Foncteurs L n de Hovey-Strickland

Définition 3.1.11. Soit (L, ρ) un foncteur de localisation sur une catégorie abélienne C. On

note T le noyau de ρ, c’est le foncteur de torsion associé à L. Ainsi, si X ∈ C, on a la suite

exacte courte :

0 //T(X) //X ^ρ

^X

//L(X).

Remarque 3.1.12. Soit(L, ρ) un foncteur de localisation par rapport à une théorie de torsion

héréditaire T. Par hypothèse,ρ_X est uneT-équivalence, donc pour tout X∈ C,T(X)∈ T.

Le lemme suivant démontre queT(X) est le plus grand sous-objet deX qui est dansT :

Lemme 3.1.13. Soit (L, ρ) un foncteur de localisation par rapport à une théorie de torsion

héréditaire T etT le foncteur de torsion associé. Alors, pour tout objetT ∈ T et toutX ∈ C, on

a :

Hom_C(T, X/T(X)) = 0.

Démonstration : SoientT ∈ T,X∈ C etf :T −→X/T(X)∈ C. CommeL(X)est T-local, on

a :

Hom_T(T, L(X)) = 0.

La composée T −→^f X/T(X)֒→L(X) est nulle, doncf = 0.

3.2 Foncteurs _Ln de Hovey-Strickland

Considérons maintenant les foncteurs de localisation définis sur la catégorie des comodules

à gauche gradués sur l’algébroïde de Hopf (BP_∗,BP_∗BP). Ces foncteurs ont été étudiés par

Ravenel dans [Rav92] et Hovey et Strickland dans [HS05a] et [HS05b]. Tout d’abord, définissons

les foncteurs de localisation L_n par rapports aux théories de torsion héréditaire Tn, pour n≥0.

Définition 3.2.1. Soitn≥ −1. On note Tn la théorie de torsion héréditaire de la catégorie des

BP_∗BP-comodules constituée des comodules de v_n-torsion (par convention, v−1= 0) :

Tn=

M ∈BP

_∗

BPComod| v_n⁻¹M = 0 .

Remarque 3.2.2. D’après le lemme 2.3 de [JY80], un BP_∗BP-comoduleM est devn-torsion si

et seulement si il est de I_n+1-torsion, où I_n+1 est l’idéal invariant (v₀,· · · , v_n) (cf. la définition

1.8.11). Comme cet idéal ne dépend pas du choix des générateurs v_i, il en est de même pour la

théorie de torsion héréditaire Tn.

Le théorème suivant montre que lesTnsont les seules théories de torsion héréditaire simples.

Théorème 3.2.3 (3.1, [HS05a]). Soit T une théorie de torsion héréditaire de la catégorie des

BP_∗BP-comodules à gauche. Si T contient un comodule de présentation finie non nul, alors il

existe un entier n≥ −1 tel que T =Tn.

Définition 3.2.4. Soit M un BP_∗-module gradué. On définit la hauteur de M comme étant le

plus grand entier n tel que M/I_nM 6= 0 :

ht (M) = sup{n∈N | M/I_nM6= 0} ∈N∪ {∞}.

Exemple 3.2.5. Soit n ≥ 0 un entier et E(n)_∗ = v⁻_n¹BP_∗. On note Φ_n : BP_∗ −→ E(n)_∗. Le

morphisme Φ_n est Landweber exact pour l’algébroïde de Hopf (BP_∗,BP_∗BP) et E(n)_∗ est de

hauteur n.

82 Chapitre 3. Foncteurs de localisation

Le théorème suivant montre qu’en utilisant une BP_∗-algèbre Landweber exacte, on ne peux

pas obtenir d’autres théories de torsions héréditaires sur la catégorie des BP_∗BP-comodules que

les théories de torsion héréditairesTn.

Théorème 3.2.6(4.2, [HS05a]). Soientf :BP_∗−→B etf^′:−→B^′ deux morphismes d’algèbres

Landweber exacts pour l’algébroïde de Hopf (A,Γ) = (BP_∗,BP_∗BP) tels que :

ht (B) = ht B^′

= n∈N∪ {∞}.

Alors les foncteurs de localisations L_f et L_f

′

sont naturellement isomorphes et, les catégories de

Γ_B-comodules et de Γ_B

′

-comodules sont équivalentes. De plus :

– Si n < ∞, ces catégories sont équivalentes à la localisation de la catégorie des BP_∗BP

-comodules par rapport à la théorie de torsion héréditaire Tn.

– Sin=∞, ces catégories sont équivalentes à la catégorie des BP_∗BP-comodules.

Remarque 3.2.7. Sous les hypothèses du théorème 3.2.6 et d’après le théorème 2.6.7 on peut

trouver un Γ_B-Γ_B

′

bicomoduleW coplat en tant que Γ_B

′

-comodule à droite et unΓ_B

′

-Γ_B

bico-module T coplat en tant que ΓB-comodule à droite qui réalisent cette équivalence de catégorie.

