Identification des propriétés constitutives des éléments d’un rotor feuilleté
4.5 Une fonctionnelle modale condensée selon C raig & Bampton
4.5.1 Introduction
Dans cette section, un modèle élément fini ramifié de rotor à induction est proposé afin de mo-déliser les tirants indépendamment de l’empilement de tôles magnétiques. Ce dernier est constitué d’éléments finis de poutre de T imoshenko. Bien que le choix se soit porté sur un modèle élément fini de poutres, les propriétés constitutives de l’empilement sont définies telles que le module de C oulomb soit indépendant du module d’Y oung et du coefficient de Poisson afin de considérer sa nature orthotropique [15].
L’écart entre les quantités modales mesurées et calculées est estimé à l’aide d’un fonctionnelle énergétique basée sur un quotient de Rayleigh hybride combiné à une méthode de condensation dynamique de C raig & Bampton [72].
La réduction du modèle éléments finis rend possible la coïncidence entre les formes propres ex-périmentales et numériques : les degrés de liberté principaux correspondant aux déflexions mesurées aux points expérimentaux. Par ailleurs, le fait d’appliquer la condensation dynamique de C raig & Bampton permet d’obtenir un modèle condensé qui conserve tout de même des modes locaux (de tirants) du modèle éléments finis complet.
4.5.2 Intérêt d’une condensation dynamique pour un modèle ramifié
Le procédé de fabrication de la masse magnétique autorise un jeu tirant-tôles, Fig. B.21. un modèle éléments finis dans le plan est developpé pour déterminer la déflexion transversale des tirants, Fig. 4.25. Les tirants sont modélisés par un cylindre creux équivalent discrétisé (voir modèle M1′
présenté AnnexeB.3.4) afin de former un modèle ramifié car tirants et masse magnétique constituent deux poutres indépendantes liées entre elles aux deux nœuds A0 et B0, Fig. 4.26. Un modèle éléments finis complet et de référence est établi, Fig. 4.27, en affectant des valeurs arbitraires aux propriétés constitutives de l’empilement telles que :
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Figure 4.27 – Modèle éléments finis ramifié contenant nδc= 87 points de mesure (
●
), nδ= 692.Le modèle complet est ensuite condensé à l’aide de la méthode de réduction statique de G uyan [69] en ne conservant que les degrés de liberté transversaux ; puis, en considérant les mêmes de-grés de liberté principaux, une condensation dynamique de C raig & Bampton [72] est appliquée (mδi = 9) afin de mettre en évidence l’erreur d’approximation effectuée selon la méthode de réduc-tion utilisée. Les neuf premières fréquences propres obtenues avec ces trois méthodes sont données dans le Tab.4.4. La Fig.4.28rassemble les formes propres des modèles de référence et celles issues des modèles réduits.
L’approximation engendrée par les deux méthodes de réduction induit une faible erreur relative, comprise en 10−4% et 10−1%, sur les quatre premières fréquences propres dont la cohérences des formes propres associées est illustrée Fig. 4.28. En revanche, à partir de la cinquième fréquence propre, l’erreur issue de la condensation statique de G uyan augmente fortement pour atteindre une valeur de l’ordre de 2⋅101% alors que celle relative à la condensation dynamique de C raig & Bampton reste stable autour d’un valeur de 2⋅ 10−2%. Cette erreur, issue de la condensation de G uyan, est due à l’apparition de modes locaux du modèle complet, i.e. les 5e et 9e formes propres illustrent des modes de tirants, tracés en bleu (–), dont les amplitudes relatives modales sont nettement supérieures à celles du reste du rotor. Ceci justifie donc l’utilisation d’une condensation dynamique sur le modèle ramifié.
