2.2.1 Définitions
On noteC⊂V un ensemble convexe.
Définition 11 Fonctions convexes
∀x, y∈C, ∀λ∈[0,1]F(λx+ (1−λ)y)≤λF(x) + (1−λ)F(y)
Définition 12 Fonctions strictement convexes
∀x, y, x6=y,∈C, ∀λ∈]0,1[F(λx+ (1−λ)y)< λF(x) + (1−λ)F(y)
−Une fonction est (strictement) convexe si et seulement si sa restriction à tout segment inclus dansC est (strictement) convexe : pour établir la convexité on peut donc toujours se ramener à une fonction d’une variable.
−SiF(x)est convexe l’ensemble{x / F(x)≤c}est convexe (la réciproque est fausse).
−F(x)est convexe si sonépigraphe{(x, r), x∈ V, r ∈ R/ r≥ F(x)}est un convexe deV ×R
(ce qui revient à dire intuitivement que son graphe est le bord d’un convexe)..
Définition 13 F estconcavesi−F est convexe.
2La réciproque, à savoir qu’un ensemble sur lequel tout point admet une projection unique est convexe, est vraie en dimension finie, mais c’est une conjecture (de plus de 50 ans) en dimension infinie, avis aux amateurs !
Exemples3:
−Une forme linéaire est convexe.
−Une norme définit une fonction convexe.
− Une fonction quadratique positive est strictement convexe, car sa restriction à une droite quel-conque est une fonction trinôme du second degré à terme directeur positif, donc strictement convexe, plus précisément nous utiliserons souvent la proposition suivante
Proposition 11 Soita(u, v)une forme bilinéaire symétrique définie positive (i.e.∀u6= 0∈V a(u, u)>
0), etL(v)une forme linéaire, la fonction J(v) = 1
2a(v, v)−L(v)
est strictement convexe
La fonctionJ(v)est une fonction strictement convexe, car sa restriction à une droite quelconque est une fonction trinôme du second degré de coefficients directeur positif, donc strictement convexe :
J(v+λh) =aλ2+bλ+c aveca= 12a(h, h)>0
2.2.2 Fonctions d’une variable
Rappelons, sans démonstration, les propriétés élémentaires d’une fonction convexe F(t) d’une variable réellet:
−Le graphe d’une fonction convexe est au dessous de ses cordes (c’est la traduction géométrique de la définition) et au dessus de ses tangentes.
−Une fonction dérivableF(t)est convexe si et seulement si sa dérivéeF0(t)est croissante (au sens large).
−Une fonction deux fois dérivableF(t)est convexe si et seulement si sa dérivée secondeF00(t)est positive ou nulle.
−Si la dérivée seconde est strictement positive, la fonction est strictement convexe.
−Un réelttel queF0(t) = 0réalise un minimum absolu deF(t).
2.2.3 Propriétés et caractérisations Quelques propriétés élémentaires
– SiF(x)est convexe,λi≥0etP
iλi = 1on a l’inégalité générale de convexité F(X i λixi)≤X i λiF(xi) 3
Parenthèse : une fonction convexe sur un espace norméV n’est pas nécessairement continue, par exemple sur l’espace
V = C([0,1])muni de la normekxk2 = qR1
0 x(t)2dt(qui n’est pas un espace de Banach), la fonction F(x) =
supt x(t)est convexe mais n’est pas continue. Cependant on montre qu’une fonction convexe non continue sur un espace normé n’est bornée au voisinage d’aucun point et que cette situation est impossible dans un espace de Banach, ni donc dans un espace de dimension finie. Notons qu’une fonction convexe définie seulement sur un ensemble convexe n’est pas nécessairement continue au bord (par exemple sur[0,1]la fonction nulle à l’intérieur de l’intervalle et qui vaut1au bord est convexe.)
– Le graphe d’une fonction convexe est “au dessus” du graphe de ses formes linéaires tangentes, ce qui s’écrit
F(x)≥F(x0) +DF(x0).(x−x0)
– La somme d’un ensemble quelconque de fonctions convexes est convexe (on prendra “somme” au sens le plus large, par exemple la fonctionF(x) =R1
0 F(x, t)dtest convexe siF(x, t)est convexe enxpour toutt), ou encore plus généralement on a la
Proposition 12 Si la fonctionF(x, y)est une fonction convexe (resp. strictement) deR2dans
Ralors l’intégrale
J(v) =
Z 1 0
F(v(t), v0(t))dt
définit une fonction convexe (resp. strictement) deC1([0,1])dansR
Nous utiliserons souvent cette propriété dans les exercices. Cette propriété s’étend à des si-tuations analogues pour des fonction de Ck(Ω). Pour la démontrer on utilise l’inégalité de convexité pourF(x, y) F(λv1(t) + (1−λ)v2(t), λv10(t) + (1−λ)v20(t))≤λF(v1(t), v01(t)) + (1−λ)F(v2(t), v20(t)) et on intègre Z 1 0 F(λv1(t)+(1−λ)v2(t), λv01(t)+(1−λ)v20(t))dt≤λ Z 1 0 F(v1(t), v10(t))dt+(1−λ) Z 1 0 F(v2(t), v02(t))dt – La somme d’une fonction convexe et d’une fonction strictement convexe est strictement convexe.
