a : . On dit que l'allongement, c'est la longueur du ressort moins sa longueur à vide.
Ainsi, grâce à l'expérience, on a un résultat très satisfaisant car très simple :
où est une constante, dépendant du ressort.
On n'oublie pas qu'un vecteur n'est JAMAIS égal à un nombre. On doit donc définir un vecteur . Ici, a pour direction la droite du ressort et comme sens du solide vers le ressort.
Là, nous devons nous poser pour réfléchir un peu. Si on dit qu'elle est selon un vecteur, c'est qu'elle devrait toujours avoir le même sens, non ? Or un ressort, ça attire des fois, d'autres fois, ça repousse, la force n'a donc pas toujours le même sens... Mais où nous sommes nous trompé ?
Nul part, regardez bien, c'est a nouvelle longueur. Supposons qu'elle soit plus petite que , alors ! On a une force négative, elle va donc repousser le solide. Ouf, notre force peut varier car peut-être négatif.
Je vais vous proposer une petite tambouille pour éviter de vous perdre, parce que des fois, on a vraiment envie de changer de sens. Alors, supposez positif, on sait que la force va attirer, et bien c'est le sens de .
Sinon, si vous voulez fixer de manière plus claire, je vous propose alors le schéma suivant :
Cette fois, la force s'écrit : .
C'est à vous de voir, je vous conseille la seconde méthode qui est à mon avis plus simple à mettre en place.
Pour retrouver cette loi, je vous propose une petite application.
Expérience : On accroche un poids à un ressort dans le vide. On mesure son allongement une fois le système à l'équilibre.
On obtient un tableau avec différentes masses et l'allongement d'un ressort. Il s'agit de tracer le graphique de l'allongement en fonction de la masse.
Si je vous dit l'allongement en fonction de la masse, vous dessinez un graphique avec en abscisse la masse et en ordonnée l'allongement.
J'ai une petite astuce vous permettant de retenir un peu comment on trace un graphique. Déjà, je vous conseille d'écrire sous forme pseudo-mathématique l'énoncé, ici, on aurait : . Il faut retenir : et on sait que x=allongement et y=masse.
Ensuite, chacun sa tambouille pour tout écrire comme il le faut, mais x est avant dans l'alphabet que y, et abscisse est avant ordonné donc x est sur les abscisses et y les ordonnées !
Masse (kg) Allongement (m)
Et oui, on va jusqu'à 10 kilo, c'est un bon ressort ! (Notez qu'il s'allonge pas mal aussi ) Je vous conseille de faire le graphique sur Excel ou OpenOffice pour trouver :
Nouvelle page d'information, cette fois pour obtenir le même graphique que moi.
Alors, je vous conseille d'aller chercher sur Internet plus d'informations en fonction de votre tableur préféré, je vous donne des pistes malgré tout ! (et oui, on va pas vous laissez tomber !)
Rentrer votre tableau avec un nom pour chaque colonne.
Sélectionner ce tableau SANS le nom des colonnes
Aller dans insérer, graphique puis choisissez bien NUAGES DE POINTS.
Maintenant validez puis cliquez droit sur les points, et sélectionner option ou bien ajouter une courbe de tendance. En fonction de votre graphique, adaptez l'allure, ici c'est linéaire (une droite), cochez que l'on souhaite que ça passe par zéro (on veut retrouver notre loi quand même ! donc ça passe par zéro) puis "afficher
l'équation sur le graphique".
Maintenant, il nous faut réfléchir à ce que l'on a fait. En effet, on a représenté l'allongement en fonction de la masse et nous avons vu que c'est directement lié et même plus, que le graphique représentait une droite (à peu près, c'est l'incertitude expérimentale), et que donc elles étaient proportionnelles entre elles !
On sait donc que l'on a une relation du type : .
Donc si nous voulons retrouver notre poids : . Voilà comment nous savons que la loi est bien .
On apprendra dans les exercices à trouver .
On se place ici dans le cas d'un ressort idéal, ou bien dans le cas de faibles étirements avec de faibles poids. Cela signifie que dans ces conditions, le ressort reste un ressort. En effet, le modèle ne traduit pas le fait qu'à partir d'un certain moment, le ressort ne puisse plus s'allonger.
On constate ici que les limites du modèle se font sentir, en effet, les trois dernières valeurs s'éloignent de plus en plus de la droite sur le graphique.
Application : Quelle est la dimension de k ? (Regardez les annexes maintenant analyse dimensionnelle, ce sera la dernière fois que c'est précisé ).
Alors, on a : avec une différence de mètres, c'est donc des mètres alors : .
On a également : avec une accélération donc en m.s-2 d'où : et est une force, comme
donc : .
On peut donc conclure : donc : . On peut dire son unité : N.m-1.
On dit aussi que k est la constante de raideur du ressort.