Indice Référence G uyan Erreur C raig & Bampton Erreur
(Hz) (Hz) (%) (Hz) (%) 1ere 1.854⋅ 102 1.855⋅ 102 1.8⋅ 10−2 1.854⋅ 102 1.7⋅ 10−4 2e 3.107⋅ 102 3.108⋅ 102 1.9⋅ 10−2 3.107⋅ 102 7.2⋅ 10−4 3e 5.657⋅ 102 5.665⋅ 102 1.4⋅ 10−1 5.657⋅ 102 2.5⋅ 10−3 4e 8.030⋅ 102 8.039⋅ 102 1.1⋅ 10−1 8.031⋅ 102 1.1⋅ 10−2 5e 1.037⋅ 103 1.088⋅ 103 4.9⋅ 100 1.037⋅ 103 3.6⋅ 10−3 6e 1.096⋅ 103 1.498⋅ 103 3.7⋅ 101 1.096⋅ 103 2.5⋅ 10−2 7e 1.493⋅ 103 1.781⋅ 103 1.9⋅ 101 1.494⋅ 103 3.1⋅ 10−2 8e 1.803⋅ 103 2.160⋅ 103 1.9⋅ 101 1.805⋅ 103 1.2⋅ 10−1 9e 2.037⋅ 103 2.612⋅ 103 2.8⋅ 101 2.038⋅ 103 1.7⋅ 10−2
Tableau 4.4 – Les neuf premières fréquences propres de flexion des modèles complet (Référence), et réduits à l’aide des méthode de condensation de G uyan et de C raig & Bampton.
Figure 4.28 – Neuf premières formes propres de flexion du modèle complet (rotor, (–), tirants (–)) et condensé : G uyan (−−) et C raig & Bampton (−−).
4.5.3 Définition de la fonctionnelle modale condensée
En considérant le cylindre équivalent modélisant les tirants (modèle M1′, Annexe B.3.4) et le rotor comme deux sous-structures, la condensation dynamique de C raig & Bampton [72] est une méthode appropriée pour réduire le modèle éléments finis complet. De plus, ce choix a été présidé par les raisons évoquées dans la Section4.5.2.
En définissant les mêmes degrés de liberté principaux δc ∈ Rnδc et secondaires δi ∈ Rnδi du modèle complet, Eq. (4.46), la matrice de masse globale M (cf. Section4.4) peut être partitionnée de la manière suivante :
M= [ Mii Mic
Mci Mcc ] , (4.81)
de telle sorte que l’équation Eq. (4.41) s’écrive : [ MciMii MccMic ] ( ¨δi
¨δc ) + [ KiiKci KicKcc ] ( δiδc ) = ( Fi
Fc ) , (4.82)
où Fi ∈ Rnδi et Fc ∈ Rnδc représente désormais respectivement les vecteurs des forces extérieures relatives aux degrés de liberté secondaires δi et principaux δc.
La condensation dynamique de C raig & Bampton suppose d’exprimer :
– d’une part les degrés de liberté secondaires δi en fonction des degrés de liberté principaux δc grâce à une relation cinématique, e.g. Eq. (4.49), ce qui aboutit à la matrice ϕ̃c,
– et d’autre part, les degrés de liberté secondaires en fonction en fonction des variables modales ̃p de la structure bloquée sur ses degrés de liberté principaux, ce qui abouti à la matrice mo-daleϕ̃n∈ Mnδi,mδi, qui peut être tronquée pour réduire la taille du système.
