Flux entrant dans un volume ´eclair´e par un plan infini

Les variables ind´ependantesµetφont une distribution uniforme. Il suffit donc de tirer deux nombres al´eatoiresξ1 etξ2 :

µ = 2ξ1−1 (6.30)

φ = 2πξ₂ (6.31)

On peut ensuite revenir aux coordonn´ees cart´esiennes grˆace aux Eq. 6.28.

6.3.2 Surface ´emettant de mani`ere isotrope

Soit un ´el´ement de surfacedS ´emettant de fa¸con isotrope vers le demi espace d´efini par la direction de~n normale `a dS. Le flux qui la traverse dans une direction Ω est :^~

dF =Io~_{Ω.~nd~Ω =Ioµdµdφ (6.32)}

oµ= cosθ, etθetφ sont les coordonn´es sph´eriques usuelles dans un rep`ere o l’axeOz

est selon ~n. I_o est l’intensit´e sp´ecifique au niveau de la surface qui est une constante pour les directions µ≥0, nulle pour les autres directions.

La probabilit´e pour un photon d’ˆetre ´emis dans une direction comprise entre ^~Ω entre Ω +^~ d~Ω est donc :

p^~Ωd~Ω = ^~Ω.~nd~Ω

4π ^{= 2µdµ} dφ

2π ^(6.33)

Bien que l’´emission soit isotrope, cette expression est diff´erente de l’Eq. 6.29 du fait de l’effet de surface1. Cependant les variables µet θ demeurent ind´ependantes et peuvent ˆetre simul´ees en tirant deux nombres al´eatoiresξ1 etξ2 :

µ = ^qξ1 (6.34)

φ = 2πξ2 (6.35)

Cette m´ethode peut par exemple ˆetre utilis´ee pour simuler l’´emission isotrope d’un disque.

6.4 Flux entrant dans un volume ´eclair´e par un

plan infini

Lorsque une r´egion active est localis´ee au-dessus d’un disque infini ´emettant avec un ´emissivit´e isotrope et uniforme, il est utile de pouvoir simuler l’irradiation de cette r´egion. Nous allons commencer par calculer le flux `a travers un ´el´ement de surface ayant une inclinaison θ0 par rapport `a la normale au disque.

1

e

X

e

_Y

e

Z θ₀ Ω n dS Disque d’accretion

Fig. 6.2: El´ement de surface dS travers´e par le flux issu du disque d’accr´etion et poss´edant une inclinaison θ0 par rapport `a la normale (~ey) au disque

6.4.1 Flux `a travers un ´el´ement de surface

On consid`ere l’´el´ement de surface dS dirig´e par le vecteur~n(cf. Fig. 6.2), l’´el´ement de flux dans une direction donn´ee par le vecteur unit´e^~Ω est :

dF(^~Ω) =I(Ω)Ω^~.~nd~Ω (6.36)

Puisque l’´emissivit´e du disque est isotrope :

siΩ^~.~n >0 et Ω^~.~ey >0 alors I(Ω) =Io,

sinon I(Ω) = 0.

Dans la base (~ex,~ey,~ez) on peut d´ecomposerΩ en utilisant les coordonn´ees sph´eriques(^~

ψ,φ) :

~

Ω = sinψcosφ~ex+ sinψsinφ~ey + cosψ~ez (6.37)

~n = sinθ0~ex+ cosθ0~ey (6.38)

Le flux total int´egr´e sur toutes les directions est donc :

F =I_o

Z π−θ0

0 (sinθ₀cosφ+ cosθ₀sinφ)dφ

Z π

0 sin2ψ dψ (6.39) L’int´egration de cette relation donne :

dF =Io

π

6.4. Flux entrant dans un volume ´eclair´e par un plan infini 83

e

X

e

_Y Z

e

θ₀ Disque d’accretion θ Sphere

Fig. 6.3: Sph`ere travers´ee par le flux issu du disque d’accr´etion

Cette expression permet par int´egration sur θ0 d’obtenir le flux entrant sur un volume quelconque. D’apr`es Eq. 6.40, la probabilit´e pour le photon de tomber sur l’´el´ement de surface dS caract´eris´e par une inclinaison θ0 est :

P(M)dS = R ^{(cosθ0+ 1)}

S(cosθ0+ 1)dS^{dS (6.41)}

6.4.2 Cas d’une sph`ere

Dans le cas d’une sph`ere le point d’entr´ee peut ˆetre param´etr´e par les angles sph´eriquesθ =π−θ0 etφ(voir figure 6.3) , de sorte que la densit´e de probabilit´e pour un photon d’entrer au point de coordonn´ees (θ,φ) est donn´ee par :

P(θ, φ) = (1−cosθ)^dcosθ 2

dφ

2π ^(6.42)

Les variables φ et θ ´etant ind´ependantes on peut simuler θ par inversion de la fonction de r´epartition :