– La borne supérieure d’un ensemble quelconque de fonctions convexes est convexe (En particu-lier l’enveloppe supérieure d’une famille de fonction affines est convexe).
Exemple : soit V = Rn, A une matrice symétrique de dimensionn. La plus grande (resp. petite) valeur propre vérifieλM(A) = maxx hAhx,xx,xii (resp.λm(A) = minxhAhx,xx,xii), c’est donc une fonction convexe deA(resp. concave).
Monotonie de la dérivée
Définition 14 Application monotone
On suppose queV est un espace de Hilbert (pour simplifier les notations). Une applicationf(x)de
V dansV est monotone si
hf(y)−f(x), y−xi ≥0
Noter que siV =Rcela revient à dire quef(x)est croissante.
Théorème 11 Sur un espace de Hilbert une fonctionF(x)différentiable est convexe si et seulement sif(x) =∇F(x)est monotone.
Preuve
SupposonsF(x)convexe. La restrictionφ(t) =F(x+t(y−x))deF(x)à la droite qui passe par deux pointsxetyquelconque est convexe. Doncφ0(t)est croissante, orφ0(t) =h∇F(x+t(y−x)), y−xi,
donc on aφ0(1)≥φ0(0), c’est à dire
h∇F(y)− ∇F(x), y−xi ≥0.
Réciproquement la monotonie de l’applicationx → ∇F(x) implique que sit2 > t1 on aφ0(t2)−
φ0(t1) =h∇F(x+t2(y−x)), y−xi − h∇F(x+t1(y−x)), y−xi ≥0, et donc que la restriction deF(x)à une droite quelconque est convexe.♦
Condition sur le Hessien
Théorème 12 SurRnune fonction deux fois différentiable est convexe si et seulement si le Hessien
HF(x)est une matrice semi-définie positive.
Réciproquement si∀x, h∈V, hHF(x)h, hi > 0alorsF(x)est strictement convexe.
Preuve
Rappelons qu’une fonction d’une variable, deux fois dérivable, est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive ou nulle et que si la dérivée seconde est strictement positive, la fonction est strictement convexe. Le résultat en découle en remarquant que la restrictionφ(t) =F(x+t(y−x))
deF(x)à la droite qui passe par deux pointsxetyquelconque est convexe si et seulement siφ00(t)≥
0, or
φ00(t) =hHF(x+t(y−x))(y−x), y−xi Optimisation et convexité
Rappelons d’abord quelques propriétés d’existence des minimums d’une fonction continue.
Définition 15 Une fonction est coercive silimkxk→+∞ F(x) = +∞
Une fonction continue admet un minimum sur tout ensemble compact (donc en particulier sur les par-ties fermées bornées deRn). On en déduit que sur un espace de dimension finie une fonction continue coercive admet au moins un minimum, mais elle peut admettre plusieurs minimums et d’autres types d’extrémums. Sur un espace de dimension finie une fonction convexe est continue, si elle est coercive elle admet donc au moins un minimum. Plus généralement le fait que la fonction est convexe permet de préciser l’existence et la nature de ses extrémums.
Proposition 13 SiF(x)est une fonction convexe différentiable sur un espace vectorielV
DF(x) = 0⇔ ∀y∈V F(x)≤F(y)
Le fait que la différentielle est nulle en un point, condition nécessaire pour le minimum d’une fonction quelconque, est donc ici une condition suffisante d’existence d’un minimum global.
Proposition 14 Un minimum local d’une fonction convexe est global. L’ensemble des minimums d’une fonction convexe est convexe.
Proposition 15 Une fonction strictement convexe sur un convexeCa au plus un minimum surC.
Théorème 13 Une fonction strictement convexe sur un convexe compactCadmet un minimum unique.
ainsi que son extension
Théorème 14 Une fonction strictement convexe et coercive sur un espace de dimension finie admet un minimum unique.
En ajoutant la continuité de la fonction, le résultat est encore vrai dans un espace de Hilbert, mais la démonstration est plus délicate.