On a alors :
Mii¨δi+ Kiiδi= Fi, (4.83)
où mδi est le nombre de modes normaux obtenus en résolvant le problème aux valeurs propres : (Kii− ˜λn
kMii) ̃ϕnk = 0, avec k = 1, . . . , mδi, (4.84) avec ˜λn
k la ke valeur propre du modèle éléments finis bloqué sur ses degrés de liberté principaux. Cela permet d’établir le changement de variable supplémentaire suivant :
δi = ̃ϕñp, (4.85)
où̃p∈ Rmδi est le vecteur des coordonnées généralisées du modèle éléments finis complet tel que δc= 0. La superposition des changements de variables Eq. (4.49) et Eq. (4.85) permet alors d’exprimer les degrés de liberté secondaires δi en fonction des principaux δc et des variables modales ̃p :
δi= ̃ϕcδc+ ̃ϕñp. (4.86)
La matrice de transformation de C raig & Bampton ̃ψ∈ Mnnδ,nδc+mδi s’écrit alors : ̃
ψ= [ ̃ϕIc ϕ̃0 ]n , (4.87)
où I∈ Mnδc,nδc est une matrice identité. Le changement de variable peut alors s’écrire : δ(t) = ̃ψ( δc
̃p ). (4.88)
Le problème aux valeurs propres du modèle élément fini condensé s’écrit finalement : ( ̃K− ˜λkM̃) ̃ϕk= 0, ˜λk= ˜ω2
k, k= 1, . . . , nδc, (4.89) où ˜λk ∈ R est la ke valeur propre du modèle éléments finis condensé et ϕ̃k ∈ Rnδc le ke vecteur propre associé pouvant être partionné comme suit :
̃
ϕk= ( ̃ϕck
̃p ), (4.90)
où ϕ̃c
k représente le ke vecteur composé des degrés de liberté principaux tandis que ̃p est le vecteur qui contient les composantes associées aux variables modales. Les matrices ̃M , ̃K ∈ Mnδc,nδc sont respectivement les matrices de masse et raideur condensées définies telle que :
̃
M = ̃ψtM ̃ψ, (4.91a) K̃ = ̃ψtK ̃ψ (4.91b)
Afin que les formes propres calculéesϕ̃c et mesurées aient une dimension équivalente et dans le but de conserver le contenu spectral des formes propres du modèle condensé, il est proposé d’associer
les coordonnées généralisées ̃p au vecteur ˆϕk tel que le ke vecteur propre mesuré s’écrive : ˆ
ϕ∗
k= ( ϕk̃p )ˆ . (4.92)
L’estimateur modale E , Eq. (4.93), est donc issu de la combinaison des formes propres condensées calculées et des formes et pulsations propres mesurées tel que :
Ek(xi) = 1 −Rk∗ ω2 k , avec R∗ k=ϕˆ∗tk K̃ϕk̃ ˆ ϕ∗t kM̃ϕ̃k, (4.93) où R∗
k ∈ R est le kequotient de Rayleigh hybride issu de la condensation de C raig & Bampton. Cet estimateur possède alors les mêmes propriétés que celle énoncées dans la Section 4.4.2.1 et permet de définir une fonctionnelle modale condensée f, telle que :
f = 12 ∑m k=1
E2
k. (4.94)
4.5.4 Stratégie d’Optimisation
Les propriétés constitutives de l’empilement de tôles considéré isotrope transverse sont définies par le vecteur x ∈ Rn avec {xp}p=1...n tel que les paramètres d’optimisation soient définis par le doublet suivant :
x= (E, G)t
, avec n= 2. (4.95)
Les éléments finis représentant l’empilement de tôles sont contenus dans le domaine Ωu, Eq. (4.33), et la stratégie d’optimisation consiste à minimiser la fonctionnelle f en résolvant le problème :
T rouver x∗ tel que min
x∗∈Rnf(x) , avec f(x) = 1
2∥E (x)∥2 ,
(4.96)
avec l’algorithme de L evenberg-M arquardt, Alg. 7défini dans l’Annexe C.1.3, afin de déterminer les valeurs optimales des paramètres E et G de manière à ce que les quantités modales prédites tendent vers les valeurs cibles, i.e. les quantités mesurées.
4.5.5 Dérivation de la matrice de transformation de C raig & Bampton
Comme stipulé dans la Section4.4.4, la minimisation de la fonctionnelle f, Eq. (4.94), nécessite la connaissance de l’expression des dérivées partielles, par rapport à un paramètre d’optimisation xp, des matrices de masse et raideur condensées qui s’obtiennent grâce à la dérivée partielle de la matrice de transformation ̃ψ, Eq. (4.87a), telle que :
∂ ̃ψ ∂xp = [ ∂ ̃ϕ c ∂xp ∂ ̃ϕn ∂xp 0 0 ] , (4.97) où ∂ ̃ϕn
∂xp est obtenu en appliquant la méthode de N elson [48] à l’Eq. (4.84) ; la dérivée partielle de la matrice des modesϕ̃cétant définie dans l’Eq. (4.73). Finalement, les dérivées partielles des matrices de masse et raideur condensées s’expriment respectivement en introduisant l’Eq. (4.97) dans les Eq. (4.74) et Eq. (4.74b).