D’après la proposition 2.7.8 on peut choisir :

W =B⊗_AΓ⊗_AB^′ et T =B^′⊗_AΓ⊗_AB.

Définition 3.2.8. Soitn≥0. On notera L_net T_n les foncteurs de localisation et de torsion (cf.

la définition 3.1.11) par rapport à la théorie de torsion héréditaire T_n.

Ln, Tn:BP

_∗

BPComod−→BP

_∗

BPComod.

Par abus de langage, on dira qu’un BP_∗BP-comodule est L_n-local s’il est Tn-local.

Remarque 3.2.9. On peut remarquer que L_n≃Φ∗

n◦Φ_n∗, oùΦ est le morphisme d’anneau de

l’exemple 3.2.5.

La proposition suivante précise le lemme 3.1.10 : elle caractérise les BP_∗BP-comodules L_n

-locaux par des foncteurs Hom et Ext¹ calculés dans la catégorie des BP_∗-modules, au lieu de

la catégorie des BP_∗BP-comodules. Elle est énoncée dans [HS05a] et [HS05b] ; sa démonstration

utilise des résultats de l’article [JY80].

Proposition 3.2.10 (4.6, [HS05b]). Soit M un BP_∗BP-comodule. Alors M est L_n-local si et

seulement si :

HomBP

_∗

(BP_∗/In+1, M) = Ext¹BP

_∗

(BP_∗/In+1, M) = 0.

Ce résultat permet de démontrer les deux propositions suivantes qui exhibent des comodules

L_n-locaux. Cela permet de calculerL_nM pour des comodules M particuliers.

Proposition 3.2.11 (1.2, [HS05b]). Soit 0≤j < n deux entiers. Soit M un BP_∗BP-comodule

de v_j−1-torsion sur lequel(v_j, v_j+1) est une suite régulière. Alors M est L_n-local.

Proposition 3.2.12 (1.6, [HS05b]). Soit 0≤j ≤n deux entiers. Soit M un BP_∗BP-comodule

tel que v_j : Σ^|v

j

|M −→M est une bijection. Alors M est L_n-local.

Lemme 3.2.13. Soit M un BP_∗BP-comodule de v_n−1-torsion. Il existe une unique structure

de BP_∗BP-comodule sur v⁻1

n M telle que le morphisme M −→ v⁻1

n M soit un morphisme de

comodules.

Démonstration: D’après la remarque 3.2.2,M est deI_n-torsion. Commev_nest invariant modulo

3.2. Foncteurs Ln de Hovey-Strickland 83

Corollaire 3.2.14 (1.7, [HS05b]). Soit n ≥ 0 un entier et M un BP_∗BP-comodule de vn−1

-torsion. Alors L_nM ≃v⁻1

n M. En particulier, pour tout BP_∗BP-comodule M,

L₀M =Q⊗_ZM.

Démonstration : D’après le lemme 3.2.13, il existe une unique structure de comodule surv⁻1

n M

telle que le morphisme M −→ v−1

n M soit un morphisme de BP_∗BP-comodules. Ce morphisme

est une T_n équivalence et, d’après la proposition 3.2.12, v⁻_n¹M est L_n-local. On en déduit que

L_nM ≃v_n⁻¹M.

Corollaire 3.2.15. Soient k, n≥0 deux entiers. Alors :

L_nBP_∗/I_k=







BP_∗/I_k si k < n

v_n⁻¹BP_∗/I_n si k=n

0 si k > n.

D’après la proposition 2.7.5, le foncteurLn est exact à gauche. Il en est donc de même pour

le foncteur T_n. Pour i≥ 0, nous noterons Lⁱ_n et T_nⁱ leurs i-ème foncteur dérivé à droite. Nous

allons maintenant étudier ces foncteurs.

Définition 3.2.16. Soit A une catégorie abélienne. On dit qu’un monomorphisme M ֒→ N de

A est une extension essentielle si pour tout X ∈ Atel que M⊕X ֒→N alors X= 0.

Exemple 3.2.17. Si A est la catégorie des groupes abélien Ab, alors les morphismes suivants

sont des extensions essentielles :

– Z֒→Q,

– 2Z֒→Z,

La proposition essentielle est la suivante :

Proposition 3.2.18 (2.2, [HS05b]). La théorie de torsion héréditaire Tn est stable par extension

essentielle. En particulier, T_n est stable par enveloppe injective.

Démonstration: SoitM unBP_∗BP-comodule dev_n-torsion etM ֒→N une extension essentielle.

Soit x∈N etI =p

Ann(x). D’après le théorème 1 de [Lan79],I est un idéal invariant de BP_∗.