F(θ) = ¹

4

4−(1−cosθ)² (6.43) La variable al´eatoire φ poss`ede une distribution de probabilit´es uniforme. On tire deux nombres al´eatoiresη et η′, θ etφ sont alors donn´ees par les relations :

cosθ = 1−2η^1/2 (6.44)

6.4.3 Cas d’un cylindre vertical

On souhaite simuler le point d’entr´ee (r,θ,z) en coordonn´ees cylindriques d’un photon dans un cylindre dont l’axe est normal au plan du disque et parall`ele `a l’axe (Oz), l’origine ´etant localis´ee au centre de la base inf´erieure du cylindre (la plus proche du disque d’accr´etion). Le cylindre est localis´e `a une certaine hauteur au-dessus du disque d’accr´etion : D’apr`es Eq. 6.40, cette g´eom´etrie est simple `a traiter car l’angleθ0

ne peut prendre que trois valeurs :0,π/2 ouπselon que l’on consid`ere la base inf´erieure du cylindre, sa surface lat´erale ou sa base sup´erieure. Le photon ne pouvant entrer par la surface sup´erieure (oppos´ee au disque), il suffit de calculer les probabilit´esPB etPC respectivement d’entrer par la base inf´erieure ou par le cˆot´e :

PB = ^R

H+R ^(6.46)

PC = ^H

H+R ^(6.47)

(6.48)

Pour savoir laquelle de ces deux possibilit´es se r´ealise on tire un nombre al´eatoire

ζ et on teste la conditionζ < PB.

– Si elle est r´ealis´ee le photon entre par la base et on tire sa position de mani`ere homog`ene sur le disque de base `a l’aide de deux nombres al´eatoires η etη′ :

r = η^1/2R (6.49)

θ = 2πη^′ (6.50)

z = 0 (6.51)

(6.52)

– sinon, le photon entre par la surface lat´erale et le tirage des cordonn´ees s’effectue de mani`ere uniforme :

r = R (6.53)

θ = 2πη (6.54)

z = η^′H (6.55)

(6.56)

6.4.4 Cas d’un cylindre horizontal

On consid`ere un cylindre de hauteur H et de rayon R. On utilise les coordonn´ees cylindriques o l’axe (Oz) est confondu avec celui du cylindre et parall`ele au plan du

6.4. Flux entrant dans un volume ´eclair´e par un plan infini 85 O O

e

_Y

e

X θ₀

_e

θ Disque d’accretion Z

Fig. 6.4: Cylindre horizontal travers´e par le flux issu du disque d’accr´etion qui est coplanaire avec les vecteurs~e_y et~e_z

disque. L’origine est au centre du cylindre (cf. Fig. 6.4). De mˆeme que pr´ec´edement, on calcule les probabilit´es PB et PC pour que le photon p´en`etre dans le cylindre respectivement, par l’une des bases ou par le cˆot´e. On trouve ces probabilit´es identiques `a celles de l’Eq. 6.48.

Par tirage al´eatoire sur ces probabilit´es, on d´ecide si le point d’impact se situe sur une des deux bases ou sur la surface lat´erale. On tire ensuite 3 nombres al´eatoires η,

η′, η′′. On proc`ede comme suit selon que le photon tombe

– sur la surface lat´erale : – r =R

– on d´etermine θ0 d´efini par la relation θ0+ sinθ0 =ηπ

– si η′ <1/2 on pose θ=θ0+π sinon θ =π−θ0 (θ0 est d´efini entre 0 et π etθ

entre 0 et 2π, cf. figure 6.4. – z = (2η′′−1)H

– sur une des bases : – r =η1/2R

– θ = 2πη′

6.4.5 Direction de d´eplacement des photons

Une fois que le point d’entr´ee du photon est d´etermin´e, il faut simuler sa direction de propagation. L’intensit´e sp´ecifique au niveau de la surface poss`ede la d´ependance angulaire simple d´ecrite au§ II.6.4.1. Pour simuler cette distribution on proc`ede la la mani`ere suivante :

– On tire une direction sur une distribution semi-isotrope selon la m´ethode d´ecrite au§ II.6.3.2.

– Le syst`eme de coordonn´ees utilis´e dans ce tirage est relatif `a la normale de la surface au point d’entr´ee dans la r´egion de simulation. Il faut donc transformer les coordonn´ees afin de revenir aux coordonn´ees cart´esiennes globales.

– Enfin, les directions faisant un angle de plus de π/2 avec la normale du disque sont exclues puisque le photon est sens´e provenir du disque. On rejette donc les tirages qui nous donne un tel r´esultat, jusqu’`a obtenir une direction coh´erente.

Dans le document Modélisation de l'émission X et Gamma des objets compacts par les méthodes Monte-Carlo (Page 82-87)