Sixn’est pas devn-torsion,vn∈/ I et on doit avoirI =I_k pour un certaink≤n. Le théorème 2

de [Lan79] implique alors qu’il existe un élément primitify∈N tel queAnn(y) = I_k. Autrement

dit, BP_∗/I_k est un sous-comodule de N. CommeBP_∗/I_k n’a pas de v_n-torsion, son intersection

avec M doit être triviale. Cela contredit le fait que N est une extension essentielle de M. Donc

N est dev_n-torsion.

Corollaire 3.2.19 (2.3 et 2.4, [HS05b]). Soit I un BP_∗BP-comodule injectif. Alors :

– TnI et I/TnI sont des BP_∗BP-comodules injectifs,

– I ≃T_nI ⊕I/T_nI,

– L_nI ≃I/T_nI.

Démonstration : L’enveloppe injective de T_nI est un sous-comodule de I, carI est un injectif,

et dev_n-torsion, d’après la proposition 3.2.18. L’enveloppe injective deT_nI est donc T_nI, etT_nI

est injectif. On en déduit donc que I/T_nI est injectif et que la suite exacte courte :

0 //T_nI //I //I/T_nI //0.

est scindée. Pour la dernière assertion, on remarque que le morphisme I −→ I/TnI est une Tn

équivalence et que, d’après le lemme 3.1.10,I/T_nI estL_n-local puisque c’est un comodule injectif

sans v_n-torsion. On a donc L_nI =I/T_nI.

84 Chapitre 3. Foncteurs de localisation

Corollaire 3.2.20 (3.1, [HS05b]). Soitn≥0 etM un BP_∗BP-comodule. On a une suite exacte

courte naturelle de comodules :

0 //T_nM //M //L_nM //T_n¹M //0

et, pour i≥1, l’isomorphisme naturel :

Lⁱ_nM ≃T_nⁱ⁺¹M.

En particulier, pour n= 0, on a :

L₀M =Q⊗_ZM , T₀¹M =BP_∗/p^∞⊗BP

_∗

M ,

T₀M = Tor^BP

∗

1 (BP_∗/p^∞, M) et Lⁱ₀M =T_nⁱ⁺¹M = 0 pour i≥0.

Démonstration : Soit M −→I_• une résolution injective deM. D’après le corollaire 3.2.19, on a

la suite exacte courte de complexes suivante :

0 //TnI• //I• //LnI• //0.

La suite exacte longue induite en homologie donne le résultat. Pourn= 0, on sait déjà grâce au

corollaire 3.2.14 que L₀ =Q⊗_Z−. Le foncteurL₀ est donc un foncteur exact et Li

0 =T₀ⁱ⁺¹ = 0

pour tout i≥0. Enfin, d’après ce qui précède, on a la suite exacte courte de comodules :

0 //T₀M //M //L₀M //T₀¹M //0.

On peut remarquer que L0 = Q⊗_Z− = p⁻¹BP_∗⊗BP

_∗

− et que cette suite exacte est la suite

exacte longue des foncteurs TorBP

_∗

(−, M) du théorème 3.3.14 appliqué à la suite exacte courte :

0 //BP_∗ //p−1_BP

∗ //BP_∗/p^∞ //0.

On en déduit les isomorphismes pourT0 etT₀¹.

Corollaire 3.2.21. Soit M un BP_∗BP-comodule de v_n-torsion. Alors M admet une résolution

injective M −→ I_• dans la catégorie des BP_∗BP-comodules telle que I_m est de v_n-torsion pour

tout m≥0. En particulier, on en déduit que pour tous i≥0 et tout k≤n :

Lⁱ_kM =T_kⁱ⁺¹M = 0.

Démonstration : Soit M un BP_∗BP-comodule de vn-torsion. D’après la proposition 3.2.18, il

existe un BP_∗BP-comodule injectif I₀ de v_n-torsion qui contient M. Soit M₁ le quotient de I₀

par M :

0 //M //I₀ //M₁ //0.

Comme I0 est de vn-torsion, M1 est alors de vn torsion. On en déduit alors, par récurrence,

l’existence d’une résolution injective deM :

0 //M //I₀ //I₁ //I₂ //· · ·

telle que pour toutm≥0,I_mest dev_n-torsion. Soitk≥n. D’après la remarque 3.2.2,T_kI_m=I_m

pour tout m≥0. D’après le corollaire 3.2.20, pouri≥0 :

Lⁱ_kM =T_kⁱ⁺¹M = Hi+1(TkI•) = Hi+1(I•) = 0.

Théorème 3.2.22 (3.5, [HS05b]). SoitM unBP_∗BP-comodule etj≥0tel que vj : Σ^|v

j

|M −→

M est une bijection. Alors, pour tous n≥0 et tout i >0,

Lⁱ_nM = 0.

De plus, LnM = 0 si j > n et LnM =M si j≤n.

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